自动控制原理课后参考答案Word格式.docx

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（3）该微分方程不含变量及其导数的高次幕或乘积项，所以该系统为线性系统，但第一项

tdc（t）

dt的系数为t，是随时间变化的变量，因此该系统为线性时变系统。

（4）因为c（t）的表达式中r（t）的系数为非线性函数cost，所以该系统为非线性系统。

（5）因为该微分方程不含变量及其导数的高次幕或乘积项，且各项系数均为常数，所以该系统为线性定常系统。

（6）因为c（t）的表达式中包含变量的二次项『（t），表示二次曲线关系，所以该系统为非线性系统。

0（t：

6）

a—

（7）因为c（t）的表达式可写为c（t）=ar（t），其中1（t-6），所以该系统可看作是线性时变系统。

第二章

2-3试证明图2-5（a）的电网络与（b）的机械系统有相同的数学模型。

Q

/A7-W/7

Hr

（b）

分析首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找岀两者之间系数的对应关系。

对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，

关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列岀系统的方程，最后联立求微分方程。

证明：

（a）根据复阻抗概念可得：

&

+1

C2s

rt

r1C1：

C2Sr1

Uo

Ui

RRGCqS2+（RQ+R2C2+RC2）s+1

RiR2GC2s（r1c1r2c2RC2）1

C1s

d2u0du0

20（RC「R2C2R1C2）0u0二R1R2C1C2dtdt

取A、B两点进行受力分析，可得：

dxodxodx

f1（不盂）WFF頁一即

dxodx

整理可得：

d2x

叮2今

经比较可以看岀，电网络（a）和机械系统（b）两者参数的相似关系为

rr2c1c2

d2ui

dt2

dx

（f1K1f1K2f2K1）0-K1K2xo

d2xi

然后利用对于机械系统，

dui

（R1C1R2C2）iui

dt

1f2祚（gf2K1）,K1K2X

11

K1,f^lR-i,K2,f2」R2

c1c2

2-5设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x（t）曲线，指

岀各方程式的模态。

⑴2x（t）x（t）二t;

（2）x（t）2x（t）x（t）-（t）。

2-7由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示，试求闭环传递函数Uc（s）/U

r（s）。

图2-6

控制系统模拟电路

由图可得

Ri

R2Ro

U21

U1R）C2s

联立上式消去中间变量U1和U2，可得:

Uo（S）RR2

Uj（s）-r3r1C1C2s2R；

C2sr1r2

2-8某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。

已知电位器最大工作角度入ax=330°

，功

率放大级放大系数为K3,要求：

（1）分别求岀电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2；

画岀系统结构图；

图2-7位置随动系统原理图

分析：

利用机械原理和放大器原理求解放大系数，然后求解电动机的传递函数，从而画岀系统结

构图，求岀系统的传递函数。

3

-3010

10103

入（S）1

石二Tms2「K2K3KmKts

K0K1K2&

KmK°

K1K2K3Km

2-9若某系统在阶跃输入r（t）=1（t）时，零初始条件下的输岀响应qt）二1-。

^■e

试求系统的传递函数和脉冲响应。

利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，进而求解出系统的传递函数,

然后对传递函数进行反变换求岀系统的脉冲响应函数。

R（s）」

（1）s，则系统的传递函数

.11.1s4s2

C（s）-

ss+2s+1s（s+1）（s+2）

R（s）（s+1）（s+2）

（2）系统的脉冲响应

C（s）/R（s）和C（s）/N（s）。

2-10试简化图2-9中的系统结构图，并求传递函数

N

（b）图2-9题2-10系统结构图

分别假定R（s）=o和N（s）=O，画出各自的结构图，然后对系统结构图进行等效变换,将其化成最简单的形式，从而求解系统的传递函数。

（a）令N（s）=0，简化结构图如图所示：

C（s）G1G2

可求出：

R（s）_1（1HJGG令R（s）=0,简化结构图如图所示:

