完整版计数原理排列组合题型与方法Word文件下载.docx
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lga—lgb=lgb，而3=9，彳=3,故所求为A5—2=18个，故选C.
☆投信问题
将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）
A.53种B.35种C.3种D.15种
第1封信，可以投入第1个邮筒，可以投入第2个邮筒，也可以投入第3个邮筒，
共有3种投法；
同理，后面的4封信也都各有3种投法.所以，5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种.故选B.
例2:
有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？
（不一定六名同学都能参加）
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限.
解
（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数
原理，知共有选法36=729（种）.
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法,
第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6X5X4=120（种）.
（3）由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步
乘法计数原理，得共有不同的报名方法63=216（种）.
☆数字排列问题
用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数•
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
⑴直接法：
A5A3=300;
间接法：
A6-A3^300.
⑵由题意知四位数的个位上必须是偶数，同时暗含了千位不能是0，因此该四位数的个
位和千位是“特殊位置”，应优先处理；
另一方面，0既是偶数，又不能排在千位，属“特殊元素”，应重点对待•
解法一：
（直接法）0在个位的四位偶数有A5个；
0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数（不包括0）中选一个放在千位，应有a2a4a4个.
综上所述，共有A5+A2aJa4=156（个）•
解法二：
（间接法）从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有个,
其中千位是0的有Aa2个，故适合题意的数有AA—A^=156（个）.
点拨：
本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件0不能在首位•
例2：
用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有
个（用数字作答）.
解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：
“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C4=4（个）四位数.
“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C4=6（个）四位数.
“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C4=4（个）四位数.综上所述，共可组成14个这样的四位数.
例3:
（2014•武汉模拟）如果正整数M的各位数字均不为4，且各位数字之和为6，则称M为“幸运数”，则三位正整数中的“幸运数”共有个.
不含4,且和为6的三个自然数可能为（1，2,3），（1，5，0），（2，2，2），（3，3,
0），（6，0，0）.因此三位正整数中的“幸运数”有A+2A2+1+A2+1=14（个）.故填14.
☆错位排列
将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格中，每格填一个数，则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有中.
解析编号为1的方格内填数字2,共有3种不同填法；
编号为1的方格内填数字3,共
有3种不同填法；
编号为1的方格内填数字4,共有3种不同填法.于是由分类加法计数
原理，得共有3+3+3=9（种）不同的填法.
（2013•成都模拟）用6个字母A,B,C,a,b,c编拟某种信号程序（大小写有区别）•把这6个字母全部排到如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”总个数为（）
A.432B.288C.96D.48
根据题意，分3步进行：
①先确定排到同一列的上下格位置的一对字母，有C=3
种情况，将其放进表格中，有C3=3种情况，考虑这一对字母的顺序，有AU2种不同顺序；
②再分析第二对字母，其不能排到同一列的上下格位置，假设①选定的一对大小写字母为A和a,则分析B与b：
B有4种情况，b的可选位置有2个；
③最后一对字母放入最后两个位
2
置，有2种放法•则共有3X3X2X4X2X2=288个“微错号”•故选B.
☆选派分配问题
2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）
A.36种B.12种C.18种D.48种
根据题意分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，则有选法C21C21Ab3=24;
②若小张、小赵都入选，则有选法A2A2=12，共有选法12+24=36种，故选A.
2015年开春之际，六中食堂的伙食在百升老师的带领下进行了全面升级.某日5
名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食.每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种.花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为（）
A.96B.120C.132D.240
分类讨论：
甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为;
：
-18,剩下2人选其余主食，方法为磅2,共有方法18X2=36种；
甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人,若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3a；
=6;
若没有人选甲选的主食，方法为瑤A孑6,共有4X2X（6+6）=96种，
故共有36+96=132种，故选：
C.
☆分堆与分配问题
现有6本不同的书：
（1）甲、乙、丙三人每人两本，有多少种不同的分配方法?
（2）分成三堆，每堆2本，有多少种分堆方法？
（3）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？
（5）甲、乙、丙三人中，一人分4本，另两人每人分1本，有多少种不同的分配方法？
解：
（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后两本给丙,
共有c6c4c2=90（种）分配方法；
CEC2
（2）6本书平均分成3堆，用上述分法重了A3倍，故共有=15（种）分堆方法；
（3）从6本书中，先取1本作为一堆，再在剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，共有ddCU60（种）分堆方法；
⑷在⑶的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，共有Cc5c3a3=360（种）分配方法.
