高考理科数学周周测 11Word文档格式.docx

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C．（－∞，0）D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

解法一　∵过点P（1－a,1＋a）和Q（3,2a）的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0，即<

0，即<

0，解得－2<

a<

1，故选A.

解法二　当a＝0时，P（1,1），Q（3,0），因为kPQ＝＝－<

0，此时过点P（1,1），Q（3,0）的直线的倾斜角为钝角，排除C，D；

当a＝1时，P（0,2），Q（3,2），因为kPQ＝0，不符合题意，排除B，选A.

3．[2019·

河南天一大联考段考]以（a,1）为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为（　　）

A．（x－1）2＋（y－1）2＝5B．（x＋1）2＋（y＋1）2＝5

C．（x－1）2＋y2＝5D．x2＋（y－1）2＝5

由题意，圆心在直线2x－y－1＝0上，将点（a,1）代入可得a＝1，即圆心为（1,1），半径为r＝＝，∴圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5，故选A.

4．[2019·

长春模拟]圆（x－2）2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是（　　）

A．（x－）2＋（y－1）2＝4

B．（x－）2＋（y－）2＝4

C．x2＋（y－2）2＝4

D．（x－1）2＋（y－）2＝4

D

设圆（x－2）2＋y2＝4的圆心关于直线y＝x对称的点的坐标为A（a，b），则∴a＝1，b＝，

∴A（1，），从而所求圆的方程为（x－1）2＋（y－）2＝4.故选D.

5．若两平行直线l1：

x－2y＋m＝0（m>

0）与l2：

2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝（　　）

A．0B．1

C．－2D．－1

C

因为l1，l2平行，所以1×

n＝2×

（－2），1×

（－6）≠2×

m，解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2：

x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是，所以＝，得m＝2或m＝－8（舍去），所以m＋n＝－2，故选C.

6．[2019·

安徽黄山屯溪月考]若曲线x2＋y2－6x＝0（y>

0）与直线y＝k（x＋2）有公共点，则k的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

∵x2＋y2－6x＝0（y>

0）可化为（x－3）2＋y2＝9（y>

0），∴曲线表示圆心为（3,0），半径为3的上半圆，它与直线y＝k（x＋2）有公共点的充要条件是：

圆心（3,0）到直线y＝k（x＋2）的距离d≤3，且k>

0，∴≤3，且k>

0，解得0<

k≤.故选C.

7．已知⊙O1：

（x＋3）2＋y2＝4，⊙O2：

x2＋（y－4）2＝r2（r>

0），则“r＝3”是“⊙O1与⊙O2相切”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

由题知，⊙O1的圆心为O1（－3,0），半径为2，⊙O2的圆心为O2（0,4），半径为r.若⊙O1与⊙O2相切，则|O1O2|＝r＋2或|O1O2|＝|r－2|，解得r＝3或7，所以“r＝3”是“⊙O1与⊙O2相切”的充分不必要条件．

8．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为（　　）

A.B．1

因为圆心（0,0）到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.

9．[2018·

全国卷Ⅲ]直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x－2）2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）

A．[2,6]B．[4,8]

C．[，3]D．[2，3]

设圆（x－2）2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C（2,0），r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得AB＝2，所以△ABP面积的最大值为AB·

dmax＝6，△ABP面积的最小值为AB·

dmin＝2.

综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．故选A.

10．[2019·

遵义月考]在直角坐标平面内，过定点P的直线l：

ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：

x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为（　　）

C．5D．10

∵在平面内，过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0相交于点M，

∴P（0,1），Q（－3,0），

∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，

∴M位于以PQ为直径的圆上，

∵|PQ|＝＝，∴|MP|2＋|MQ|2＝10，故选D.

11．一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．－或－B．－或－

C．－或－D．－或－

点A（－2，－3）关于y轴的对称点为A（2，－3），故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，∴圆心（－3,2）到直线的距离d＝＝1，化简得24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－或－.

12．[2019·

辽宁凌源联考]已知直线l：

x＋y－1＝0截圆Ω：

x2＋y2＝r2（r>

0）所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l′：

（1＋2m）x＋（m－1）y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为（　　）

A．[2－，2＋]B．[2－，2＋]

C．[－，＋]D．[－，＋]

依题意得2＝，解得r＝2.

因为直线l′：

（1＋2m）x＋（m－1）y－3m＝0过定点P，所以P（1,1），

设MN的中点为Q（x，y），则OM2＝OQ2＋MQ2＝OQ2＋PQ2，即4＝x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2，化简可得2＋2＝，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为[－，＋]．故选D

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．[2019·

黑龙江伊春月考]若A（2,2），B（a,0），c（0，b）（ab≠0）三点共线，则＋＝________.

因为B（a,0），C（0，b）（ab≠0），所以直线BC的方程为＋＝1，过A（2,2），所以＋＝1，即＋＝.

