静力学第四章Word文档下载推荐.docx

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虚位移可以是线位移，也可以是角位移，虚位移用符号δ表示，以区别于实位移，如

等。

必须注意，虚位移和实位移虽然都是约束所容许的位移，但二者是有区别的。

实位移是在一定的力的作用和已知的初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向。

而虚位移则纯粹是一个几何概念，它既不牵涉到系统的实际运动，也不牵涉到力的作用，与时间过程和初始条件无关，在不破坏系统约束的条件下，它具有任意性。

例如一个被约束在固定面上的质点，它的实际位移只有一个，而虚位移在它的约束面上则有无限多个。

系统的虚位移可用对坐标做变分运算，即如果系统中某一点M的坐标（x，y，z）可以表示为某些参变数的函数，则对该坐标做变分运算，便可求得该质点的虚位移投影。

除此之外，还可以用图解解析法，即直接作图来标出系统的虚位移，然后按约束条件推求各质点虚位移之间的关系，下面举例说明虚位移的求法。

【例题4-1】【例题4-2】【例题4-3】

二、虚功

质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，力在虚位移上作功的计算与作用力在真实小位移上所作元功的计算是一样的。

设某质点受力F作用，现给质点一虚位移δr，如图4-6所示，则力F在虚位移上所作的虚功为

（4-1）

上式也可写成

（4-2）

图4-6

应该指出，虚位移只是假想的，而不是真实发生的，因而虚功也是假想的。

很多情况下，约束反力与约束所允许的虚位移互相垂直，约束力的虚功等于零；

很多系统内部的相互约束力所作虚功之和也等于零，这种约束称为理想约束。

在第一章第三节中介绍了工程中常遇到的简单的约束类型，如光滑表面，光滑铰链，刚性杆以及不可伸长的绳索等均为理想约束，其约束反力作虚功之和等于零。

若以

表示质点系中某质点的虚位移，FNi表示作用在该质点上的约束反力，

表示该约束反力在虚位移中所作的虚功，则具有理想约束的质点系满足

第二节 

虚位移原理

一、虚位移原理

设有一质点系处于静止平衡。

取质点系中任一质点Mi，如图4-7所示，作用在该质点上的主功力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi。

因为质点系平衡，因此有

。

若给质点系以某个虚位移，其中质点Mi上的力Fi和FNi的虚功的和为

对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的等式。

我们将这些等式相加，得

如果质点系具有理想约束，则约束反力在虚位移中所作虚功的和为零，即

，代入上式得

（4-3）

图4-7

因此，具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：

作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。

这就是虚位移原理，又称虚功原理，式（4-3）称为虚功方程，也可写成解析表达式

（4-4）

其中Fix、Fiy、Fiz为作用于质点Mi的主动力Fi在直角坐标轴上的投影。

以上证明了虚位移原理的必要性，下面采用反证法证明其充分性，即证明如果质点系受力作用时满足式（4-3），则质点系必定平衡。

假设质点系受力作用而不平衡，则此质点系在初始静止状态下，经过dt时间，必有某些质点由静止而发生运动，而且其微小位移应沿该质点所受合力的方向。

设该质点主动力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi。

当约束条件不随时间而变化时，真实发生的微小位移也应满足该质点的约束条件，是可能实现的虚位移之一，记为

，则必有不等式

质点系中发生运动的质点上作用力的虚功都大于零，而保持静止的质点上作用力的虚功等于零，因而全部虚功相加仍为不等式，即

理想约束下，有

由于得到

这与式（4-3）是矛盾的。

因此，在满足式（4-3）条件下，质点系必定保持平衡，这就证明了虚位移原理的充分性。

应该指出，虚位移原理是在质点系具有理想约束的条件下建立的，但是也可以推广应用于约束中有摩擦的情形，这时只要把摩擦力也当作主动力，在虚功方程中计入摩擦力所作的虚功即可。

虚位移原理是解决静力学平衡问题的普遍定理，所以虚功方程（4-3）或（4-4）又称为静力学普遍方程，这个方程可用来导出刚体静力学的全部平衡条件，亦可方便地用来解决一般质点系的平衡问题。

在工程实际中，特别是解决一些复杂的机构或结构的平衡问题时，不必象几何静力学那样解一系列的联立方程组，而是根据具体的要求建立方程，使那些未知的但不需要求出的约束反力在方程中不出现，从而使繁冗的运算过程得到很大的简化。

