三角形全等的条件 要点全析Word文档格式.docx
《三角形全等的条件 要点全析Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角形全等的条件 要点全析Word文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![三角形全等的条件 要点全析Word文档格式.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/2/d6a4e995-e23c-43ff-a1ef-74b69c4c41c2/d6a4e995-e23c-43ff-a1ef-74b69c4c41c21.gif)
第一步:
指出在哪两个三角形中.如上边的①,在△ABC和△A′B′C′中.
第二步:
按条件中的边角顺序列出三个条件.如上边的②.
第三步;
写出结论,如上边的③,△ABC≌△A′B′C′(SSS).
【说明】①第一步中,两个三角形之间的“和”不能写成“≌”,也不能取消.②第二步中,大括号内的三个条件的书写是有顺序的,必须与判定条件一致,并且注意边、角字母的对应.一般前一个三角形的边、角写在等号的左边,另一个三角形的对应边、角写在右边.
③写结论时,注意对应顶点写在对应位置上,并在后面的括号内注明判定条件的简写,如“SSS”或“边边边”.
例如:
如图13-2-2.已知AB=AC,D为BC中点.试说明∠B=∠C是否成立,为什么?
解:
∠B=∠C成立.∵ D为BC中点,
∴ BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴ △ABD≌△ACD(SSS).
∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
【说明】①在本例中使用了证明的格式.
②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号,前一个“∴”,是由前面大括号内的三个条件得出的.后一个“∴”,是将前一个“∴”当成了“∵”,然后推出后一个“∴”,这里省略了一步:
∵△ABD≌△ACD.因此,今后在书写中要注意.
3.三角形全等的条件二:
“边角边”或“SAS”
(1)SAS:
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为“SAS”.
(2)表达格式为在△ABC和△DEF中(图13-2-3)
∴ △ABC≌△DEF(SAS).
如图13-2-4中,AD、BC相交于点O.OA=OD,OB=OC,那么AB=DC是否成立.
∵ AD、BC相交于点O,
∴ ∠AOB=∠DOC(对顶角相等).
在△AOB和△DOC中,
∴ △AOB≌△DOC(SAS).∴ AB=DC
【说明】本题中,书写三条件时,应该按边、角、边的顺序,将两边的夹角放在中间,用括号括起来;
或者写成一行,也按边、角、边的顺序,将两边的夹角放在中间,再推出两个三角形全等.
4.三角形全等的条件三:
“角边角”或“ASA”
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.
(2)表达格式:
如图13-2-5,在△ABC和△DEF中,
∴ △ABC≌△DEF(AAS).
5.三角形全等的条件四:
“角角边”或“AAS”
(1)有两角和一边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
(2)表达格式,如图13-2-5,在△ABC和△DEF中,
如图13-2-6中,AB∥CD,AE∥DF,AB=CD.求证:
AE=DF.
证明:
∵ AB∥CD,
∴ ∠ABC=∠DCB.
∵ AE∥DF,∴ ∠AEB=∠DFC.
在△ABE和△DCF中,
∴ △ABE≌△DCF(AAS).∴ AE=DF.
6.直角三角形全等的条件:
“斜边、直角边”或“HL”
(1)HL:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”.
如图13-2-7,在△ABC中,AD⊥BC于D,AB=AC在Rt△ABD和Rt△ACD中,
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
(3)直角三角形是三角形中的一种特殊情况,因此,它也可以用一般三角形全等的条件.如两条直角边对应相等,可用“SAS”,一边一锐角对应相等可用“ASA”或“AAS”.它的特殊条件就是“斜边、直角边”.
7.“角角角”与“边边角”
在三角形全等的条件中,上面已说过的有:
三边的SSS,两边一角的SAS和一边两角的ASA,AAS,那么“AAA”和“SSA”能否成为三角形全等的条件呢?
(1)有三个角对应相等的两个三角形不一定全等,如图13-2-8,DE∥BC,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,△ADE与△ABC有三角对应相等,但它们没有重合,所以不全等.
(2)如图13-2-9,在△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不完全重合,故不全等.也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
8.证明的意义和步骤
(1)证明的意义
证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程,简单地说,证明就是推理过程.
(2)证明的步骤
证明一个命题为正确的时候,其步骤如下:
①弄清命题的条件和结论,画出图形.
②根据条件,结合图形,写出已知.
③根据结论,结合图形、写出求证.
④写出证明过程.
证明一个命题不正确的时候,只需举出一个反例即可.
若a2=b2,则a=b.这是一个错误命题,证明如下.
∵ (-5)2=52=25,而-5≠5.
∴ 若a2=b2,则a=b,是一个错误命题.
9.证明题目时常用的三种方法
在探索三角形全等的过程中,经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题,如何分析条件与结论之间的关系,常用的分析方法有以下三种:
(1)综合法
就是从题目的已知条件入手,根据已学过的定义、定理、性质、公理等,逐步推出要判断的结论,有时也叫“由因导果法”.
如图13-2-10,在△ABC中,D是BC的中点,DE∥AB,DF∥AC,分别交AC、AB于点E、F.
求证:
BF=DE.
分析:
从已知条件到推出结论,其探索过程如下
△BFD≌△DEC(ASA)
BF=DE(目标).
以上这种由因导果的方法就是综合法.
(2)分析法
就是从要判断的结论出发,根据已学的定义、定理、公理、性质等,倒过来寻找能使结论成立的条件,这样一步步地递求,一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止,有时也叫“执果索因法”.
