北师大版九年级数学上第一章docxWord文档下载推荐.docx
《北师大版九年级数学上第一章docxWord文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版九年级数学上第一章docxWord文档下载推荐.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
∴△ABO≌△EBO,
∴AB=BE,
又∵AB=BC,
BC<BE,
∴AB不可能等于BE,
∴假设AO=OE,不成立,即AO≠OE,
故此选项错误;
D.∵△BAF≌△ADE,
∴S△BAF=S△ADE,
∴S△BAF-S△AOF=S△ADE-S△AOF,
∴S△AOB=S四边形DEOF,故此选项正确.
首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△BAF≌△ADE,即可得出AE=BF,进而得出∠BFA+∠EAD=90°
,即AE⊥BF,用反证法证明AO≠EO,利用三角形全等即面积相等,都减去公共面积剩余部分仍然相等,即可得出D正确
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.四条边相等B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角D.对角线相等
D
正方形的性质:
正方形的四条边相等,四个角都是直角,对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角;
菱形的性质:
菱形的四条边相等,对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是:
对角线相等;
故选:
D.
根据正方形和菱形的性质容易得出结论
4.如图,正方形ABCD的对角线BD长为2
,若直线l满足:
(1)点D到直线l的距离为1,
(2)A、C两点到直线l的距离相等,则符合题意的直线l的条数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案:
连接AC与BD相交于O,
∵正方形ABCD的对角线BD长为2
∴OD=
∴直线l∥AC并且到D的距离为1,
同理,在点D的另一侧还有直线满足条件,
故共有4条直线l.
连接AC与BD相交于O,根据正方形的性质求出OD=
,然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答
5.若正方形的周长为40,则其对角线长为( )
A.100B.20
C.10
D.10
∵正方形的周长为40,
∴正方形的边长为10,
∴对角线长为10
根据正方形的周长,可将正方形的边长求出,进而可将正方形对角线的长求出.
6.已知在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥AB交BC于点E,若AD=8cm,则OE的长为( )
A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm
B
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=8cm,OA=OC,
∵OE∥AB,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE=
AB=4cm,
故选B.
根据正方形的性质得出AD=AB=8,AO=OC,由OE∥AB,得出OE是△ABC的中位线解答即可
7.如图,点E在正方形ABCD的边AD上,已知AE=7,CE=13,则阴影部分的面积是( )
A.114B.124C.134D.144
A
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=90°
,AB=BC=AD,
设AB=BC=AD=x,
则DE=x-7,
∵CD2+DE2=CE2,
∴x2+(x-7)2=132,
解得:
x=12,或x=-5(不合题意,舍去),
∴BC=AB=12,
∴阴影部分的面积=
(AE+BC)•AB=
×
(7+12)×
12=114;
A.
本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及梯形面积的计算;
熟练掌握正方形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键
8.如图,已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点,且BE=BC,则∠DCE的度数为( )
A.30°
B.22.5°
C.15°
D.45°
∵正方形ABCD,
∴BC=CD,∠DBC=∠BDC=45°
∵BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE=67.5°
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°
-67.5°
=22.5°
由正方形的性质得到BC=CD,∠DBC=∠BDC=45°
,根据BE=BC,根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°
,根据∠DCE=∠BCD-∠BCE即可求出答案.
9.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连结BE交AD于点F,则∠DFE的度数为( )
A.45°
B.55°
C.60°
D.75°
∴AB=AD,∠BAS=90°
∵△AED是等边三角形,
∴∠AED=∠EAD=60°
,AE=AD,
∴∠BAE=150°
,AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB=
(180°
-150°
)=15°
∴∠DFE=∠AFB=90°
-15°
=75°
故选D.
根据正方形的性质得出AB=AD,∠BAS=90°
,根据等边三角形的性质得出∠AED=∠EAD=60°
,AE=AD,求出∠BAE=150°
,AB=AE,∠ABE=∠AEB=15°
,求出∠AFB即可
10.在正方形ABCD所在平面内找一点P,使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形,那么这样的P点有( )
A.5个B.12个C.9个D.15个
在四条边垂直平分线上的点,与相邻的两个点连成一个等边三角形,共有8个点;
在两条对角线上的点,与相对的两个点连成一个等边三角形,共有4个点;
共有8+4=12个点满足条件.
B.
在四条边垂直平分线上,每一条可以找到两个点,与相邻的两个点连成一个等边三角形,共有8个点;
在两条对角线上,每一条可以找出2个点,与相对的两个点连成一个等边三角形,共有4个点;
由此得出共有8+4=12个点满足条件
11.如图,正方形ABCD的三边中点E、F、G.连ED交AF于M,GC交DE于N,下列结论:
①GM⊥CM;
②CD=CM;
③四边形MFCG为等腰梯形;
④∠CMD=∠AGM.其中正确的有( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
∵由已知,AG∥FC且AG=FC,
故四边形AGCF为平行四边形,
∴∠GAF=∠FCG又AE=BF,AD=AB,且∠DAE=∠ABF,
可知∠ADE=∠BAF
∴DE⊥AF,DE⊥CG.
