高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第4课时函数的奇偶性与周期性练习理Word格式文档下载.docx
《高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第4课时函数的奇偶性与周期性练习理Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第4课时函数的奇偶性与周期性练习理Word格式文档下载.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第4课时函数的奇偶性与周期性练习理Word格式文档下载.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/3/420fc2be-b20d-4a17-8d8c-7af14b1edcb6/420fc2be-b20d-4a17-8d8c-7af14b1edcb61.gif)
B项,y=-x3是奇函数,不合题意;
C项,y=-ln|x|是偶函数,在(0,+∞)上单调递减,符合题意;
D项,y=2x不是偶函数,不合题意.故选C.
3.若函数f(x)=ax2+bx+8(a≠0)是偶函数,则g(x)=2ax3+bx2+9x是( )
A.奇函数B.偶函数
C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数
答案 A
解析 由于f(x)=ax2+bx+8(a≠0)是偶函数,所以b=0,所以g(x)=2ax3+9x(a≠0),所以g(-x)=2a(-x)3+9(-x)=-(2ax3+9x)=-g(x),所以g(x)=2ax3+9x是奇函数.故选A.
4.(2015·
陕西)设f(x)=x-sinx,则f(x)( )
A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数
解析 易得f(x)是奇函数,由f′(x)=1-cosx≥0恒成立,可知f(x)是增函数,故选B.
5.函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数,若f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[2,3]上是( )
A.增函数B.减函数
C.先增后减的函数D.先减后增的函数
6.(2018·
山东临沭一中月考)已知定义在R上的函数f(x)的满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2019)=( )
A.-3B.0
C.1D.3
解析 用-x换x,可将f(x+3)=f(-x)=-f(x),
∴T=6,∴f(2019)=f(336×
6+3)=f(3).
∵f(3-x)=f(x),∴f(3)=f(0)=0.
7.(2017·
课标全国Ⅰ)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f
(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[-1,1]
C.[0,4]D.[1,3]
答案 D
解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f
(1)=1.于是-1≤f(x-2)≤1等价于f
(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选D.
8.若定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x+2)=-f(x)成立,且f
(1)=8,则f(2015),f(2016),f(2017)的大小关系是( )
A.f(2015)<
f(2016)<
f(2017)B.f(2015)>
f(2016)>
f(2017)
C.f(2016)>
f(2015)>
f(2017)D.f(2016)<
f(2017)<
f(2015)
解析 因为定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x+2)=-f(x)成立,所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,且f(0)=0,f
(2)=-f(0)=0,f(3)=-f
(1)=-8,所以f(2015)=f(4×
503+3)=f(3)=-8,f(2016)=f(4×
504)=f(0)=0,f(2017)=f(4×
504+1)=f
(1)=8,即f(2015)<
f(2017).
9.已知定义在R上的函数f(x)满足:
y=f(x-1)的图像关于(1,0)点对称,且当x≥0时恒有f(x-
)=f(x+
),当x∈[0,2)时,f(x)=ex-1,则f(2016)+f(-2015)等于( )
A.1-eB.e-1
C.-1-eD.e+1
解析 y=f(x-1)的图像关于(1,0)点对称,则f(x)关于原点对称.当x≥0时恒有f(x-
),即函数f(x)的周期为2.所以f(2016)+f(-2015)=f(0)-f
(1)=1-e.故选A.
10.设函数y=f(x)(x∈R)为偶函数,且∀x∈R,满足f(x-
),当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)等于( )
A.|x+4|B.|2-x|
C.2+|x+1|D.3-|x+1|
解析 因为∀x∈R,满足f(x-
),
所以∀x∈R,满足f(x+
-
+
即f(x)=f(x+2).
若x∈[0,1]时,则x+2∈[2,3],f(x)=f(x+2)=x+2,
若x∈[-1,0],则-x∈[0,1].
因为函数y=f(x)(x∈R)为偶函数,所以f(-x)=-x+2=f(x),即f(x)=-x+2.
