第十四讲 构造与论证Word文件下载.docx

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例5、（★★）一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后一个三位数“吃掉”．例如，24l被352吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互相都不能被吃掉．现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其他5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取l，2；

十位数字只允许取1，2，3；

个位数字只允许取1，2，3，4．问这6个三位数分别是多少?

我们注意先书写高位数字较小的数字，再往下书写，有：

114，123，132，213，222，231为所求的6个三位数．

例6、（★★）在如图所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几?

每一空格填一个数，共有5个空格，各个数出现的次数总和应该等于5，即第二行所填的五数之和是5．

如果4的下面一格所填数超过1，其他空格中至少有两个4，五个数的和就会超过5；

如果4的下面填1，表示4在第二行出现一次．这时，其余数的和为0．所以，4只能填在0的下面，但第二行仅剩三个空格（五个空格中已填了一个1和一个4），矛盾，所以4的下面一格只能填0．

再看3的下面一格，若填大于1的数，则第二行至少有两个3，超过了5，不满足；

若填1，则表示3在第二行出现一次．如果把3填在0的下面，1的下面至少填1，还剩两格，无法填上三个0；

如果3填在其他数字下面，定会出现第二行五数之和大于5．

所以，3的下面也只能填0．

现在，第二行所剩三个空格中，只能填0，1，2三个数字，且要它们的和为5，只有一个1和两个2满足要求．

所以，1在第二行出现一次，1的下面一格应填1；

2在第二行出现两次，2的下面一格应填2；

0在第二行中出现两次，在0的下面一格填上2．

便得到结果：

21200．

例7、（★★★）有一张8×

8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一．能否适当涂色，使得每个3×

4小长方形（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？

能够染出，下图给出两种染法（实质一样，仅为左右对称）．

例8、（★★★）桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第1993次翻动其中的一枚．能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币原先朝下的一面都朝上?

因为共翻动了1993+1992+1991+…+3+2+1＝1994×

1993÷

2＝997×

1993，也就是每枚硬币平均翻动997次，恰好使得原来朝上的一面变为朝下．

又有1993＝1+1992＝2+1991＝…＝996+997．

所以，第k次与第（1995－k）次恰好翻动这1993枚硬币各一次，则最终每枚硬币均被翻动997次，原先朝下的一面都朝上．

例9、（★★★）在象棋比赛中，胜者得1分；

败者扣1分；

若为平局，则双方各得0分．今有若干名学生进行比赛，每两人之间都赛一局．现知，其中有一个学生共得7分，另一个学生共得20分．试说明，在比赛过程中至少有过一次平局．

假设总人数为n+1，如果没有平局，设得7分得那个学生胜过x个人，输给了n－x个人，所以得到x－（n－x）＝2x－n分，由此得2x－n＝7，这说明n为奇数．

设得20分得学生胜过y个人，输给了n－y个人，所以得到y－（n－y）＝2y－n分，由此得2y－n＝20，这说明n为偶数．

两者矛盾，所以开始得假设不成立，即至少有过依次平局成立．

例10、（★★★）今有长度为l，2，3，…，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成

（1）一个正方体框架?

（2）一个长方体框架?

[分析与解]

（1）正方体不可能，因为正方体的12条棱长度相同，所以所有数的和应该是12的倍数．但1+2+3+…+198+199＝19900，不是12的倍数．

（2）长方体可能，因为长方体的棱长和只要求是4的倍数即可，19900显然是4的倍数．

下面给出一种构造方法：

有199＝1+198＝2+197＝3+196＝4+195＝…＝99+100．这样我们将199个金属杆变成100个长度为199的杆，这样让长、宽、高分别为199×

12，199×

12，199即可，需（12+12+1）×

4＝100根，正好满足．

例11、（★★★）5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第l卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；

现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；

现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；

最后将第1卷和第2卷对调即可．

所以，共需调换4+3+2+1＝10次．

例12、（★★★）有3堆小石子，每次允许进行如下操作：

从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

（1）某2堆石子全部取光?

（2）3堆中的所有石子都被取走?

