完整版计数原理排列组合题型与方法Word文件下载.docx

1、 lg a lg b= lg b，而3=9，彳=3,故所求为 A5 2= 18个，故选 C.投信问题将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ）A.53种 B.3 5种 C.3 种 D.15 种第1封信，可以投入第1个邮筒，可以投入第2个邮筒，也可以投入第3个邮筒，共有3种投法；同理，后面的4封信也都各有3种投法.所以，5封信投入3个邮筒，不同的 投法共有35种.故选B.例2:有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（不一定六名同学都能参加）（1） 每人恰好参加一项，每项人数不限；（2） 每项限报一人，且每人至多参加一项；（3） 每项限报一人，但每人参加的项目不

2、限.解（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36= 729（种）.（2） 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6种选法,第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方 法 6X 5X 4= 120（种）.（3） 由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法 63= 216（种）.数字排列问题用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数（1） 可组成多少个不同的四位数？（2） 可组成多少个不同的四位偶数？ 直

3、接法：A5A3= 300; 间接法：A6-A3 300. 由题意知四位数的个位上必须是偶数，同时暗含了千位不能是 0，因此该四位数的个位和千位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0既是偶数，又不能排在千位，属“特殊 元素”，应重点对待解法一：（直接法）0在个位的四位偶数有A5个；0不在个位时，先从2, 4中选一个放在 个位，再从余下的四个数（不包括0）中选一个放在千位，应有 a2a4a4个.综上所述，共有A5 + A2aJa4= 156（个）解法二：（间接法）从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有 个,其中千位是0的有Aa2个，故适合题意的数有 AA A= 156（个）.点拨

4、：本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或 位置，同时注意题中隐含条件0不能在首位例2：用数字2, 3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 个（用数字作答）.解析 数字2, 3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C4= 4（个）四位数.“ 2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C4= 6（个）四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C4= 4（个）四位数. 综上所述，共可组成14个这样的四位数.例3: （2014 武汉模拟）如果正整数M的各位数字均不为4，且各位数字之和为6，则称 M为“幸运数”，

5、则三位正整数中的“幸运数”共有 个.不含4,且和为6的三个自然数可能为（1，2, 3），（1，5，0），（2，2，2），（3，3,0），（6，0，0）.因此三位正整数中的“幸运数”有 A + 2A2 + 1+ A2+ 1 = 14（个）.故填14.错位排列将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格中，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 中.解析 编号为1的方格内填数字2,共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3,共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4,共有3种不同填法.于是由分类加法计数原理，得共有3+ 3+ 3= 9（种）不同的填法. （2013 成都

6、模拟）用6个字母A, B, C, a, b, c编拟某种信号程序（大小写有区 别）把这6个字母全部排到如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排 列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置， 那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”总个数为（ ）A.432 B.288 C.96 D.48根据题意，分3步进行：先确定排到同一列的上下格位置的一对字母，有 C=3种情况，将其放进表格中，有 C3= 3种情况，考虑这一对字母的顺序，有 AU 2种不同顺序；再分析第二对字母，其不能排到同一列的上下格位置，假设选定的一对大小写字母为 A 和a,则分

7、析B与b： B有4种情况，b的可选位置有2个；最后一对字母放入最后两个位2置，有2种放法则共有3X 3X 2X 4X 2X 2 = 288个“微错号” 故选B.选派分配问题 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派 四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工 作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （）A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种根据题意分2种情况讨论，若小张或小赵入选，则有选法 C21C21Ab3=24;若小张、小赵都入选，则有选法 A2A2=12，共有选法12+24=36

8、种，故选A. 2015年开春之际，六中食堂的伙食在百升老师的带领下进行了全面升级.某日 5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食.每种主食均至少有一名同学选择 且每人只能选择其中一种.花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则 不同的食物搭配方案种数为（ ）A. 96 B . 120 C . 132 D . 240分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为 ;：-18,剩下2人选其余主食， 方法为 磅2,共有方法18X2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人, 若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3

9、a；=6;若没有人选甲选的主食，方 法为瑤A孑6,共有4X 2X（ 6+6） =96种，故共有36+96=132种，故选：C.分堆与分配问题现有6本不同的书：（1）甲、乙、丙三人每人两本，有多少种不同的分配方法?（2）分成三堆，每堆2本，有多少种分堆方法？（3） 分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4） 分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？（5） 甲、乙、丙三人中，一人分 4本，另两人每人分1本，有多少种不同的分配方法？ 解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后两本给丙,共有c6c4c2= 90（

10、种）分配方法；CEC2（2）6本书平均分成3堆，用上述分法重了 A3倍，故共有= 15（种）分堆方法；（3）从6本书中，先取1本作为一堆，再在剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为 一堆，共有ddCU 60（种）分堆方法； 在 的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，共有 Cc5c3a3=360（种）分配方法.CC2C（5）先分堆、再分配，共有 足 A3 = 90（种）分配方法平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列 分堆到位相当于分堆配问题应注意：处理分配问题要注意先分堆再分配 被分配的元素是不同的（像“名额”等则是相同元素，不适用），位置也应是不同的（如不同的“盒子” ）分堆时