14．[2019·

安徽庐江四校联考]过点（－1,2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________________．

x＋y－1＝0或2x＋y＝0

当截距不为零时，设直线的方程为＋＝1，将（－1,2）代入得a＝1，故直线的方程为x＋y－1＝0；

当截距为零时，设直线的方程为y＝kx，将（－1,2）代入得k＝－2，故直线的方程为2x＋y＝0.

15．[2018·

全国卷Ⅰ]直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.

2

由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋（y＋1）2＝4.

∴圆心C（0，－1），半径r＝2.

圆心C（0，－1）到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，

∴|AB|＝2＝2＝2.

16．点P是圆（x＋3）2＋（y－1）2＝2上的动点，点Q（2,2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是________．

因为|OQ|＝2，直线OQ的方程为y＝x，圆心（－3,1）到直线OQ的距离d＝＝2，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为2－＝，所以△OPQ面积的最小值为×

2×

＝2.

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

过点M（0,1）作直线，使它被两条直线l1：

x－3y＋10＝0，l2：

2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．

过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别是，（0,8），显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，又设该直线与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有

①

②

由①解得xA＝，

由②解得xB＝.

因为点M平分线段AB，

所以xA＋xB＝2xM，

即＋＝0，解得k＝－.

故所求的直线方程为y＝－x＋1，

即x＋4y－4＝0.

18．（本小题满分12分）

已知圆M经过A（1，－2），B（－1,0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2.

（1）求圆M的方程；

（2）若P为圆内一点，求经过点P被圆M截得的弦长最短时的直线l的方程．

（1）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，则圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，则圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.

由题意有－D－E＝2，即D＋E＝－2.

又∵A（1，－2），B（－1,0）在圆上，

∴解得

故所求圆M的方程为x2＋y2－2x－3＝0.

（2）由

（1）知，圆M的方程为（x－1）2＋y2＝4，圆心为M（1,0）．

当直线l过定点P且与过此点的圆的半径垂直时，l被圆截得的弦长最短，此时kPM＝＝，

∴kl＝－＝－2，于是直线l的方程为y－＝－2（x－2），即4x＋2y－9＝0.

19．（本小题满分12分）

已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2,0），B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ＝90°

，求线段PQ中点的轨迹方程．

（1）设AP的中点为M（x，y），由中点坐标可知，P点坐标为（2x－2,2y），

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以（2x－2）2＋（2y）2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.

（2）设PQ的中点为N（x，y）．

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

20．（本小题满分12分）

已知点P（0,5）及圆C：

x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

（1）若直线l过P点且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

（1）∵⊙C的标准方程为（x＋2）2＋（y－6）2＝16，

∴圆心坐标为（－2,6），半径r＝4.

设l：

y＝kx＋5，由直线l被⊙C截得的弦长为4及⊙C的半径r＝4知⊙C的圆心到直线l的距离d＝2，∴＝2，∴k＝；

当k不存在时，直线l为x＝0，满足题意．

∴l的方程为y＝x＋5或x＝0.

（2）设弦的中点为M（x，y），将y＝kx＋5代入⊙C的方程中，得（1＋k2）x2＋2（2－k）x－11＝0.

设弦两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，

∴y1＋y2＝k（x1＋x2）＋10＝＋10＝.

∵M为AB的中点，

∴x＝＝，y＝＝，

消去k，得x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

当k不存在时，过点P的弦所在的直线为x＝0，代入⊙C的方程，得y2－12y＋24＝0，此时点M的坐标为（0,6）．点M（0,6）满足方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0，∴过点P的⊙C的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

21．（本小题满分12分）

已知两圆C1：

x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：

x2＋y2－10x－12y＋45＝0.

（1）求证：

圆C1和圆C2相交；

（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．

（1）证明：

圆C1的圆心C1（1,3），半径r1＝，圆C2的圆心C2（5,6），半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，∴|r1－r2|<

d<

r1＋r2，∴圆C1和C2相交．

（2）圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2（5,6）到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，故公共弦长为2＝2.

22．（本小题满分12分）

[2019·

湖北稳派教育联考]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－y＋2＝0均与圆C相切．

（1）求圆C的标准方程；

（2）设点P（0,1），若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN为锐角，求实数m的取值范围．

（1）设圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>

0），

由题意得解得

∴圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝4.

（2）由消去y整理得

2x2＋2（m－2）x＋m2＝0.

∵直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，

∴Δ＝4（m－2）2－8m2>

0，

解得－2－2<

m<

－2＋2，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1＋x2＝2－m，x1x2＝.

∴＝（x1，y1－1），＝（x2，y2－1），

依题意得·

＝x1x2＋（y1－1）（y2－1）＝x1x2＋（x1＋m－1）（x2＋m－1）＝2x1x2＋（m－1）（x1＋x2）＋（m－1）2>

∴m2＋（m－1）（2－m）＋（m－1）2>

整理得m2＋m－1>

解得m<

或m>

.

又－2－2<

∴－2－2<

或<

－2＋2.

故实数m的取值范围是

∪.