又∵G点为中点,∴GN为△ADM的中位线,即CG为DM的垂直平分线,
可证CD=CM,∴∠CDG=∠CMG,即GM⊥CM.
又∠MGN=∠DGC=∠DAF(外角等于内对角),∴∠FCG=∠MGC.
故选A.
要证以上问题,需证CN是DN是垂直平分线,即证N点是DM中点,利用中位线定理即可
12.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在CD、BC上,且BF=CE,连结BE、AF相交于点G,则下列结论:
①BE=AF;
②∠DAF=∠BEC;
③∠AFB+∠BEC=90°
;
④AF⊥BE中正确的有( )
A.①②③B.②③④C.①②③④D.①②④
∴∠ABF=∠C=90°
,AB=BC,
∵BF=CE,
∴△ABF≌△BCE.
∴AF=BE.(①正确)
∠BAF=∠CBE,∠BFA=∠BEC,(③错误)
∵∠BAF+∠DAF=90°
,∠BAF+∠BFA=90°
∴∠DAF=∠BEC.(②正确)
∵∠BAF=∠CBE,∠BAF+∠AFB=90°
∴∠CBE+∠AFB=90°
∴AF⊥BE.(④正确)
所以正确的是①②④.
分析图形,根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解
13.如图,正方形ABCD的对角线BD长为2
①点D到直线l的距离为
②A、C两点到直线l的距离相等.
则符合题意的直线l的条数为( )
如图,连接AC与BD相交于O,
∴直线l∥AC并且到D的距离为
同理,在点D的另一侧还有一条直线满足条件,
故共有2条直线l.
,然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答.
14.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( )
A.对角线互相平分B.对角线互相垂直
C.对角线相等D.对角线互相垂直且相等
A.对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质;
B.对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质;
C.对角线相等是矩形和正方形具有的性质;
D.对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质.
本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断
15.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,则∠BEF=( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
∴AB=AD,∠BAD=90°
∵AE=AB,
∴AE=AB=AD,
∴∠ABE=∠AEB,∠AED=∠ADE,∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°
,∠AED+∠ADE+∠DAE=180°
∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°
∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°
∴∠AEB+∠AED=135°
即∠BED=135°
∴∠BEF=180°
-135°
=45°
.
由正方形的性质得出AB=AD,∠BAD=90°
,再根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB,∠AED=∠ADE,然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED=135°
,即可得出∠BEF
二、填空题(共5题)
16.如图,四边形ABCD为矩形,添加一个条件:
_________,可使它成为正方形
AB=AD
∵四边形ABCD是矩形,
∴当AB=AD或AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形.
故答案为:
AB=AD.
由四边形ABCD是矩形,根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形,即可求得答案
17.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°
,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,其中错误的是
_________(只填写序号)
②③或①④
有6种选法:
(1)①②:
由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确;
(2)②③:
由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出平行四边形ABCD是正方形,错误;
(3)①③:
由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确;
(4)②④:
由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确;
(5)①④:
由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以不能得出平行四边形ABCD是正方形,错误;
(6)③④:
由③得对角线相等的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确;
综上所述:
错误的是:
②③或①④;
②③或①④.
分析:
要判定是正方形,则需能判定它既是菱形又是矩形
18.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
,对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD是正方形,则还需增加的一个条件是______
答案不唯一如:
AB=BC,或AC⊥BD等
由题意可确定,ABCD为一四个角都是90°
的四边形,即可能存在矩形的情况,
若使AB=AC.可进一步确定其为正方形,
AB=AC.
要使四边形ABCD是正方形,由题意可知其四个角都是直角,所以还有可能是矩形,使AB=AC,即可满足题意
19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,能证明四边形BECF为正方形的是________
①BC=AC;
②CF⊥BF;
③BD=DF;
④AC=BF.
①②③
∵EF垂直平分BC,
∴BE=EC,BF=CF,
∵BF=BE,
∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形;
当①BC=AC时,
∵∠ACB=90°
则∠A=45°
时,菱形BECF是正方形.
∵∠A=45°
,∠ACB=90°
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×
45°
=90°
∴菱形BECF是正方形.
故选项①正确;
当CF⊥BF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项②正确;
当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项③正确;
当AC=BF时,无法得出菱形BECF是正方形,故选项④错误.
①②③.
根据中垂线的性质:
中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC进而得出四边形BECF是菱形;
由菱形的性质知,以及菱形与正方形的关系,进而分别分析得出即可
20.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:
①四边形AEDF是平行四边形;
②如果∠BAC=90°
,那么四边形AEDF是矩形;
③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;
④如果∠BAC=90°
,AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是正方形.