（1）可以，如（1989，989，89）→（1900，900，0）→（950，900，950）→（50，0，50）→（25，25，50）→（0，0，25）．

（2）因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．

现在共有1989+989+89＝3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．

例13、（★★★）

（1）5条直线最多有几个交点？

（2）5个三角形最多能将平面分成几部分？

（3）5个长方形最多能将平面分成几部分？

（1）2条直线最多有1个交点，第三条直线和前面的两条直线各有1个交点，共1+2=3个交点；

第四条直线和前面的三条直线各有1个交点，共3+3=6个交点；

第五条直线和前面的四条直线各有1个交点，共6+4=10个交点。

拓展到n条直线的情况：

有1+2+3+4+……+（n－1）=

个交点。

（2）1个三角形将平面分成2部分，第2个三角形的每条边都和第一个三角形有2个交点，则每条边多出2条线段，每条线段对应1个面，因此多出3×

2=6个面，共2+6=8个面；

第三个三角形的每条边都和前面的2个三角形有4个交点，多出4个面，因此多出3×

4=12个面，共8+12=20个面；

第四个三角形每边都和前面的3个三角形有6个交点，多出6个面，共多出3×

6=18个面，共20+18=38个面；

第五个三角形每边和前面的4个三角形有8个交点，多出3×

8=24个面，共38+24=62个面。

拓展到n个三角形的情况：

最多有2+3×

2+3×

4+3×

6+……+3×

2（n－1）=2+3×

n（n－1）个面；

（3）同第二问，1个长方形将平面分成2部分，第2个长方形的每条边和第1个长方形有2个交点，多出4×

2个面，共2+8=10个面；

……………

拓展到n个长方形的情况：

最多有2+4×

2+4×

4+4×

6+……+4×

2（n－1）=2+4×

n（n－1）个面。

例14、（★★★）班主任老师外出采购前将255元班费分装在几个袋子里，只要买255元以内的东西，他都可以从事先准备好的袋子里凑出所要付的钱，而不必再数钱数，你知道班主任分装在几个袋子里吗？

每个袋子里放了多少元？

，因此用

8个袋子，每个袋子装1、2、4、8、16、32、64、128元。

例15、（★★★）要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？

这些砝码的重量分别是多少？

一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。

（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。

（2）称重2克，有3种方案：

①增加一个1克的砝码；

②用一个2克的砝码；

③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。

从数学角度看，就是利用3－1=2。

（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。

（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。

总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。

（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用

9－（3+1）=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。

这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。

而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为14+13=27（克），可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。

总之，砝码的重量为1，3，

，

克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。

这个结论显然可以推广，①当天平一端端都可放砝码时，使用1，2，

克砝码可以称出1，2，3，…，

克重的重量。

这是使用砝码最少、称重最大的砝码重量设计方案。

②当天平两端都可放砝码时，使用1，3，

例16、（★★★）将九个正方形其边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15和18拼成一个正方形，那么在这个长方形的四个直角上的四个正方形面积总和是多少？

因1+4+7+8+9+10+14+15+18=86，拼成的大长方形的半周长<

86，又九个正方形面积之和为1056=

×

3×

11，则只需考察1056=16×

66=22×

48=24×

44=32×

33（其它情形，如1056=1×

1056=2×

528=…=12×

88均使两因数之和大于86）但只有1056=32×

33时，才能拼成一个长方形，如图，所以拼成的大长方形四个直角上的四个正方形面积的总和是

=826。

例17、（★★★★）在1997×

1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．

如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．

例18、（★★★★）n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每队均与其他各队比赛一场．现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：

（1）n＝4是否可能?

（2）n＝5是否可能?