CC2C
（5）先分堆、再分配，共有足•A3=90（种）分配方法•
平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列•分堆到位相当于分堆
配问题应注意：
①处理分配问题要注意先分堆再分配•②被分配的元素是不同的（像“名额”
等则是相同元素，不适用），位置也应是不同的（如不同的“盒子”）•③分堆时要注意是否均匀•如6分成（2，2，2）为均匀分组，分成（1，2,3）为非均匀分组，分成（4，1，1）为部分均匀分组•
4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内•
（1）恰有1个盒不放球，共有多少种放法？
（2）恰有2个盒不放球，共有多少种放法？
（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有多少种放法？
”即把4个球分成2，1，1的三
组，然后进行全排列，共有C•AT-•144（种）放法•
1），（2，2）两类，第一类
CJc2
—Ar•A2种放法，故共有
（2）确定2个空盒有C2种方法•4个球放进2个盒子可分成（3，为有序不均匀分组，有CC&
种放法；
第二类为有序均匀分组，有
AC4=84（种）•
☆相邻捆绑，不邻插空
3名女生和5名男生排成一排
（1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？
⑵如果女生都不相邻，有多少种排法？
（3）如果女生不站两端，有多少种排法？
（4）其中甲必须排在乙前面（可不邻），有多少种排法?
（5）其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
解
（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A6种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A3种排法，因此共有A•a3=4320（种）不同排法.
（2）（插空法）先排5个男生，有A5种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有a6种排法，因此共有ATAU14400（种）不同排法.
（3）法一（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A5种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A6种排法，因此共有A5•A6=14400（种）不同排法.
法二（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有A3种排法，其余位置无限制，有A5种排法，因此共有A6•414400（种）不同排法.
1
⑷8名学生的所有排列共A8种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中2，-符合要求
的排法种数为齐=20160（种）.
（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.
法一（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有A7种；
甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A6种.而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种，其余人全排列，共有A1•A6•A种.
由分类加法计数原理，共有A7+A6••430960（种）.
法二（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法A•A6种，因此共有A•A7-A•430960（种）.
法三（间接法）8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A6种.因此共有a8-2A7+层30960（种）.
规律方法
（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的
位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
⑵对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）
A.12B.24C.36D.48
由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1,白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A2种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1,白2两菊花插入三个空，排法种数为A2,则不同的排法种数为2XAe2XA32=2X2X6=24.故选B.
编号为1、2、3、4、5、&
7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（）
A.60种B.8种C.20种D.10种
四盏不亮灯有5个空位，再安排3亮灯，总有C；
10种方案。
例4:
某班元旦晚会已经排好4个节目的顺序，先临时要增加2个节目进来，要求不打乱原来节目的顺序，贝U晚会节目的安排方案有中。
原来4个节目有5个空位，先安排第一个节目，有5种方案；
这时有6个空位，再安排第二个节目，有6种方案，所以总共有30种方案。
☆最短路走法冋题
A,B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最
短的走法有种（用数字作答）.
3右2上，共5步，从中选3步来右走余下则上走，走法有C；
10
☆无区别元素分配的隔板法
例1.求方程X+Y+Z=1（的正整数解的个数。
将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C92=36（个）。
OOOIOOOIOOOO
求方程X+Y+Z=10勺非负整数解的个数。
注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？
只要添加三个球，给x、y、z各一个球。
这样原问题就转化为求X+Y+Z=13勺正整数解的个数了，故解的个数为C』=66（个）。
将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
解法1:
先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1,2，3个球，剩下14个球，有1种方法；
再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有C133=286（种）。
解法2:
第一步先在编号1，2，3,4的四个盒子内分别放1，2,3,4个球，剩下10个球，有1种方法；
第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里，由例2知方法有C133=286（种）。
☆涂色问题
有一个圆被两相交弦分成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种涂色方法？
如图，分别用A,B,C,D记这四个部分，A与C,B与D不相邻，因此，它们可以同色，也可以不同色.首先分两类，即A,C涂相同颜色和A,C涂不同颜色：
类型一，分三步：
第一步，给A,C涂相同的颜色，有5种涂法；
第二步，给B涂色有4种涂法；
第三步，给D涂色，由于D与B可以涂相同的颜色，所以有4种涂法.由分步计数原理知，共有5X4X4=80种不同的涂法.