N（s）

C（s）G3G2〜（1GG2HJ

所以：

N（s）1G1G2G1G2H1

（b）令N（s）=0,简化结构图如下图所示:

■

G1G2

R

■

—O—►

G4「

-C*G2+G3

R（s）1G2G4G3G4

（s）=0,简化结构图如下图所示:

G2G3

G4

C（s）=

N（s）1■G2G4'

G3G4

2-12试用梅逊增益公式求图2-8中各系统信号流图的传递函数C（s）/R（s）j

图2-11题2-12系统信号流图

存在三个回路：

人=1G3H1G2G3H2G3G4H3

解:

（a）

存在两条前向通路：

R=GiG2G3GG5,也1=1

F2=G6,丄2八

C（s）GG2G3G4G5

G6

R（s）1G3H1G3G4H3G2G3H2

（b）9个单独回路：

Li-（2已丄2--G4H2,L3-（6日3丄4--G3G4G5H4,L5--G1G2G3G4G5G6H5

LG7G3G4G5G6H5,L7=-GGsGgH5,a=G7HiGgGeH5,L9=G&

H4Hi

6对两两互不接触回路：

三个互不接触回路1组：

L1L2L3

4条前向通路及其余子式：

R=GiG2G3G4G5G6,1=1；

£

=6763646566,2=1；

P3=-G7H1G8G6^3=1+G4H2;

Fi=G1G8G6,-4=1+G4H2

4

所以,

C（s）

R（s）

Pk兀

kJ：

96

1八La'

LbLc-dLs

a41

3-4已知二阶系统的单位阶跃响应为

h（t）=10-12.5esin（1.6t53.1°

）试求系统的超调量b%、峰值时间tp和调节时间ts。

解：

依题意

t=tp时h（tp），并且tp是使h（tp）第一次为零的时刻（tp一°

）

=1°

-12.5e（cos53.1°

sin1.6tsin53.1°

cos1.6t）

h（t）=15e'

.2tsin（1.6t53.1°

）-2°

e'

.2tcos（1.d53.1°

）=25e'

.2tsin1.6t

可见，当h（t）第一次为°

时，1.6tp=二一tp=1.96，所以

根据调节时间ts的定义：

°

.95he厂:

h（ts厂j.o5^：

），即

12t

9.5£

1°

-12.5ev°

.5，得

所以•"

％=9.5%tp=1.96sts=2.68s

3-5设图3-3是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K1和Kt，使系统con=6>

求出系统传递函数，如果可化为典型二阶环节形式，则可与标准二阶环节相对照,

从而确定相应参数。

解对结构图进行化简如图所示。

25Ki

"

（s）=s（s°

8）2江

仆25Ki（KtS+1）s+（0.^25K1Kt）^25K1故系统的传递函数为s（s'

°

，8）

和标准二阶系统对照后可以求出：

2“

国n2两一08

K1-=1.44,Ktn0.31

125t25K1

3-7已知系统特征方程如下，试求系统在s右半平面的根数及虚根值。

s6+4s5—4s4+4s3-7s2-8s+10=0

分析系统在右半平面的根数即为劳思表第一列符号改变的次数，虚根值可通过构造辅助函数求得。

解由系统特征方程，列劳思表如下

6s

1

-4

-710

5s

-8

4s

-5

10

3s

（出现了全零行，

要构造辅助方程）

由全零行的上一行构造辅助方程-5s4-5s2•10=0，对其求导，得

-20s—10s=0

故原全零行替代为

s3-20-10

s2-2.510

s1—90

s010

表中第一列元素变号两次，故右半s平面有两个闭环极点，系统不稳定。

42

对辅助方程-5s-'