二、虚位移原理的应用

下面举例说明虚位移原理在工程实际中的应用。

第三节 

自由度与广义坐标、广义力

一、自由度

一个自由质点在空间的位置，需用三个独立坐标来确定，我们说该自由质点在空间有三个自由度。

设由n个质点组成的质点系，其中每个质点都是自由的，则确定该质点系位置的3n个坐标都是独立的，我们说该质点系具有3n个自由度。

对一个非自由质点系来说，由于受到约束，质点系中各质点的位置坐标将满足一定的约束条件而不是完全独立的。

例如图4-11所示的双锤摆，设只在铅直平面内摆动，摆锤A和B的位置的四个坐标x1、y1、x2、y2，由约束方程：

建立了联系，所以确定摆锤A和B位置的坐标，只有两个坐标是独立的，我们说摆锤A和B具有二个自由度。

为了进一步分析问题的需要，下面将简单介绍约束方程的概念，给出更严密的关于自由度的定义，并引入广义坐标的概念。

图4-11

具有n个质点的质点系，其中质点i的坐标以xi、yi、zi表示，以

表示坐标对时间的一阶导数，则对此质点系一般形式的约束方程为

（j=1，2，3，…，s）即此质点系具有s个约束方程，约束可以对质点的位置及其运动速度都有限制。

而且约束条件可以随时间而变化，而含有时间t。

如果其约束条件可以写成不含坐标导数

的约束方程形式

（j=1，2，3，…，s）。

这种约束称为完整约束。

如果质点系的全部约束都是完整约束，则此质点系称为完整系统。

如果约束方程中不显含时间变量t，则此约束称为稳定约束（或定常约束）。

如图4-12a中直线滑道对滑块的约束方程为y=0；

图4-12b中以细杆连接的质点在平面内的约束方程为

；

图4-12c中，在固定曲面上运动的质点M的约束方程也就是此固定曲面的曲面方程

。

图4-12

上述这些约束方程都与时间无关，均为稳定约束。

工程中的约束多数是稳定的完整约束。

在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数。

例如图4-13中的曲柄连杆机构，四个坐标xA、yA、xB和yB，要满足以下三个方程式：

，

只有一个独立坐标，故此系统只有一个自由度。

图4-13

二、广义坐标和广义力

有时用直角坐标来表示质点系的位置比较麻烦，而用其它参数表示则较为方便。

例如图4-13的曲柄连杆机构，如选曲柄OA对x轴的转角φ为独立变量，则各质点的直角坐标可表示为φ的单值连续函数：

这样可以很方便并且唯一地确定了质点系的位置。

唯一地确定质点系位置的独立变量，称为广义坐标。

上面曲柄连杆机构中的角φ是广义坐标。

显然，广义坐标的数目等于确定质点系位置的独立变量的数目。

在完整约束的情形下，质点系的广义坐标的数目等于自由度数。

设n个质点组成一非自由质点系，受到s个稳定完整约束，有k=3n－s个自由度，选N个广义坐标q1、q2，…，qn可确定质点系的位置。

对于选定的直角坐标系，各质点的坐标可以写成如下的广义坐标的函数形式：

（i=1，2，…，n）（4-5）

对上式进行变分运算得

（i=1，2，…，n）（4-6）

式中

称为广义虚位移，上式表明，质点系的虚位移都可以用质点系的广义虚位移表示。

将式（4-6）代入虚位移原理表示的系统的平衡条件式（4-4）

令

（4-7）

则

（4-8）

式中各广义坐标前的系数

称为对应于广义坐标qk的广义力。

由于广义虚位移

是任意给定的，故

前的系数都分别等于零，即

（k=1，2，…，N）（4-9）

故具有理想约束的系统，平衡的充要条件为：

对应于每一广义坐标的广义力都等于零。

这就是以广义坐标表示的系统的平衡条件。

关于广义力的求法，常常并不需要按公式（4-9）进行，而只要从虚功概念出发就可直接求出广义力，注意到广义坐标q1、q2，…，qn是完全独立的，因此，可取一组特殊的虚位移，只令广义坐标中的q1变更，而保持其余（N-1）个广义坐标不变，即令

