高中物理 第十一章 机械振动第4课时单摆教师用书 新Word下载.docx

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③摆球的直径与摆线长度相比小得多

2．单摆的回复力

（1）单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力F＝mgsinθ提供的。

（2）在最大偏角很小的条件下，单摆的回复力F＝－

x，其中x为摆球相对平衡位置O的位移。

由此可见：

单摆的回复力与离开平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，因此单摆在偏角很小的条件下的振动为简谐运动。

注意：

（1）单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零。

（2）单摆的回复力为小球受到的沿切线方向的合力，而不是小球受到的合外力

【例1】对于单摆，以下说法中正确的是（　　）

A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零

解析　单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为

，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零。

故应选C。

答案　C

名师点睛　单摆的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力。

摆球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力。

因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零（此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力）。

要点精讲]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

操作指要

1．要保证单摆在同一竖直平面内摆动。

2．摆动偏角尽量不要大于5°

。

3．悬线上端不要随摆球摆动，一定要使之固定。

4．测量线长时要将其挂好后再测量。

5．开始计时的位置选在摆球经过平衡位置时。

6．测量周期时，一般测单摆振动30～50次全振动的时间，再求周期。

7．处据数理时，一般作出L－T2的关系图象，找出周期与摆长的关系。

【例2】某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当（填“是”或“否”）。

①把单摆从平衡位置拉开约5°

释放；

________

②在摆球经过最低点时启动秒表计时；

③用秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期。

图1

该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见下表。

用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图1所示，该球的直径为______________mm。

根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大，与摆球的质量无关。

数据组

编号

摆长/mm

摆球质量/g

周期/s

1

999.3

32.2

2.0

2

16.5

3

799.2

1.8

4

5

501.1

1.4

6

答案　①是　②是　③否　20.683（20.682～20.684）　摆长

基础梳理]

荷兰物理学家惠更斯确定了计算单摆周期的公式：

T＝2π

，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关（填“有关”或“无关”）。

1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。

2．对单摆的周期公式T＝2π

的理解。

（1）单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立（偏角为5°

时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%）。

（2）公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。

（3）公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。

（4）周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关。

所以单摆的周期也叫固有周期。

【例3】甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的图象如图2所示，由图可知（　　）

图2

A．甲和乙的摆长一定相等

B．甲的摆球质量较小

C．甲的摆角大于乙的摆角

D．甲、乙两曲线均表示运动轨迹

解析　由题图可知，甲和乙两摆的周期相同，则由单摆的周期公式T＝2π

可知，两摆的摆长一定相同，故A正确；

因为单摆的周期与摆球质量无关，所以不能确定摆球质量的大小，故B错误；

摆长相同，而甲的振幅大，故甲摆的摆角大，故C正确；

简谐运动的图象表示位移随时间的变化规律，不表示摆球的运动轨迹，故D错误。

答案　AC

1．悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。

2．强调在同一平面内振动且摆角小于5°

3．选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。

4．小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l线，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l线＋r。