类型二，分四步：
第一步，给A涂色，有5种涂法；
第二步，给C涂色，有4种涂法；
第三步，给B涂色有3种涂法；
第四步，给D涂色有3种涂法.由分步计数原理知，共有5X4X3X3=180种不同的涂法.
综上，由分类计数原理可知，共有80+180=260种不同的涂法.
本题也可以在分四步的基础上再分类来完成：
A有5种涂法，B有4种涂法，若C与A相
同，则D有4种涂法，若C与A不同，则C有3种涂法，且D有3种涂法，故有5X4X（4+3X3）=260种涂法.涂色问题多以平面、空间为背景，涂色对象以平面区域居多，也有以点或线为对象的涂色问题.此类问题往往需要多次分类、分步（也有用穷举法解决的题目），常用分类依据有：
①所涂颜色种类（如本题，可依用4种、3种、2种色来分类）：
②可涂同色的区文档
域（或点、线等）是否涂同色•
给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？
如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步•当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法•
（1）当边3与边1同色时有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时染法总数为3X2X1X2X1=12（种）•
⑵当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法,边5有2种染法；
②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法•则此时共有染法3X2X1X（1X2+1X1）=18（种）•
综合
（1）、
（2），由分类加法计数原理，可得染法的种数为30种•
通过分析可知，每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次•染五条边总体分两步•第一步选一色染1次有Cd种染法，第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有2C3Cs=30种染法•
☆几何中的计数问题
从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有种.
使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C63-8=12种，故答案为：
12.
如图，设P为正四面体ABCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四
个顶点的距离组成的集合记为M如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有
（）
£
1卩
\
-
C
A.4个B.6个C.10个D.14个
分以下两种情况讨论：
（1）点P到其中两个点的的距离相等，到另外两个点的距离分别相等，且这两个距离相等，此时点P位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；
（2）点P到其中三个点的的距离相等，到另外一个点的距离与它到其它三个点的距离不相等，此时点P在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点；
综上，满足题意的点共计10个，故答案选C.
正方体8个顶点中取出4个，可组成（）个四面体
A.70B.64C.61D.58
所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，共C（8,4）-12=70-12=58个。
☆创新问题
（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：
“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来•依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区
别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）
A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5
C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）
分三步：
第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有（1+a+a2+a3+a4+a5）种不同的取法；
第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有（1+b5）种不同的取法；
第三步，5个有区别的黑球中任取0个，1个，…，5个，有（1+Cc+C5c2+Cc3+Cc4+C5c5）=（1+c）5种不同的取法，所以所求为（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5,故选A.
如果一个三位正整数如“a^as”满足a1<
a2，且a2>
a3，则称这样的三位数为凸数（如
120，343,275等），那么所有凸数的个数为（）
A.240B.204C.729D.920解析若a2=2,则“凸数”为120与121,共1X2=2个•若a2=3,则“凸数”有2X3二6个•若a2=4,满足条件的“凸数”有3X4=12个，…，若a2=9,满足条件的“凸数”有8X9=72个.•••所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240（个）.
习题荟萃
1、（2014•北京卷）把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有中.
解析记5件产品为AB、CD、E,A、B相邻视为一个元素，先与DE排列，有后人种方法；
再将C插入，仅有3个空位可选，共有AA3d=2X6X3=36（种）不同的摆法.
答案36
2、（2014•重庆卷）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，贝侗类节目不相邻的排法种数是（）
A.72B.120C.144D.168
解析先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A•A=144种，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A3•A2•A?
=24种，于是符合题意的排法共有144-24=120种.
答案B
3、（2015•杭州调研）四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方
案有中.
解析分两步：
先将四名优等生分成2,1,1三组，共有C种；
而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A3种.依分步乘法计数原理，共有N=C4A3=36（种）.
4、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）
A.10B.11C.12D.15
解析与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：
与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C=6（个）;
第二类：
与信息0110有一个对应位置上的数字相同有4
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