5s/O=0化简得

（s2—1）（s22）=0①

由D（s）/辅助方程，得余因式为

（s-1）（s+5）=0②

求解①、②，得系统的根为

s，2==jV2电4=二1E=1民=-5

所以，系统有一对纯虚根。

3-9已知单位反馈系统的开环传递函数

（1）

G（s）

10（2s1）

~22

s（s6s100）

试求输入分别为r（t）二2t和r（t）=2•2t•t时，系统的稳态误差。

可分解

最后叠

用静态误差系数法求稳态误差比用误差传递函数求解更方便。

对复杂的输入表达式,

为典型输入函数的线性组合，再利用静态误差系数法分别求各典型输入引起的误差，加起来即为总的误差。

解

（1）

判别系统的稳定性

D（s）=（0.1s1）（s5）100=0

10D（s）=（s10）（s5）1000二s215s1050=0

s11050

s115

s1050

可见，劳思表中首列系数全部大于零，该系统稳定。

求稳态误差

K=100/5=20,系统的型别'

=0,

22

ess1===0.095

当n（t）=2时，1+心1+20

ess2=一=—

当,）=4时，ss2Kv0

所以，氐r_2t,

二oO

ess2

⑵判断稳定性22,:

.—:

D（s）二s（s10）（s5）500=s315s250s500s4110010

s3620

s96.710

1562

s

9

劳斯表中首列系数全部大于零，该系统稳定。

K=10/100=0.1,系统的型别訂=2,

=0

当r1（t）=2时,

002A20t

3-11设随动系统的微分方程为

Td2c（t）dc（t）

二K2u（t）

T12

u（t）+[r（t）-b（t）]

T2警b（t）=c（t）

其中，Ti、T2和K2为正常数。

若要求r（t）=1+t时，c（t）对r（t）的稳态误差不大于正常数&

0,试问K1应满足什么条件？

先求出系统的误差传递函数，再利用稳态误差计算公式，根据题目要求确定参数。

对方程组进行拉普拉斯变换，可得

（T；

s2s）C（s）=K2U（s）

U（s）=K1[R（s）-B（s）]

（T2s1）B（s）二C（s）

按照上面三个公式画出系统的结构图如下：

所以

K1K2T2SK1K2

（T1T2）ssK1K2

1_QKT2

—0k1k1-

，可得k2（；

oT2），因此，当k2（；

oT2）时，满足条件。

第四章

4-4设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确

定分离点坐标d）:

②起点：

p1=0,p2=-2,p3=-5;

没有零点，终点：

3条根轨迹趋向于无穷远处。

渐进线:

分离点:

求解得：

d1=-3.79（舍去），d2=_0.88；

作出根轨迹如图所示：

111

r=

④分离点：

dd0.5d1

d1°

29，d?

—1.707；

4-

6设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求:

2*432**

D（s）-s（s10）（s20）K（sz^s30s200sKsKz=0

令s=j代入D（s）=0，并令其实部、虚部分别为零，即：

Re[D（j1）]=1_200+K*z=0,Im[D（j1）]=—30+K*=0解得：

K*=30,z=6.63

画出根轨迹如图所示：

30

20

10-

0

-10

-20

-30

-40>

-

-60-40

-200

4-10设单位反馈控制系统的开环传递函数

要求：

（1）画出准确根轨迹（至少校验三点）；

⑵确定系统的临界稳定开环增益Kc;

（3）确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。

利用解析法，采用逐个描点的方法画出系统闭环根轨迹。

然后将j'

代入特

征方程中，求解纯虚根的开环增益，或是利用劳斯判据求解临界稳定的开环增益。

对于临界

阻尼比相应的开环增益即为实轴上的分离点对应的开环增益。

d1八21.3,d2=-78.8（舍去）；

di一-8.47

整理得d2=0.47（舍去）

出射角：

入=180°

arctan2-90°

=135°

根轨迹如图所示:

第五章

5-2若系统单位阶跃响应为

h（t）=1-1讨+0.8e^

试确定系统的频率特性。

分析先求出系统传递函数，用j'

替换s即可得到频率特性。

从h（t）中可求得：

h（0）=0,h（0）=0

R（s）之间

在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯变换H（s）与系统输出的拉普拉斯变换

的关系为

H（s）=：

」（s）R（s）

令s=j'