其中,正确的有_________(只填写序号)
①②③④
∵DE∥CA,DF∥BA,
∴四边形AEDF是平行四边形,故①正确;
∵四边形AEDF是平行四边形,∠BAC=90°
∴四边形AEDF是矩形,故②正确;
∵AD平分∠BAC,四边形AEDF是平行四边形,
∴四边形AEDF是菱形,故③正确;
∵若AD平分∠BAC,则平行四边形AEDF是菱形,
∴若∠BAC=90°
,则平行四边形AEDF是正方形,故④正确.
①②③④.
分别根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定定理对四个小题进行逐一判断即可
三、解答题(共5题)
21.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点F在DE的延长线上,且AF=CE.
(1)四边形ACEF是平行四边形吗?
说明理由;
(1)四边形ACEF是平行四边形;
∵DE垂直平分BC,
∴D为BC的中点,ED⊥BC,
又∵AC⊥BC,
∴ED∥AC,
∴E为AB中点,
∴ED是△ABC的中位线.
∴BE=AE,FD∥AC.
∴BD=CD,
∴Rt△ABC中,CE是斜边AB的中线,
∴CE=AE=AF.
∴∠F=∠5=∠1=∠2.
∴∠FAE=∠AEC.
∴AF∥EC.
又∵AF=EC,
∴四边形ACEF是平行四边形;
(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF为菱形?
请说明你的结论;
(2)当∠B=30°
时,四边形ACEF为菱形;
理由:
,∠B=30°
∴AC=
AB,
由
(1)知CE=
AB,∴AC=CE
又四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形;
(3)四边形ACEF有可能是正方形吗?
为什么?
(3)四边形ACEF不可能是正方形,
∴∠ACE<∠ACB,
即∠ACE<90°
,不能为直角,
所以四边形ACEF不可能是正方形
本题考查了平行四边形的判定,菱形的判定,垂直平分线的性质,本题中根据特殊角的正弦函数值求∠B的度数是解题的关键
22.如图,在四边形ABCD中,AC、BD交于点O,AO=CO,BO=DO,∠ABC=∠DCB.
(1)求证:
四边形ABCD是矩形;
解答:
(1)证明:
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,
∴∠ABC+∠DCB=180°
∵∠ABC=∠DCB,
∴∠ABC=90°
∴四边形ABCD是矩形;
(2)要使四边形ABCD是正方形,请写出AC、BD还需要满足的条件
(2)AC⊥BD
(2)要使四边形ABCD是正方形,AC、BD还需要满足的条件是:
AC⊥BD
(1)利用平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形,进而得出∠ABC=90°
,即可得出答案;
(2)利用正方形的判定得出矩形的对角线互相垂直进而得出答案
23.如图,AB是CD的垂直平分线,交CD于点M,过点M作ME⊥AC,MF⊥AD,垂足分别为E、F.
∠CAB=∠DAB;
(2)若∠CAD=90°
,求证:
四边形AEMF是正方形
见解答
∵AB是CD的垂直平分线,
∴AC=AD,
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB(等腰三角形的三线合一);
(2)证明:
∵ME⊥AC,MF⊥AD,∠CAD=90°
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°
∴四边形AEMF是矩形,
又∵∠CAB=∠DAB,ME⊥AC,MF⊥AD,
∴ME=MF,
∴矩形AEMF是正方形.
本题考查正方形的判定,线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识,综合性较强
24.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,CE.
(1)求证:
BE=CE.
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE为正三角形
∴AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
在△BAE和△CDE中
AB=CD
∠BAE=∠CDE
AE=DE
∴△BAE≌△CDE
∴BE=CE;
(2)求∠BEC的度数
∠BEC=30°
(2)∵AB=AD,AD=AE,
∴AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
又∵∠BAE=150°
∴∠ABE=∠AEB=15°
同理:
∠CED=15°
∴∠BEC=60°
2=30°
本题考查了正方形的性质,
(1)利用了正方形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质;
(2)利用了等腰三角形的判定与性质,角的和差.
25.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°
至CE位置,连接AE.
AB⊥AE.
∴∠BCD+∠ACD=90°
∵∠DCE=90°
,∴∠ACD+∠ACE=90°
∴∠BCD=∠ACE,
在△CBD与△CAE中,
CB=CA
∠BCD=∠ACE
CD=CE
∴△CBD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠CAE,
∵∠B+∠BAC=90°
,∴∠BAC+∠EAC=90°
,∴AB⊥AE;
(2)若点D为AB中点,求证:
四边形ADCE是正方形
(2)证明:
∵点D为AB中点,
∴∠ADC=90°
,∠BAE=90°
∴四边形ADCE是矩形,
∴CD=CE,∴四边形ADCE是正方形
此题主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识,得出∠BCD=∠ACE是解题关键