（1）我们知道4个队共进行了

场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为

2＝12．

因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，有要求每个队的得分要求都不相同，所以4个队得分最少为2+3+4+5＝14＞12，不满足．即n＝4不可能．

（2）我们知道5个队共进行了

2＝20．

因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，有要求每个队的得分要求都不相同，所以5个队得分最少为2+3+4+5+6＝20，满足．即n＝5有可能．但是我们必须验证是否存在实例．

如下所示，A得2分，C得3分，D得4分，B得5分，E得6分．

其中“A→B”表示A、B比赛时，A胜B；

“B—C”表示B、C比赛时，B平C，余下类推．

例19、（★★★★）如图，将l，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M．求M的最小值并完成你的填图．

要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．

因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×

（1+2+3+…+10）＝275．

每次和都小于等于M，所以10M大于等于275，整数M大于28．

下面来验证M＝28时是否成立，注意到全部的圆圈内数总和时55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相间排列，也就是说数组每隔4个差值为1，这样从1填起，容易排出适当的填图．

例20、（★★★★）

（1）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字排列在圆周上，使得任意相邻两数的差（大减小）不小于3且不大于5．

（2）对于1至11这11个数字，

（3）对于l至12这12个数字，

（4）对于1至14这14个数字，

满足上述要求的排列方法是否存在?

（1）对于1至9这九个数，注意到可与1相邻的数是4、5、6，可与9相邻的数也是4、5、6，而1、9又不可相邻，从而4、5、6这三个数只可能分别在1、9之间及1和9的另一侧．以此为突破口，构造一种合题意的填法即可．例如：

可以在圆周上依次填入1、6、2、7、3、8、4、9、5．

（2）对于1至11这十一个数，1、2、3、9、10、11这六个数中任意两数不能相邻，余下4、5、6、7、8这五个数要填在前六个数的六个空隙中，显然是不可能的．

（3）对于1至12这十二个数，1、2、3、10、11、12这六个数中任意两数不能相邻，余下4、5、6、7、8、9这六个数要填在前六个数的六个空隙中，恰好一个空隙填一个数．又注意到9不与1、2、3、10、11相邻，所以9只能一侧与12相邻，可另一侧必与11、10、3、2、1中的某一个相邻，这是不符合要求的．

（4）对于1至14这十四个数，1、2、3、12、13、14这六个数中任意两个数不能相邻，余下4、5、6、7、8、9、10、11这八个数要填在前六个数的六个空隙中，必有两个空隙均填了两个数或有一个空隙中填了三个数．再具体构造一种填法即可，例如在圆周上依次放置1、5、2、6、3、7、12、9、13、10、14、11、8、4即符合要求．

例21、（★★★★）在8×

8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?

因为8×

8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有空格，必空偶数格．而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：

第一条斜线只有1格，必空；

第三条有3格，必至少空1格；

第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格．由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格．其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意．

此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示．

例22、（★★★★）若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克．那么最少需要多少辆载重量为1.5吨的汽车，才能保证把这些箱货物一次全部运走?

至少需要16辆车．15辆车不一定能一次运完．

例如这批货物共有65只箱子，64只箱子都是301千克，1只箱的重量时236千克，那么总重量为301×

64+236＝19500（千克），

恰好符合19.5吨的要求．由于301×

5＝1505（千克）．

超过1.5吨．因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装4×

15＝60（只）重量为301千克的箱子．这样，必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了．

6辆汽车一定能一次运完全部箱子：

首先让12辆汽车装到刚刚超过1.5吨，即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨．再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这12只箱子分别装上另外3辆空车，每车4箱，由于每车4箱总重量不超过4×

353＝1412（千克）

因此也不超过1.5吨．这时，12+3＝15辆车就装完原来前12辆车上的全部货物，总重量超过1.5×

12＝18（吨）．

而且每辆车载重不超过1.5吨．于是，剩下未装车箱子总重量不足19.5－18＝1.5（吨），可以把它们全部装在第16辆车上运走．

例23、（★★★★）有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言．求证：

在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈．

假设任意三位科学家都没有共同会的语言，这表明每种语言至多有两人会说．记这九位科学家为A、B、C、D、E、F、G、H、I．由于一位科学家最多会三种语言，而每种语言至多有两人会说，所以一位科学家至多能和另外三人通话，即至少与五人语言不通．不妨设A不能与B，C，D，E，F通话．

同理，B也至多能和三人通话，因此在C，D，E，F中至少有一人与B语言不通，设为C．

则A、B、C三人中任意两人都没有共同语言，与题意矛盾．

这表明假设不成立．

例24、（★★★★）在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上．如果在这7个点之间连结18条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形?