若x∈[-2,-1],则x+2∈[0,1],则f(x)=f(x+2)=x+2+2=x+4.
综上f(x)=
故选D.
11.(2018·
安徽合肥一模)已知函数f(x)=(x2-2x)·
sin(x-1)+x+1在[-1,3]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=( )
A.4B.2
C.1D.0
解析 设t=x-1,则f(x)=(x2-2x)sin(x-1)+x+1=(t2-1)sint+t+2,t∈[-2,2].记g(t)=(t2-1)sint+t+2,则函数y=g(t)-2=(t2-1)sint+t是奇函数.由已知得y=g(t)-2的最大值为M-2,最小值为m-2,所以M-2+(m-2)=0,即M+m=4.故选A.
12.如果函数g(x)=
是奇函数,那么f(x)=________.
答案 2x+3
解析 令x<
0,所以-x>
0,g(-x)=-2x-3.因为g(x)是奇函数,所以g(x)=-g(-x)=2x+3,
所以f(x)=2x+3.
13.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f
(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.
答案 -1
解析 令H(x)=f(x)+x2,则H
(1)+H(-1)=f(-1)+1+f
(1)+1=0,∴f(-1)=-3,∴g(-1)=f(-1)+2=-1.
14.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<
0恒成立,则x的取值范围为________.
答案 (-2,
)
解析 易知原函数在R上单调递增,且为奇函数,故f(mx-2)+f(x)<
0⇒f(mx-2)<
-f(x)=f(-x),此时应有mx-2<
-x⇒mx+x-2<
0对所有m∈[-2,2]恒成立.
令g(m)=xm+x-2,此时只需
即可,
解得-2<
x<
.
15.设奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f
(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<
0的解集为________.
答案 {x|-1<
0或0<
1}
解析 ∵f(-x)=-f(x),∴不等式x[f(x)-f(-x)]<
0可化简为xf(x)<
0,又f
(1)=0,∴f(-1)=0,∵奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,从而函数f(x)的大致图像如图所示,则不等式x[f(x)-f(-x)]<
0的解集为{x|-1<
1}.
16.若f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且x∈[0,1)时f(x)为增函数,求不等式f(x)+f(x-
)<0的解集.
答案 {x|-
<x<
}
解析 ∵f(x)为奇函数,且在[0,1)上为增函数,
∴f(x)在(-1,0)上也是增函数.
∴f(x)在(-1,1)上为增函数.
f(x)+f(x-
)<0⇔
f(x)<-f(x-
)=f(
-x)⇔
⇔-
∴不等式f(x)+f(x-
)<0的解集为{x|-
}.
17.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),求:
(1)f(0)与f
(2)的值;
(2)f(3)的值;
(3)f(2013)+f(-2014)的值.
答案
(1)f(0)=0,f
(2)=0
(2)f(3)=-1 (3)1
解析
(2)f(3)=f(1+2)=-f
(1)=-log2(1+1)=-1.
(3)依题意得,x≥0时,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即x≥0时,f(x)是以4为周期的函数.
因此,f(2013)+f(-2014)=f(2013)+f(2014)=f
(1)+f
(2).而f
(2)=-f(0)=-log2(0+1)=0,f
(1)=log2(1+1)=1,故f(2013)+f(-2014)=1.
18.已知函数f(x)=
是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
答案
(1)m=2
(2)(1,3]
解析
(1)设x<
0,则-x>
0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
于是x<
0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图像知
所以1<
a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].
1.(2017·
浙江宁波十校联考)函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R).若f(m)=2,则f(-m)的值为( )
A.3B.0
C.-1D.-2
解析 把f(x)=x3+sinx+1变形为f(x)-1=x3+sinx.令g(x)=f(x)-1=x3+sinx,则g(x)为奇函数,有g(-m)=-g(m),所以f(-m)-1=-[f(m)-1],得到f(-m)=-(2-1)+1=0.