，则系统的频率特性为

5-

7已知系统开环传递函数为

当取3=1时，•G（jJ=T80G（J3）|=0.5。

当输入为单位速度信号时，系统

的稳态误差为0.1,试写出系统开环频率特性表达式G（J3）。

根据系统幅频和相频特性的表达式，代入已知条件，即可确定相应参数。

由题意知：

K-10

当'

=1时,

■^G（j1）--90°

-arctanT2-arctanT|--180°

由上两式可求得T1二20，T2二0.05，因此

G（j）=

10（-j0.05■1）

j（20j■1）

5-14已知下列系统开环传递函数

（参数K、T、T

i>

0,i一1；

2,…，6）

K

（T1S-1）（T2s1）（T3S1）

（8）

（9）

s（「s1）（T2s1）

2s（Ts1）

K（「s1）

~~2

S2（T2S1）

_K（T1S1）（T2S1）

K（T5S1）（T6S1）

-s（T1s1）（T2s1）（T3s1）（T4s1）

_Ts-1

-K

-Ts1

s（Ts_1）

（10）

其系统开环幅相曲线分别如图5-6

（1）〜（10）所示，试根据奈氏判据判定各系统的闭环稳定

图5-6题5-8系统开环幅相曲线

由开环传递函数可知系统在右半平面开环极点个数P,由幅相曲线图可知包围点

（一1,j0）的圈数。

（1）P=°

N=-1

Z=P-2N=0-2（T）=2

所以系统在虚轴右边有2个根，系统不稳定。

（2）P=°

N=0

Z=P—2N=0-20=0

L

r

5）

U

M

所以系统在虚轴右边有0个根，系统不稳定。

（3）P2N—1

ZP-2N=0-2（-1）=2

（4）P7N=0

Z=P-2N=0-20=0

所以系统在虚轴右边有0个根，系统稳定。

（5）P7N「1

Z=P—2N=0-2（-1）=2

（6）P=0,N=0

ZP-2N0-20=0

（7）P=0,N=0

P=1,N二

（8）2

Z=P-2N=1-20

（9）P"

，N=0

ZP-2N1-20=1

所以系统在虚轴右边有1个根，系统不稳定。

P=1,N=

（10）2

Z=P_2N=1_2（）=2

5-21设单位反馈控制系统的开环传递函数为

G（s）二

as1

2~

S

根据相角裕度的定义计算相应的参数值。

G（「厂丄字严八°

0）

开环幅相曲线如图所示

以原点为圆心做单位圆，开环幅相曲线与单位圆交于

A点，在A点有

①

要求相角裕度J8O0=45°

，即

（•c）二arctanac-180°

=45°

-180°

=-135°

ac=1

联立①、②两式可求解得■'

C=1.19,a=0.84

第六早

G（s）K

6-2设单位反馈系统的开环传递函数

s（s+3）（s+9）

（1）如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超调量二％=20%，试确定K值；

（2）根据所求得的K值，求出系统在单位阶跃输入作用下的调节时间，以及静态速度误差

系数Kv；

（3）设计一串联校正装置，使系统的Kv一20s_l，二％叮5%乙减小两倍以上。

分析设计校正装置时，只要满足性能指标要求即可，所以确定K值时，通常选择满足

条件的最小K值。

解

（1）由高阶系统频域指标和与时域指标的关系式有：

•:

;

=0.160.4（Mr-1）

二-0.160.2-0.16d…

11=1.10.4

Mr

0.4

1Mr=.

sinr

V.1

二arcsin

Mr

=65.4。

000■.■■■c■-■■■c

又因为=180G（j»

180一90—arctan「arctan6

arctan生+arctan

因此

c=180。

-900-65.40=24.60

tan24.6二~~9

12c

1一27

整理得：

「c■26・21'

c一27=0

解得：

=二匕匕一2.27（舍去）

开环增益为：

39

21.5（Mr-1）2.5（Mr-1）2■:

ts

--6.83s

Kv

27

Kv20二K_540

（3）27

取K=540