≠0，而

，这样就可求出所有主动力相应于虚位移

所作的虚功之和，并以

表示，所以有

由此求得

用同样的方法可求出

要注意广义力与广义虚位移之积为虚功，当

的量纲是长度时，广义力

的量纲就是力的量纲；

而当

为角度时，

的量纲就是力矩量纲。

第四章思考题

·

4-1虚位移与实位移有什么相同之处？

又有什么不同之处？

4-2试分析图4-16所示三个平面机构的自由度数。

图4-16

4-3机构如图4-17所示，在图示位置时，A、B、C三点的虚位移哪一种是正确的。

图4-17

4-4广义力都具有力的量纲，这种说法正确吗？

试举例说明。

4-5虚位移原理只适用于具有理想约束的系统吗？

4-6机构如图4-18所示，若OA=r，BD=DC=DE=l，∠OAC=90°

，试求图示位置时A点和B点虚位移的关系。

图4-18

第四章习题

4-1如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B上作用水平力F，此力位于平面ABC内，作用线平分∠ABC。

设AB=BC，∠ABC=2θ，各处摩擦及杆重不计，试求物体所受的压力。

4-2如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M。

手轮轴的两端各有螺距同为h，但方向相反的螺纹。

螺纹上各套有一个螺母A和B，这两个螺母分别与长为l的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图所示，此棱形框的点D固定不动，而点C连接在压缩机的水平压板上。

试求当棱形框的顶角等于2φ时，压缩机对被压物体的压力。

图4-19 

图4-20 

4-3试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F的值，摩擦力及绳索质量不计。

图4-21

4-4四铰连杆组成如图4-22所示的棱形ABCD，受力如图，试求平衡时θ应等于多少？

4-5在图4-23所示机构中，曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶，滑块D上作用一水平力F，机构尺寸如图。

已知OA=a，CB=BD=l，试求当机构平衡时F与力偶矩M之间的关系。

图4-22 

图4-23 

4-6机构如图4-24所示，当曲柄OC绕O轴摆动时，滑块A沿曲柄滑动，从而带动杆AB在铅直导槽K内移动。

已知OC=a，OK=l，在点C垂直于曲柄作用一力F1，而在点B沿BA作用一力F2。

试求机构平衡时F1和F2的关系。

4-7如图4-25所示，重物A和B的重量分别为G1和G2，联结在细绳的两端，分别放在倾斜面上，绳子绕过定滑轮与一动滑轮相连，动滑轮的轴上挂一重量为G的重物C，如不计摩擦，试求平衡时G1和G2的值。

图4-24 

图4-25 

4-8如图4-26所示，重物A和重物B分别连结在细绳的两端，重物A置放在粗糙的水平面上，重物B绕过定滑轮铅垂悬挂，动滑轮H的轴心上挂一重物C，设重物A重2G，重物B重G，试求平衡时，重物C的重量G1以及重物A和水平面间的滑动摩擦因数。

4-9在图4-27所示机构中，OC=AC=BC=l，已知在滑块A，B上分别作用在F1，F2，欲使机构在图示位置平衡。

试求作用在曲柄OC上的力矩M。

图4-26 

图4-27

4-10半径为R的圆轮可绕固定轴O转动，如图4-28所示，杆AB沿径向固结在轮上，杆端A悬挂一重为G的物体，当OA在铅垂位置时弹簧为原长。

设AB与铅垂线的夹角为时系统处于平衡，试求弹簧刚性系数k。

4-11公共汽车用于开启车门的机构如图4-29所示，已知O1A=r，O1B=b，O2C=d，BC=c，设所有铰链均为光滑，且设平稳缓慢开启，试求垂直于手柄OA的力F和门的阻力矩M之间的关系。

图4-28 

图4-29 

4-12桁架结构及所受载荷如图4-30所示，若已知铅垂载荷F，试求1、2两杆的内力。

图4-30

4-13试求图4-31所示连续梁的支座反力。

设图中载荷，尺寸均为已知。

图4-31

4-14一组合结构如图4-32所示，已知F1＝4kN，F2＝5kN，求杆1的内力。

图4-32

4-15四根杆用铰连接组成平行四边形ABCD，如图4-33所示，其中AC和BD用绳连接，绳中张力为FAC和FBD,试证：

FAC/FBD=AC/BD

图4-33