平面上这7个点，任意3点都不在同一条直线上，若任意2点连结，共可连结出

条线段．现在只连结18条线段，有3条没有连出，要使得这18条线段所构成的三角形最多，需使得没连出的这3条线段共同参与的三角形总数最多，故这3条线段共点．对于这3条线段中的任何一条，还与其他5个点本应构成5个三角形，故这3条线段没连出，至少少构成5×

3－3＝12个三角形．而平面内任何三点不共线的7个点，若任何2点连线，共可构成

＝35个三角形．故现在最多可构成三角形35－12＝23个．

〖课后作业〗

1、能否在5×

5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和?

2、把图10－2中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：

能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?

3、在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币．已知每枚伪币与真币的重量均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量．今有能标明两盘重量之差的天平，证明：

只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否为伪币．

4、如图10－3，在3×

3的方格表中已经填入了9个整数．如果将表中同一行或同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作．问：

你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数?

5、但现在的表格中9个数的和为100，100除以3的余数为1，而操作后9个数都相同即为9的倍数，除以3的余数为0．显然不满足操作前后9个数的和除以3的余数不变．

6、用1～10十个数字随意拍成一排，如果相邻的两个数中前面的大于后面的就将其颠倒位置，如此操作直到前面的数都小于后的数位为止，已知10位于这列数中的第6位，最少要实行多少次交换，最多要实行多少次交换？

7、有三堆棋子的个数分别为19，8，9，现在进行如下操作，每次从任意的两堆中各取出1个放入第三堆中，试问能否经过若干次操作后，使得：

三堆石子的数分别是22，2，12？

能否三堆都是12？

如果能请用最快的操作完成，如果不能，说明理由；

8、在11×

11的棋盘上每个方格内都有一个数字0，现在变换一次都会使与这个数的同行和同列的数字由0变为1，由1变为0，试问最少经过多少次操作才能使这个11×

11的棋盘上的全部有0变为1？

9、ABCDE五支足球队进行循环比赛，每两队都要赛一场，规定每场比赛的胜者得2分，负者得0分，平者各得1分，已知各队的总比分各不相同，并且：

（1）获得冠军的没有平过一场；

（2）获得亚军的没有负过一场；

（3）获得第四名的没有胜过一场，试确定所有的各场比赛的结果，并填入表中。

10、把1～12排在下图中12个圆圈中，然后将任意的相邻的两个数相加，得到一些和，要使这些和都不超过N，N至少是多少？

为什么？

请你设计一种排法满足你的结论；

11、把数1，2，3，4，…，1993置于圆周上，请你设计一种方法使其相邻的两数之间的差不超过2？

12、把在6×

6的棋盘上的若干格涂上红色，其他格不涂色，棋盘上的每个3×

3的正方形的四个角上的4个方格中都恰好有一个红格，那么整个方格纸上最多要涂上多少个红格？

13、采石场采出200块花冈石料，其中有120块各重7吨，其余每块各重9吨，每节火车皮至多能载重40吨，为了能一次运出这些石料至少要用多少节车皮？

14、4个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：

至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．

15、平面上有10个点，其中任意三点都不在一条直线上，如果在这10个点之间连上42条线段，那么这些线段至少能构成多少个三角形？

16、给你一架天平和两个砝码，这两个砝码分别重50克和100克，如果再添上3个砝码，则这5个砝码能称出的重量种类最多是种？

（天平的左右两盘均可放砝码）

17、有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；

那么，这10个砝码中第二重的砝码最少是　　　　　克。

首先此题是一道关于砝码的计数问题，涉及到最值问题和抽屉原理。

我们直接使用最基本的数学逻辑来进行推论和解答。

2，首先，从最后所求进行分析，要求第二重的砝码最少，无法进行直接突破，使用的是最值原理的重点思路之一：

从反面考虑。

第二重砝码最少，那么就应该使其他的砝码尽量大。

3，首先，分析10个砝码的总重量很显然应该是200。

4，其次，分析其中最重的砝码应该最大是