《第2章 二次函数》拔高训练Word格式.docx

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x2﹣1的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是　_________　（填序号如“1”）．

6．（4分）（天津）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是　_________　．

7．（4分）（天津）已知关于x的函数同时满足下列三个条件：

①函数的图象不经过第二象限；

②当x＜2时，对应的函数值y＜0；

③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大．

你认为符合要求的函数的解析式可以是：

　_________　（写出一个即可，答案不唯一）．

8．（4分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．

（1）二次函数的解析式为　_________　；

（2）当自变量x　_________　时，两函数的函数值都随x增大而增大；

（3）当自变量　_________　时，一次函数值大于二次函数值；

（4）当自变量x　_________　时，两函数的函数值的积小于0．

9．（4分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第　_________　象限．

10．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=　_________　．

三、解答题（共7小题，满分64分）

11．（8分）已知

是x的二次函数，求出它的解析式．

12．（8分）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°

，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．

（1）求△ABC中AB边上的高h；

（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：

这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？

如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．

13．（8分）（2000•甘肃）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：

m=140﹣2x．

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？

最大销售利润为多少？

14．（8分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．

15．（10分）（2008•南京）已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x

…

﹣1

y

10

5

（1）求该二次函数的关系式；

（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．

16．（10分）如图，直线l经过A（﹣2，0）和B（0，2）两点，它与抛物线y=ax2在第二象限内相交于点P，且△AOP的面积为1，求a的值．

17．（12分）（厦门）已知：

抛物线y=x2+（b﹣1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．

（1）求b+c的值；

（2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标；

（3）若b＞3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：

请画示意图思考）

参考答案

1-4）DABD

2解：

∵开口向上，

∴a＞0，

∵与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∵﹣

＞0，

∴b＜0，

∴abc＞0，a﹣b﹣c＞0，b+c﹣a＜0

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0．

故选A．

3解：

①根据图象，a＜0，b＞0，c＞0，故①错误；

②令x=﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；

③∵﹣

=1，

∴2a+b=0，

故③正确；

④x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，

x=1对应的函数值为y=a+b+c，又x=1时函数取得最大值，

∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm=m（am+b），

故④正确．

故选B．

4_解：

①、因为图象与x轴两交点为（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，

对称轴x=

=﹣

，

则对称轴﹣

＜﹣

＜0，且a＜0，∴a＜b＜0，

由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，①正确；

②、设x2=﹣2，则x1x2=

，而1＜x1＜2，

∴﹣4＜x1x2＜﹣2，∴﹣4＜

＜﹣2，

∴2a+c＞0，4a+c＜0．

∴②③正确

④、由抛物线过（﹣2，0），则4a﹣2b+c=0，而c＜2，则4a﹣2b+2＞0，即2a﹣b+1＞0．④正确．

故选D．_

5．　④　

6．（4，5）　．

7．　y=﹣x2+4x﹣4　

8．y=x2﹣2x﹣3　；

x　≥1　0＜x＜3x　＜﹣1　

9．　三

10．　﹣4　．

11.解：

由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1

又因为m2﹣2m﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0

解得m=3或m=﹣1（不合题意，舍去）

所以m=3

故y=12x2+9．

12.解：

如图，

（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：

AB=10，

∵S△ABC=

BC=

AB•CI，

∴

×

6×

8=

10×

CI，

∴CI=4.8；