5．选用一米左右的细线。

6．数据据理

（1）公式法：

每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝

中，求出g值，最后求出g的平均值。

图3

（2）图象法：

由T＝2π

得T2＝

l作出T2－l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴，如图3所示。

其斜率k＝

，由图象的斜率即可求出重力加速度g。

【例4】下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：

摆长l/m

0.4

0.5

0.6

0.8

1.0

1.2

周期平方

T2/s2

1.6

2.2

2.4

3.2

4.0

4.8

（1）利用上述数据，在图4中描出l－T2的图象。

图4

（2）利用图象，取T2＝5.2s2时，l＝________m，重力加速度g＝________m/s2。

解析　

（1）描点作图如图所示。

（2）由图可知当T2＝5.2s2时，l＝1.3m，

将它代入g＝

得：

g＝

＝

m/s2≈9.86m/s2

答案　

（1）见解析图　

（2）1.3　9.86

1．单摆振动的回复力是（　　）

A．摆球所受的重力

B．摆球重力在垂直悬线方向上的分力

C．悬线对摆球的拉力

D．摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力

解析　摆球振动的回复力是其重力沿轨迹切向方向的分力，即摆球重力在垂直悬线方向上的分力，B正确。

答案　B

2．单摆原来的周期为T，下列哪种情况会使单摆的周期发生变化（　　）

A．摆长减为原来的四分之一

B．摆球的质量减为原来的四分之一

C．振幅减为原来的四分之一

D．重力加速度减为原来的四分之一

解析　由单摆周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度有关。

答案　AD

3．图5为甲、乙两单摆的振动图象，则（　　）

图5

A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1

B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1

C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1

D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4

解析　由题图可知T甲∶T乙＝2∶1，

根据公式T＝2π

，

若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1；

由g＝

知若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4

答案　BD

4．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。

若已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图6甲所示，则单摆摆长是________m。

若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表示数，则秒表读数是________s，单摆摆动周期是________。

图6

为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。

现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，如图7所示，则：

图7

单摆做简谐运动应满足的条件是______________。

试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2。

（结果保留两位有效数字）

解析　由T＝2π

，可知g＝

由题图可知：

摆长l＝（88.50－1.00）cm＝87.50cm＝0.8750m

秒表的读数t＝60s＋15.2s＝75.2s，

所以T＝

＝1.88s。

单摆做简谐运动的条件是摆角θ≤5°

把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k＝

，可得g≈9.9m/s2。

答案　见解析

一、选择题（在每小题给出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。

）

1．单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是（　　）

A．摆线质量不计

B．摆线长度不可伸缩

C．摆球的直径比摆长长度短得多

D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动

解析　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不可伸缩。

只有在摆角很小（θ≤5°

）的情况下才能视单摆运动为简谐运动。

故正确答案为A、B、C。

答案　ABC

2．关于单摆，下列说法中正确的是（　　）

A．摆球运动的回复力是它受到的合力

B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的

C．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置

D．摆球经过平衡位置时，加速度为零

解析　摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A错；

摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C、D错；

由简谐运动特点知B正确。

3．发生下列哪一种情况时，单摆周期会增大（　　）

A．增大摆球质量B．缩短摆长

C．减小单摆振幅D．将单摆由山下移至山顶

解析　由单摆周期公式T＝2π

知，T与单摆的摆球质量、振幅无关，缩短摆长，l变小，T变小；

单摆由山下移到山顶，g变小，T变大。

答案　D

4．如图1所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在的平面内向左拉一小角度后释放，碰撞B球后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（　　）

A．如果mA>

mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧

B．如果mA<

mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧

C．只有当mA＝mB，才能使得下一次碰撞发生在平衡位置

D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都一定在平衡位置

5．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两单摆摆长之差为1.6m，则两单摆摆长la与lb分别为（　　）