11、要注意是否均 匀如6分成（2，2，2）为均匀分组，分成（1，2, 3）为非均匀分组，分成（4，1，1）为部分均 匀分组 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内（1） 恰有1个盒不放球，共有多少种放法？（2） 恰有2个盒不放球，共有多少种放法？（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“ 4 个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有多少种放法？ ”即把 4个球分成2，1，1的三组，然后进行全排列，共有 C AT- 144（种）放法1），（2，2）两类，第一类CJc2Ar A2种放法，故共有（2）确定2个空盒有C2种方法 4个球放进2个盒子可分成（3， 为有

12、序不均匀分组，有 CC&种放法；第二类为有序均匀分组，有A C4= 84（种）相邻捆绑，不邻插空 3名女生和5名男生排成一排（1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？如果女生都不相邻，有多少种排法？（3） 如果女生不站两端，有多少种排法？（4） 其中甲必须排在乙前面（可不邻），有多少种排法?（5）其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？解（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起 有6个元素，排成一排有A6种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有 A3种排法，因 此共有A a3 = 4 320（种）不同排法.（2） （插空法）先排5个男生，有A5种排法

13、，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3 个位置排女生，有a6种排法，因此共有AT AU 14 400（种）不同排法.（3） 法一（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A5种排法， 剩余的位置没有特殊要求，有 A6种排法，因此共有A5 A6 = 14 400（种）不同排法.法二（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有A3种排法，其余位置无限制，有 A5种排法，因此共有A6 4 14 400（种）不同排法.18名学生的所有排列共A8种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中 2，-符合要求的排法种数为 齐=20 160（种）.（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特

14、殊位置.法一（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有 A7种；甲不在最右边时，可从余下 6个位置中任选一个，有A6种.而乙可排在除去最右边位置后剩余的 6个中的任一个上， 有种，其余人全排列，共有A1 A6 A种.由分类加法计数原理，共有 A7+ A6 4 30 960（种）.法二（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有种，余下7个位置全排，有A种，但应 剔除乙在最右边时的排法 A A6种，因此共有A A7- A 4 30 960（种）.法三（间接法）8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有 A种，乙在 最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有 A6种

15、.因此共 有 a8-2A7 + 层 30 960（种）.规律方法 （1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则， 即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制 条件的排列问题的常用方法.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排， 要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）A. 12 B. 24 C. 36 D. 48由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2

16、种，第二步将此两菊花看作一 个整体，与除白1,白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有 A2种站法，此时隔开了 三个空，第三步将白1,白2两菊花插入三个空，排法种数为 A2,则不同的排法种数为2X Ae2XA32=2X2X6=24.故选 B.编号为1、2、3、4、5、& 7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮 灯不相邻，则不同的开灯方案有（ ）A. 60 种 B . 8 种 C . 20 种 D . 10 种四盏不亮灯有5个空位，再安排3亮灯，总有C； 10种方案。例4:某班元旦晚会已经排好4个节目的顺序，先临时要增加2个节目进来，要求不打乱 原来节目的顺序，贝U晚会节目的安排方案有

17、 中。原来4个节目有5个空位，先安排第一个节目，有 5种方案；这时有6个空位，再 安排第二个节目，有6种方案，所以总共有30种方案。最短路走法冋题 A , B两地街道如图所示，某人要从 A地前往B地，则路程最短的走法有 种（用数字作答）.3右2上，共5步，从中选3步来右走余下则上走，走法有C； 10无区别元素分配的隔板法例1.求方程X+Y+Z=1（的正整数解的个数。将10个球排成一排，球与球之间形成 9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空 至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图） 则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为 C92=36

18、 （个）。OOOIOOOIOOOO求方程X+Y+Z=10勺非负整数解的个数。注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了， 怎么办呢？只要添加三个球，给 x、y、z各一个球。这样原问题就转化为求 X+Y+Z=13勺正整 数解的个数了，故解的个数为 C=66 （个）。将20个相同的小球放入编号分别为1, 2, 3, 4的四个盒子中，要求每个盒子中 的球数不少于它的编号数，求放法总数。解法1:先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1, 2，3个球，剩下14个球，有 1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有C133=286 （种）。解法2:第

19、一步先在编号1，2，3, 4的四个盒子内分别放1，2, 3, 4个球，剩下10个 球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子里，由例2 知方法有C133=286 （种）。涂色问题有一个圆被两相交弦分成四块，现用 5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的 两块颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种涂色方法？如图，分别用A, B, C, D记这四个部分，A与C, B与D不相邻，因此，它们可以 同色，也可以不同色.首先分两类，即A, C涂相同颜色和A, C涂不同颜色：类型一，分三步：第一步，给 A, C涂相同的颜色，有5种涂法；第二步，给B涂色有4 种涂法；第三步