2.(2017·
安徽蚌埠质检)函数y=f(x)是R上的奇函数,满足f(3+x)=f(3-x),当x∈(0,3)时,f(x)=2x,当x∈(-6,-3)时,f(x)等于( )
A.2x+6B.-2x-6
C.2x-6D.-2x+6
解析 由函数f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x),当x∈(-6,-3)时,x+6∈(0,3),由f(3+x)=f(3-x),得f(x)=-f(-x)=-f[3-(3+x)]=-f[3+(3+x)]=-f(6+x)=-26+x.
3.[x]表示不超过x的最大整数,已知函数f(x)=|x|-[x],有下列结论:
①f(x)的定义域为R;
②f(x)的值域为[0,1];
③f(x)是偶函数;
④f(x)不是周期函数;
⑤f(x)的单调增区间为(k,k+1)(k∈N).
其中正确的个数是( )
A.3B.2
解析 显然①正确.x=-2.1时,f(-2.1)=2.1-(-3)=5.1.②错误;
f(x)图像关于y轴不对称,③错误;
f(x)在x>
0上是周期变化,在x<
0上不是周期变化,④正确;
k∈N,则在(k,k+1)(k∈N)上f(x)=x-[x],因为当x>
0时x-[x]表示x的小数部分,所以f(x)在(k,k+1)(k∈N)上单调递增,当x<
0时,f(x)=-x-[x],y=-x是减函数,y=-[x]也是减函数,故f(x)的单调增区间只有(k,k+1)(k∈N),⑤正确.故①④⑤正确,故选A.
4.
设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(-2,1]上的图像,则f(2013)+f(2014)=( )
解析 f(2013)=f(3×
671)=f(0)=0,f(2014)=f(3×
671+1)=f
(1)=1,所以f(2013)+f(2014)=1.
5.(2017·
湖北黄冈调研)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,f(x+4)=f(x),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x+
,则f(log220)=( )
A.1B.
C.-1D.-
解析 ∵f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x),
∴定义在R上的函数f(x)是奇函数.
∵4=log216<
log220<
log232=5,
∴f(log220)=f(log220-4)=f(log2
)=-f(-log2
)=-f(log2
∵-2<
log2
<
∴f(log2
)=2log2
=1,
∴f(log220)=-1,故选C.
6.(2015·
北京,文)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sinxB.y=x2cosx
C.y=|lnx|D.y=2-x
解析 A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.
7.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是( )
A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数
C.f(x)+5是奇函数D.f(x)+5是偶函数
解析 取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5,令x1=x,x2=-x,则f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数,故选C.
8.(2017·
唐山一中月考)f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=
,当x∈(0,1)时,f(x)=2x-2,则f(log
6)=________.
答案
解析 ∵f(x+1)=
,∴f(x)=f(x+2).
f(log
6)=-f(-log
6)=-f(log26)=-f(log26-2)=-(2log26-2-2)=-(
-2)=
9.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=
其中a∈R.若f(-
),则f(5a)的值是________.
答案 -
解析 由题意可得f(-
)=f(-
)=-
+a,f(
)=|
|=
,则-
+a=
,a=
,故f(5a)=f(3)=f(-1)=-1+
=-
10.定义在(-∞,+∞)上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(5
)的大小关系是__________.
答案 f(5
)<
f(-1)<
f(4)
解析 ∵y=f(x+2)为偶函数,
∴y=f(x)关于x=2对称.
又y=f(x)在(-∞,2)上为增函数,
∴y=f(x)在(2,+∞)上为减函数,
而f(-1)=f(5),
∴f(5
)<f(-1)<f(4).
11.若f(x)和g(x)都是奇函数,且f(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值8,求f(x)在(-∞,0)上的最小值.
答案 -4
解析 由题意知,当x>
0时,f(x)≤8.
∵f(x),g(x)都是奇函数,且当x<
0时,-x>
0.
∴F(-x)=af(-x)+bg(-x)+2=-af(x)-bg(x)+2=-[af(x)+bg(x)+2]+4≤8.
∴af(x)+bg(x)+2≥-4.
∴f(x)=af(x)+bg(x)+2在(-∞,0)上有最小值-4.