如上题,用分析法的探索过程如下:
BF=DE
△BFD≌△DEC
(3)分析—综合法
在实际的思考过程中,往往需要使用这两种方法,先从结论出发,想一想需要什么条件,层层逆推,当思维遇到障碍时,再从条件出发,顺推几步,看可以得出什么结论,从而两边凑,直至沟通“已知”和“结论”的两个方面.
即:
例如:
如图13-2-11,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E是AD上任一点,连接EB、EC,
EB=EC.
本题比较复杂,可用上述的三个方法均可,现在以分析一综合法为例,说明分析过程.
先用综合:
由因导果.
△ABD≌△ACD
再用分析:
执果索因.
EB=EC
△ABE≌△ACE
△ABD≌△ACD.
∵ D是BC的中心,∴ BD=CD.
在△ABD和△ACD中
∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠BAD=∠CAD.
在△ABE和△ACE中
∴ △ABE≌△ACE(SAS).
∴ BE=CE(全等三角形的对应边相等).
【说明】①本题证明过程中,后一次三角形全等,也可选△BDE≌△CDE,方法同上.
②本题两次用到全等三角形,在分析中应找准三角形,理清思路.
10.判定两个三角形全等方法的选择
选择哪种方法判定两个三角形全等,要根据具体已知条件而定,见下表:
已知条件
寻找条件
判定方法
—边一角对应相等
一边
SAS
一角
SAS或AAS
两角对应相等
ASA或AAS
两边对应相等
SSS
11.如何选择三角形判定全等
在学过本节内容之后,经常会遇到判定两条线段相等,两个角相等的问题,而要判断它们相等,就要考虑选择三角形全等.如何选择三角形呢?
可考虑以下四个方面:
(1)可以从判断的结论(线段或角)出发,寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中,就试着判定两个三角形全等.
(2)可以从题目的已知条件出发,看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等.
(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后判定它们全等.
(4)如果以上方法都行不通,可考虑添加辅助线的办法,构造三角形全等.
如图13-2-12,已知AB=AC,BD=CD,试判断∠B与∠C的关系,并说明理由.
要判断∠B与∠C的关系,先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中,而此题没有两个全等三角形,只有一个四边形,目前由已知条件四边形ABDC,要创造三角形,可以连接AD或BC,那么连接谁更合适呢?
若连接AD,则∠B、∠C分在左、右两个三角形中,若全等,则∠B=∠C,事实上,∠B=∠C,若连接BC,则∠B、∠C分在上、下两个三角形中,根据目前所学知识还不能确定∠B=∠C因此,连接AD较为合适.
∠B=∠C
连接AD,
AB=AC,BD=CD,AD=AD(公共边),
∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠B=∠C
12.探索三角形全等时常作的辅助线
在利用三角形全等进行解题时,有时题目所给条件不足或不明显,还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件,还有的需加上一些辅助线,为解题铺路搭桥,起到很好的辅助作用,这些辅助线常见的有以下几种:
(1)连接图形中的已知点,构造全等形.
如图13-2-13,已知AC、BD相交于O点,且AB=CD,AC=BD,判断∠A与∠D的关系,并说明理由.
∠A=∠D.连接BC,
在△ABC与△DCB中,
AB=DC,AC=DB,BC=CB,
则△ABC≌△DCB(SSS).
因此∠A=∠D.
(2)取线段中点构造全等三角形.
如图13-2-14,已知在梯形ABCD中,AB=DC,∠A=∠D,试判断∠ABC与∠DCB的关系,并说明理由.
∠ABC=∠DCB.
取AD的中点N,取月C的中点M.
连接MN、BN、CN,则AN=DN,BM=CM,在△ABN和△DCN中,
△ABN≌△DCN,
则∠ABN=∠DCN,NB=NC(全等三角形的对应角、对应边相等).
在△BMN和△CMN中,
△BMN≌△CMN,
则∠MBN=∠MCN(全等三角形的对应角相等).
那么∠ABN+∠MBN=∠DCN+∠MCN.
即∠ABC=∠DCB.
【说明】在本题中,辅助线起到了很好的桥梁作用,为解题创造了条件.
(3)有角平分线时,常在角两边截相等的线段,创造全等三角形.
如图13-2-15,OC平分∠AOB,在OC上任取一点P,在OA、OB上截取OM=ON,连接PM、PN,那么,PM=PN.
事实上,在△MOP和△NOP中,
OM=ON,∠MOP=∠NOP,OP=OP,
则△MOP≌△NOP(SSS).
因此有PM=PN.
(4)三角形中有中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形.
如图13-2-16,在△ABC中,AD为BC边上的中线,若延长AD至E,使AD=DE,连接BE,在△ACD和△EBD中,BD=CD,∠1=∠2,AD=ED,则△ACD≌△EBD,因此BE=AC
13.利用全等三角形解决实际问题的步骤
全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途,在用它解决实际问题时可分以下几个步骤:
(1)先明确实际问题与哪些知识有关,确定用哪些知识来解决.
(2)根据实际问题画出图形.
(3)结合图形写出已知和结论.
(4)分析已知,找出解决问题的途径.
(5)写出解决问题的过程(或探索过程).
如图13-2-17,要测河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使E、C、A三点在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长.你能用数学原理说明吗?
这是一个实际应用题,应先把其转化为数学问题,然后再解答.
已知:
AB⊥BF,DE⊥BF,A、C、E三点在一条直线上,BC=DC.
判断AB与DE是否相等?
在△ABC和△DEC中,由于AB⊥BF,DE⊥BF,则∠ABC=∠EDC=90°
,又A、C、E三点在一条直线上,则∠ACB=∠ECD(对顶角).
又BC=CD,则ABC≌△EDC(ASA),因此AB=DE.