20、，给D涂色，由于D与B可以涂相同的颜色，所以有4种涂法.由分步计数原 理知，共有5X4X4 = 80种不同的涂法.类型二，分四步：第一步，给 A涂色，有5种涂法；第二步，给C涂色，有4种涂法； 第三步，给B涂色有3种涂法；第四步，给D涂色有3种涂法.由分步计数原理知，共有5X 4X 3X 3= 180种不同的涂法.综上，由分类计数原理可知，共有 80 + 180= 260种不同的涂法.本题也可以在分四步的基础上再分类来完成： A有5种涂法，B有4种涂法，若C与A相同，则D有4种涂法，若C与A不同，则C有3种涂法，且D有3种涂法，故有5X 4X （4 + 3X 3） = 260种涂法.涂色问题多

21、以平面、空间为背景，涂色对象以平面区域居多，也有以点 或线为对象的涂色问题.此类问题往往需要多次分类、分步（也有用穷举法解决的题目），常用 分类依据有：所涂颜色种类（如本题，可依用4种、3种、2种色来分类）：可涂同色的区 文档域（或点、线等）是否涂同色给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的 一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步当染边1时有3种染法，则染边 2有2种染法（1）当边3与边1同色时有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时染法总 数为 3X 2X 1X 2X 1 = 12（种

22、） 当边3与边1不同色时，边3有1种染法，当边4与边1同色时，边4有1种染法, 边5有2种染法；当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法则此时共有 染法 3X 2X 1X （1 X 2+ 1 X 1） = 18（种）综合（1）、（2），由分类加法计数原理，可得染法的种数为 30种通过分析可知，每种色至少要染 1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩 余两种颜色各染2次染五条边总体分两步第一步选一色染1次有Cd种染法，第二步另两 色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有 2C3Cs= 30种染法几何中的计数问题从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 种.

23、使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个 面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C63- 8=12种，故答案为：12.如图，设P为正四面体A BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点 P到四个顶点的距离组成的集合记为 M如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）1卩-CA. 4 个 B.6 个 C. 10 个 D.14 个分以下两种情况讨论：（1 ）点P到其中两个点的的距离相等，到另 外两个点的 距离分别相等，且这 两个距离相等，此时 点P位于正四面体各棱的中点，符合 条件 的有6个点；（2）点P到其中三个点的的距离相等，到

24、另 外一个点的距离与它到其 它三个点的距离不相等，此时点P在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点； 综上，满足题意的点共计10个，故答案选C.正方体8个顶点中取出4个，可组成（）个四面体A.70 B.64 C.61 D.58所求问题的方法数= 任意选四点的组合数-共面四点的方法数，共C（8,4）-12=70-12=58 个。创新问题 （2014 福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理， 从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1 + a）（1 + b）的展开式1 + a+ b+ ab 表示出来，如：“ 1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“

25、ab”则表示把红球和 蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法 的是（ ）A.（1 + a+ a2 + a3+ a4 + a5）（1 + b5）（1 + c）5 B.（1 + a5）（1 + b+ b2 + b3 + b4 + b5）（1 + c）5C.（1 + a）5（1 + b+ b2+ b3 + b4 + b5）（1 + c5） D.（1 + a5）（1 + b） 5（1 + c+ c2 + c3 + c4+ c5）分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，

26、5个，则有（1 + a + a2 + a3 + a4 + a5）种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有 （1 + b5） 种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球中任取0个，1个，5个，有（1 + Cc + C5c2+ Cc3+ Cc4+ C5c5） = （1 + c）5种不同的取法，所以所求为（1 + a+ a2 + a3+ a4 + a5）（1 + b5）（1 + c）5, 故选A.如果一个三位正整数如“ aas”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数（如120，343, 275等），那么所有凸数的个数为（ ）A. 240 B . 204 C . 729 D . 920

27、解析 若a2= 2,则“凸数”为120与121,共1X2 = 2个若a2= 3,则“凸数”有2X 3 二6个若a2 = 4,满足条件的“凸数”有3X4= 12个，若a2= 9,满足条件的“凸数” 有 8X 9= 72 个.所有凸数有 2 + 6+ 12+ 20+ 30+ 42 + 56+ 72 = 240（个）.习题荟萃1、 （2014 北京卷）把5件不同产品摆成一排.若产品 A与产品B相邻，且产品A与产品C不 相邻，则不同的摆法有 中.解析 记5件产品为A B、C D、E, A、B相邻视为一个元素，先与 D E排列，有后人种 方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有 AA3d= 2X 6X

28、3 = 36（种）不同的摆法.答案 362、 （2014 重庆卷）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的 演出顺序，贝侗类节目不相邻的排法种数是 （ ）A. 72 B. 120 C. 144 D. 168解析 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有 A A=144种， 再剔除小品类节目相邻的情况，共有 A3 A2 A?= 24种，于是符合题意的排法共有144- 24= 120 种.答案 B3、 （2015 杭州调研）四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有 中.解析 分两步：先将四名优等生分成 2, 1, 1三组，共有C种；而后，对三组学生全排三 所学校，即进行全排列，有 A3种.依分步乘法计数原理，共有 N= C4A3= 36（种）.4、在某种信息传输过程中，用 4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同 排列表示不同信息，若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为（ ）A. 10 B . 11 C . 12 D . 15解析 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有 C= 6（个）;第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有 4