A．la＝2.5m，lb＝0.9m

B．la＝0.9m，lb＝2.5m

C．la＝2.4m，lb＝4.0m

D．la＝4.0m，lb＝2.4m

解析　单摆完成一次全振动所需的时间即单摆的周期，据题设可知a、b两单摆的周期之比为：

由单摆周期公式T＝2π

据题设得lb－la＝1.6m，

联立解得la＝0.9m，lb＝2.5m。

故正确答案为B。

6．如图2所示的单摆，摆长为l＝40cm，摆球在t＝0时刻从右侧最高点静止释放做简谐运动，则当t＝1s时，摆球的运动情况是（g取10m/s2）（　　）

A．向右加速B．向左减速

C．向左加速D．向右减速

解析　单摆的周期T＝2π

＝2π

s＝0.4πs≈1.256s，t＝1s时，则

T<

t<

T，摆球从右侧最高点释放做简谐运动，在t＝1s时已经越过平衡位置（最低点），正向右侧最大位移处运动，摆球做的是减速运动，故A、B、C错误，D正确。

二、非选择题

7．在用单摆测定重力加速度时，某同学用同一套实验装置，用同样的步骤进行实验，但所测得的重力加速度总是偏大，其原因可能是（　　）

A．测定周期时，振动次数少数了一次

B．测定周期时，振动次数多数了一次

C．摆球的质量过大

D．计算摆长时，只考虑悬线的长度，没有加上小球的半径

解析　由公式g＝

可知，如果振动次数多数了一次，即T偏小，则g偏大，选项A错，B对；

摆球的质量过大，不影响单摆的周期与摆长，所以不影响测得的重力加速度，选项C错；

当没加小球的半径时l偏小，求得的g偏小，选项D错。

8．如图3所示是两个单摆的振动图象。

（1）甲、乙两个摆的摆长之比是多少？

（2）以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0时起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？

向什么方向运动？

解析　

（1）由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的

，即T甲∶T乙＝1∶2，又由单摆的周期与摆长的关系可知，l甲∶l乙＝1∶4。

（2）由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t＝2s，振动到

周期，甲振动到

周期，位移为0，位于平衡位置，此时甲向左运动。

答案　

（1）1∶4　

（2）甲振动到

周期，位于平衡位置，此时甲向左运动。

9．图4甲中是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图象，根据图象回答：

（1）单摆振动的频率是多大？

（2）开始时刻摆球在何位置？

（3）若当地的重力加速度为10m/s2，试求这个单摆的摆长是多少？

解析　

（1）由题图乙知周期T＝0.8s，

则频率f＝

＝1.25Hz。

（2）由题图乙知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以在B点。

（3）由T＝2π

得l＝

≈0.16m。

答案　

（1）1.25Hz　

（2）B点　（3）0.16m

10．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长l，通过改变摆线的长度，测得6组l和对应的周期T，画出l－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图5所示。

他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g＝________。

请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________（填“偏大”、“偏小”或“相同”）。

解析　由周期公式T＝2π

得g＝

结合图象得到g＝

因为这样处理数据后用到的是前后两次摆长的差值，与重心位置无关，所以测量结果不受影响。

答案　

　相同

11．根据单摆周期公式T＝2π

，可以通过实验测量当地的重力加速度。

如图6甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。

（1）用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm.

（2）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________。

（多选）

A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些

B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的

C．为了使摆的周期大一些、以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

D．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置大于5度，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T

E．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5度，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝

解析　

（1）根据游标卡尺读数规则，游标卡尺的读数：

18mm＋0.1×

6mm＝18.6mm。

（2）摆线要选择细些的，可减小阻力，伸缩性小些的，保证摆长不变，并且尽可能长一些，以方便周期的测量，选项A正确；

摆球尽量选择质量大些、体积小些的，可减小空气阻力的影响，选项B正确；

为了使摆的周期大一些，以方便测量，可增大摆长，使摆线相距平衡位置有较大的角度，可能导致误差增大，选项C错误；

拉开摆球，使摆线偏离平衡位置小于等于5度，在摆球通过平衡位置的同时开始计时，测量单摆运动50个周期的时间t，则单摆周期T＝

，选项D错误，E正确。

答案　

（1）18.6　

（2）ABE

12．“用单摆测定重力加速度”的实验装置如图7甲所示，实验时使摆球在竖直平面内摆动，在摆球运动最低点的左右两侧分别放置一激光光源和光敏电阻（光照时电阻比较小），光敏电阻与某一自动记录仪相连，用刻度尺测量细绳的悬点到球的顶端距离当作摆长，分别测出L1和L2时，该仪器显示的光敏电阻的阻值R随时间t变化的图线分别如图乙、丙所示。

（1）根据图线可知，当摆长为L1时，单摆的周期T1为________，当摆长为L2时，单摆的周期T2为________。

（2）请用测得的物理量（L1、L2、T1和T2），写出当地的重力加速度g＝________。

答案　

（1）2t1　2t2　

（2）