专题训练5 梯形的存在性问题Word格式文档下载.docx

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如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线

（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标．

例2

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A（－1,0）、B（3,0）、C（2,3）三点，与y轴交于点D．

（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；

（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；

（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．

专题直击

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A（－1,0）、B（3,0）、C（2,3）三点，与y轴交于点D．设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．

例3如图，二次函数y＝ax2＋4的图像与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且cos∠CAO＝

．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形，若存在，请求出点P坐标；

若不存在，请说明理由．

如图，二次函数

的图像与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．如果D为AC的中点，那么在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形，若存在，请求出点P坐标；

例4

如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？

若存在，求出此时点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A（1,2）、C（2,1）三点，AB⊥x轴于B，点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？

例5

如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A（－1,0）和点B（3,0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C（5,6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；

（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A（－1,0）和点B（3,0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C（5,6）．若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．

例6如图，已知二次函数y＝－x2＋2mx的图像经过点B（1,2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．

（2）在直线BM上有点

，联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；

例7如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知△ABD的面积为18．

（1）求点B的坐标；

（2）如果抛物线

经过点A和点B，求抛物线的解析式；

（3）已知

（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．

如图，已知抛物线

与y轴交于点C，与x轴的负半轴交于点A，该抛物线的对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．

例8如图，四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，∠B＝90°

，AD＝24cm，BC＝28cm．点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；

点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形？

成为等腰梯形？

例9如图，已知A、B是双曲线

上的两个点，A、B的横坐标分别为2和－1，BC⊥x轴，垂足为C．在双曲线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？

如果存在，求点D的坐标；

如果不存在，请说明理由．

例10如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；

同时点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，DE交BC于点E．设P、Q运动的时间是t秒（t＞0），在运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？

若能，求t的值；

若不能，请说明理由．

例11已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？

若存在，求出点D的坐标；

例12如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE//DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）探究：

当x为何值时，四边形PQBE为梯形？

（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，请求出所有满足要求的x的值；

备用图备用图

例13如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（－1,0）和点B，与y轴交于点C（0,2），对称轴为直线x＝1，对称轴交x轴于点E．

（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；

（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；

（3）联结BD，设点P在线段BD上，若△EBP与△ABD相似，求点P的坐标．

例14如图1，在平面直角坐标系中，二次函数

的图像与y轴交于点A，与双曲线

有一个公共点B，它的横坐标为4．过点B作直线l//x轴，与二次函数图像交于另一点C，直线AC的截距是－6．（原题图只有坐标系）

（2）求直线AC的表达式；

（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D的坐标；

如果不存在，请说明理由．

例15如图1，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM＝6，ON＝3，反比例函数

的图像与PN交于点C，与PM交于点D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．

（1）求证：

AB//CD；

（2）在直角坐标平面内是否存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？

若存在，求点E的坐标；

图1