∴△ABC中AB边上的高h=4.8．

（2）∵水池是矩形，

∴GF∥AB，

∴△CGF∽△CAB，

∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高，

=

∴GF=10﹣

∵10﹣

∴0＜x＜

设水池的面积为y，则

y=x（10﹣

）=﹣

x2+10x，

当x=﹣

=2.4时，水池的面积最大；

（3）∵FE⊥AB，CI⊥AB，

∴FE∥CI，

∴△BFE∽△BCI，

∴FE：

CI=BE：

BI，

又∵FE=2.4，CI=4.8，

在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6，

∴BE=

=1.8，

∵BE=1.8＜1.85，

∴这棵大树在最大水池的边上．

为了保护这棵大树，设计方案如图：

13.解：

（1）依题意，y=m（x﹣20），代入m=140﹣2x

化简得y=﹣2x2+180x﹣2800．

（2）y=﹣2x2+180x﹣2800

=﹣2（x2﹣90x）﹣2800

=﹣2（x﹣45）2+1250．

当x=45时，y最大=1250．

∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大为1250元．

14解：

（1）根据题意，

当x=0时，y=5；

当x=1时，y=2；

，解得

∴该二次函数关系式为y=x2﹣4x+5；

（2）∵y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，

∴当x=2时，y有最小值，最小值是1，

（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在函数y=x2﹣4x+5的图象上，

所以，y1=m2﹣4m+5，

y2=（m+1）2﹣4（m+1）+5=m2﹣2m+2，

y2﹣y1=（m2﹣2m+2）﹣（m2﹣4m+5）=2m﹣3，

∴①当2m﹣3＜0，即m＜

时，y1＞y2；

②当2m﹣3=0，即m=

时，y1=y2；

③当2m﹣3＞0，即m＞

时，y1＜y2．

15..解：

时，y1＜y2

16.．解：

设直线l的解析式为：

y=kx+b，则有：

解得

；

∴y=x+2；

∵S△AOP=

OA•yP=1，则yP=1；

当y=1时，x+2=1，x=﹣1；

∴P（﹣1，1）；

将P点坐标代入抛物线的解析式中，得：

a×

（﹣1）2=1，即a=1．

17.解：

（1）依题意得：

（﹣1）2+（b﹣1）（﹣1）+c=﹣2b（2分）

∴b+c=﹣2．（3分）

（2）当b=3时，c=﹣5，（4分）

∴y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，

∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣6）．（6分）

（3）当b＞3时，抛物线对称轴x=

∴对称轴在点P的左侧

因为抛物线是轴对称图形，P（﹣1，﹣2b）且BP=2PA

∴B（﹣3，﹣2b）（9分）

=﹣2，

∴b=5（10分）

又b+c=﹣2，

∴c=﹣7（11分）

∴抛物线所对应的二次函数关系式为y=x2+4x﹣7．（12分）

解法2：

（3）

当b＞3时，﹣b＜﹣3，1﹣b＜﹣2，则x=﹣

＜﹣1，

∴对称轴在点P的左侧，因为抛物线是轴对称图形

∵P（﹣1，﹣2b），且BP=2PA，

∴（﹣3）2﹣3（b﹣1）+c=﹣2b（10分）

解得b=5，c=﹣7（11分）

这条抛物对应的二次函数关系式为y=x2+4x﹣7．（12分）

解法3：

（3）∵b+c=﹣2，

∴c=﹣b﹣2

∴y=x2+（b﹣1）x﹣b﹣2（7分）

BP∥x轴，

∴x2+（b﹣1）x﹣b﹣2=﹣2b（8分）

即x2+（b﹣1）x+b﹣2=0

解得：

x1=﹣1，x2=﹣（b﹣2），即xB=﹣（b﹣2）10分

由BP=2PA，

∴﹣1+（b﹣2）=2×

∴b=5，c=﹣7（11分）

∴抛物线所对应的二次函数关系式为y=x2+4x﹣7．（12分）

《第2章二次函数》2010年拔高训练

参考答案与试题解析

1．（3分）（2008•长春）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

考点：

抛物线与x轴的交点．2968751

分析：

利用kx2﹣6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．

解答：

解：

∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，

∴方程kx2﹣6x+3=0（k≠0）有实数根，

即△=36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．

故选D．

点评：

考查二次函数与一元二次方程的关系．

二次函数图象与系数的关系．2968751

专题：

压轴题．

由开口向下得到a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0；

又对称轴﹣

＞0可以判定abc，a﹣b﹣c，b+c﹣a，﹣

的符号；

解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．

3．（3分）（2010•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，﹣

=1＞0，b＞0，②令x=﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③﹣

=1，即2a+b=0，④把x=m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x=1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x=1时函数值最大，所以x=1对应的函数值大于x=m对应的函数值，化简得到不等式成立，故④正确．

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

4．（3分）（2004•武汉）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：

采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．

此题考查了二次函数根与系数的关系，若二次函数y=ax2+bx+c的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣

，x1•x2=

．还考查了点与函数的关系，若点在函数上，将点的坐标代入函数即可求得．

5．（4分）（2008•兰州）在同一坐标平面内，下列4个函数①y=2（x+1）2﹣1，②y=2x2+3，③y=﹣2x2﹣1，④y=

x2﹣1的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是　④　（填序号如“1”）．

二次函数图象与几何变换．2968751

利用二次函数的性质．

前2个的二次项的系数的绝对值都为2，可由平移和轴对称变换得到；

第3个通过旋转得到的，第4个二次项的系数为

，不能通过上述变换得到．故答案是④．

解决本题的关键是理解平移变换和轴对称变换得到的二次函数的解析式中的二次项系数和原解析式中的二次项系数的绝对值相等．

6．（4分）（2008•天津）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是　（4，5）　．

数形结合．

根据抛物线解析式求出抛物线对称轴为x=1，再根据图象得出点p（﹣2，5）关于对称轴对称点Q的纵坐标不变，两点横坐标到对称轴的距离相等，都为3，得到Q点坐标为（4，5）．

∵x=﹣

=1．

∴P（﹣2，5）关于对称轴的对称点Q的坐标是（4，5）．

故点Q的坐标是（4，5）．

此题考查抛物线解析式与图象性质，以及轴对称点的相关性质，体现数形结合思想．

7．（4分）（2008•天津）已知关于x的函数同时满足下列三个条件：

　y=﹣x2+4x﹣4　（写出一个即可，答案不唯一）．

二次函数的性质；

一次函数的性质；

反比例函数的性质．2968751

压轴题；

开放型．

此函数可以是一次函数y=kx+b，（k＞0，b＜0）；

也可为二次函数y=ax2+bx+c，（a＜0，b＞0，c＜0）．

∵经过点（2，0）顶点的横坐标＞或等于2且开口向下的抛物线的解析式都是符合题意的，

∴我们可以写出一个函数是y=﹣（x﹣2）2=﹣x2+4x﹣4．（答案不唯一）．

此题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易错．

本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．

（1）二次函数的解析式为　y=x2﹣2x﹣3　；

（2）当自变量x　≥1　时，两函数的函数值都随x增大而增大；

（3）当自变量　0＜x＜3　时，一次函数值大于二次函数值；

（4）当自变量x　＜﹣1　时，两函数的函数值的积小于0．

待定系数法求二次函数解析式．2968751

（1）已知A（﹣1，0）、点B（3，0）两点，设抛物线解析式的交点式y=a（x+1）（x﹣3），再将点C（0，﹣3）代入求a即可；

（2）一次函数图象都是y随x增大而增大的，根据抛物线的对称轴x=1，确定抛物线的增减性；

（3）根据两函数图象的交点及图象的位置，确定一次函数值大于二次函数值时，自变量的取值范围；

（4）由图象可知，当x＞3时，两函数值同正，当﹣1＜x＜3时，两函数值同负，当x＜﹣1时，两函数值一正、一负；

（1）∵抛物线经过A（﹣1，0）、点B（3，0）两点，

∴设抛物线解析式的交点式y=a（x+1）（x﹣3），

将点C（0，﹣3）代入，得a=1，

∴y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、点B（3，0）两点，

∴抛物线对称轴为x=

=1，抛物线开口向上，

当x≥1时，两函数的函数值都随x增大而增大；

（3）由图象可知，当0＜x＜3时，一次函数值大于二次函数值；

（4）由图象可知，当x＜﹣1时，两函数值一正、一负，它们的积小于0．

本题考查了用交点式求二次函数解析式的方法，还考查了通过图象探讨二次函数性质的能力．

9．（4分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第　三　象限．

与x轴交点都在原点右侧，可知交点横坐标都为正值，即ax2+2x+c=0的解为正，所以根据根与系数关系可知，x1+x2=﹣

，x1x2=

，即可确定a，c的符号，从而可确定点M所在的象限．

设x1，x2为方程ax2+2x+c=0的根，

则根与系数关系可知，x1+x2=﹣

∵函数与x轴的交点都在原点的右侧，

∴x1+x2＞0，x1x2＞0，

∴a＜0，c＜0，

∴点M（a，c）在第三象限．

本题考查了二次函数上点的坐标特征．

10．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=　﹣4　．

由题意抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，令x=0，求出A点坐标，又与x轴的正半轴交于B、C两点，判断出c的符号，将其转化为方程的两个根，再根据S△ABC=3，求出b值．

∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，

令x=0得，A（0，c），

∵该抛物线的开口向上，且与x轴的正半轴交于B、C两点，

∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，

∴c＞0，

设方程=x2+