华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固基础知识讲解Word文档格式.docx

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3.判定直角三角形全等的特殊方法——斜边直角边定理

斜边直角边定理（或简记为HL）：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

判定两个直角三角形全等的方法共有5种：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

要点二、等腰三角形

1.等腰三角形的性质及其作用

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质1用之证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据．

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

2.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

3.等边三角形的性质和判定：

性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

.

　　判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形．

由等边三角形的“三线合一”可得：

在直角三角形中，30°

所对的直角边等于斜边的一半．

要点三、尺规作图、命题、定理与逆命题、逆定理

1.尺规作图

只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．

（1）要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.

（2）掌握五种基本作图：

作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；

作已知角的平分线；

经过一已知点作已知直线的垂线；

作已知线段的垂直平分线．并能利用本章的知识理解这些基本作图的方法．

2.命题与逆命题

判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；

其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.

（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题.

（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分.

（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定正确.

3.定理与逆定理

数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.

（1）定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.

（2）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.

要点四、角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

1.角平分线性质定理及其逆定理

角平分线上的点到角两边的距离相等；

逆定理：

角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.

性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；

逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.

2.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理及其逆定理

线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．

性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；

逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.

【典型例题】

类型二、全等三角形的性质和判定

1、已知：

如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°

，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．

求证：

（1）△BAD≌△CAE；

（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．

【思路点拨】要证

（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°

很易证得．

（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°

，需证∠ADB+∠ADE=90°

可由直角三角形提供．

【答案与解析】

（1）证明：

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD

即∠BAD=∠CAE，

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．

证明如下：

由

（1）知△BAD≌△CAE，

∴∠ADB=∠E．

∵∠DAE=90°

，

∴∠E+∠ADE=90°

．

∴∠ADB+∠ADE=90°

即∠BDE=90°

∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．

【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质；

全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．

举一反三：

【变式】如图，已知：

AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：

BD＝CE.

【答案】

证明：

∵AE⊥AB，AD⊥AC，

∴∠EAB＝∠DAC＝90°

∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.

在△DAB与△EAC中，

∴△DAB≌△EAC（ASA）

∴BD＝CE.

2、（2016秋•诸暨市期中）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．

∠PCB+∠BAP=180°

【思路点拨】过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．

如图，过点P作PE⊥BA于E，

∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，

∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°

在Rt△PEA与Rt△PFC中

∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），

∴∠PAE=∠PCB，

∵∠BAP+∠PAE=180°

∴∠PCB+∠BAP=180°

【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

【变式】已知：

如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：

ED⊥AC．

∵AE⊥AB，BC⊥AB，

∴∠DAE＝∠CBA＝90°

在Rt△DAE与Rt△CBA中，

∴Rt△DAE≌Rt△CBA（HL）

∴∠E＝∠CAB

∵∠CAB＋∠EAF＝90°

∴∠E＋∠EAF＝90°

，即∠AFE＝90°

即ED⊥AC．

类型二、等腰三角形

3、如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．

【思路点拨】要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和

∠FCA的关系．因为∠BAD＝∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．

解：

△AFC是等腰三角形．理由如下：

在△BAD与△BCE中，

∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠BCE，BD＝BE，

∴△BAD≌△BCE，

∴BA＝BC，∠BAC＝∠BCA，

∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．

∴AF＝CF，

∴△AFC是等腰三角形．

【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．

【变式】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°

，请判断△AEC的形状，并说明理由．

△AEC是等腰三角形．

理由如下：

∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，

又∵AB＝AD，∠B＝∠D，

∴△ABC≌△ADE（ASA），

∴AC＝AE．即△AEC是等腰三角形．

4、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：

顶角为36°

的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题

（1）．

（1）已知：

如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°

，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：

△ABD与△DBC都是等腰三角形；

（2）在证明了该命题后，小乔发现：

下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；

（3）接着，小乔又发现：

其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：

要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）

（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．

【思路点拨】

（1）根据等边对等角，及角平分线定义,易得∠1＝∠2＝36°

，∠C＝72°

，那么∠BDC＝72°

，可得AD＝BD＝CB,∴△ABD与△DBC都是等腰三角形；

（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°

的角分为36°

和72°

即可；

（3）由

（1），

（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；

（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．

在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，

∵∠A＝36°

∴∠ABC＝∠C＝

（180°

-∠A）＝72°

∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°

∴∠3＝∠1+∠A＝72°

∴∠1＝∠A，∠3＝∠C，

∴AD＝BD，BD＝BC，

∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．

（2）解：

如下图所示：

（3）解：

如图所示：

（4）解：

特征一：

2倍内角关系，如图①．0°

＜α＜45°

，其中，α≠30°

，α≠36°

，a≠

；

特征二：

3倍内角关系，如图②．0°

【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定；

注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．

类型三、尺规作图

5、已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．

已知：

求作：

【思路点拨】作射线BP，再作∠PBQ=∠α；

在射线BQ上截取BA=c；

以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；

连接AC．则△ABC为所求．

作法：

（1）作射线BP，再作∠PBQ=∠α；

（2）在射线BQ上截取BA=c；

　　（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；

　　（4）连接AC．则△ABC为所求．

△ABC就是所求作的三角形．

【总结升华】此题主要考查三角形的作法，是一些基本作图的综合应用．

【变式】已知△ABC，按下列要求作图：

（保留作图痕迹，不写作法）

（1）作BC边上的高AD；

（2）作△ABC的平分线BE．（尺规作图）

如图：

类型四、角平分线、线段垂直平分线性质定理与逆定理

6、如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．

（1）∠EAD＝∠EDA．

（2）DF∥AC．

（3）∠EAC＝∠B．

（1）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到AE＝DE，再根据等角对等边可得到∠EAD＝∠EDA；

（2）根据线段垂直平分线的性质证明AF＝DF，进而得到∠BAD＝∠ADF，再利用角平分线的性质可得到∠BAD＝∠CAD，利用等量代换可得∠ADF＝∠CAD，再根据平行线的判定即可得到DF∥AC；

（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．

（1）∵EF是AD的垂直平分线，

∴AE＝DE，

∴∠EAD＝∠EDA；

（2）∵EF是AD的垂直平分线，

∴AF＝DF，

∴∠BAD＝∠ADF，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠ADF＝∠CAD，

∴DF∥AC；

（3）由

（1）∠EAD＝∠EDA，

即∠ADE＝∠CAD+∠EAC，

∵∠ADE＝∠BAD+∠B，

∠BAD＝∠CAD，

∴∠EAC＝∠B．

【总结升华】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识．

【变式1】如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．

CP是△ABC的外角平分线．

过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，

∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，

∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，

∴PD＝PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∴PF＝PE，PF⊥BC，PE⊥AE，

∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．

【变式2】如图：

在△ABC中，∠C=90°

AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；

说明：

（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，

∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．

∴CF=EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴CD=DE．

在△ADC与△ADE中，

∵

∴△ADC≌△ADE（HL），

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．