高中高一数学必修1各章知识点总结Word文档格式.docx
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不等式x-3>
2的解集是{x?
R|x-3>
2}或{x|x-3>
2}
4、集合的分类：
1．有限集含有有限个元素的集合
2．无限集含有无限个元素的集合
3．空集不含任何元素的集合例：
{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）
实例：
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论：
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：
A=B
①任何一个集合是它本身的子集。
Aí
②真子集:
如果Aí
B,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）
③如果Aí
B,Bí
C,那么Aí
C
④如果Aí
B同时Bí
A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B（读作”A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。
记作：
A∪B（读作”A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：
A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：
设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作：
CSA即CSA={x|x?
S且x?
A}
S
CsA
A
（2）全集：
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
（3）性质：
⑴CU（CUA）=A⑵（CUA）∩A=Φ⑶（CUA）∪A=U
二、函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．
2如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零；
（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（6）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
（又注意：
求出不等式组的解集即为函数的定义域。
）
构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
再注意：
（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：
①表达式相同；
②定义域一致（两点必须同时具备）
（见课本21页相关例2）
值域补充
（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
（2）.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
3.函数图象知识归纳
（1）定义：
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．
C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.即记为C={P（x,y）|y=f（x）,x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线（或直线）,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
（2）画法
A、描点法：
根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以（x,y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x,y），最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
（3）作用：
1、直观的看出函数的性质；
2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4．快去了解区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示
5．什么叫做映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：
AB”
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；
②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
③对于映射f：
A→B来说，则应满足：
（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点：
1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；
2解析法：
必须注明函数的定义域；
3图象法：
描点法作图要注意：
确定函数的定义域；
化简函数的解析式；
观察函数的特征；
4列表法：
选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
解析法：
便于算出函数值。
列表法：
便于查出函数值。
图象法：
便于量出函数值
补充一：
分段函数（参见课本P24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：
复合函数
如果y=f（u）,（u∈M）,u=g（x）,（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x），（x∈A）称为f、g的复合函数。
例如:
y=2sinXy=2cos（X2+1）
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<
x2时，都有f（x1）<
f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数。
区间D称为y=f（x）的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<
x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；
当x1<
x2时，总有f（x1）<
f（x2）。
（2）图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法：
1任取x1，x2∈D，且x1<
x2；
2作差f（x1）－f（x2）；
3变形（通常是因式分解和配方）；
4定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；
5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．
（B）图象法（从图象上看升降）_
（C）复合函数的单调性
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
u=g（x）
增
减
y=f（u）
y=f[g（x）]
1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．
1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
总结：
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
2确定f（－x）与f（x）的关系；
3作出相应结论：
若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；
若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
（1）再根据定义判定;
（2）有时判定f（-x）=±
f（x）比较困难，可考虑根据是否有f（-x）±
f（x）=0或f（x）/f（-x）=±
1来判定;
（3）利用定理，或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）.求函数的解析式的主要方法有：
待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
已知复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；
当已知表达式较简单时，也可用凑配法；
若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
第二章基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：
一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>
1，且∈*．
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）．
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±
（>
0）．由此可得：
负数没有偶次方根；
0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．实数指数幂的运算性质
（1）?
；
（2）；
（3）．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：
一般地，函数叫做指数函数（exponential），其中x是自变量，函数的定义域为R．
指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>
1
0<
a<
图象特征
函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；
取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：
（—底数，—真数，—对数式）
1注意底数的限制，且；
2；
3注意对数的书写格式．
两个重要对数：
1常用对数：
以10为底的对数；
2自然对数：
以无理数为底的对数的对数．
对数式与指数式的互化
对数式指数式
对数底数←→幂底数
对数←→指数
真数←→幂
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
1?
＋；
2－；
3．
换底公式
（，且；
，且；
）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）；
（2）．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：
函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：
，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
2对数函数对底数的限制：
，且．
2、对数函数的性质：
函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为（0，＋∞）
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点（1，0）
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
（三）幂函数
1、幂函数定义：
一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；
当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
1（代数法）求方程的实数根；
2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．
1）△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
2）△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
3）△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
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