中考数学基础题型提分讲练专题16一次函数综合题Word格式文档下载.docx

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•tanEOF-,

.n171

m766'

1’

tnm4,

•m6,n1,

•-Q2为6,1

•s关于t成一次函数关系,

设s

t2t

2.5

k\5

将—和

s2、、5s

5-5

代入得

厂，解得

•s爲.

②（i）当PQ//OE时，

（如图）

QPB

1EOB

OBE,

作OHx轴于点

•••BQ6、5s

又：

cosQBH

H，贝VPHBH1PB.

7.5

BH143t,

•••PB28

6t,

•t286t

12,

P作PH

•t16

VQ-QGsVCBO得Q3G:

QG:

Q3Q1:

GQ于点H，由

Q3Q

—.5t

Q3G

1,QG

AQ3

AP:

3t2

2t2

HPQ

CDN,

tan

CDN

•2t2

2t，

...t30

團3

（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行•

综上所述，当PQ与VOEF的一边平行时，AP的长为16或30.

519

【点睛】

此题是一次函数的综合题，主要考查了：

用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三

角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题.

【例2】

（2019•射阳县）如图，已知函数y-xb的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与函数y=x

的图象交于点M点M的横坐标为2.在x轴上有一点P（a,0）（其中a>

2）,过点P作x轴的垂线，分别

交函数yxb和y=x的图象于点C,D.

（1）求点A的坐标；

解：

（1）•••点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2,•••点M的坐标为（2,2）,

把M（2,2）代入y=-x+b得-1+b=2，解得b=3,

•••一次函数的解析式为y=-x+3,

把y=0代入y=-x+3得-—x+3=0,解得x=6,

•A点坐标为（6,0）;

（2）把x=0代入y=-x+3得y=3,

•B点坐标为（0,3）,

•/CD=OB

•CD=3

•/PCLx轴，

一1一

•C点坐标为（a，-一a+3）,D点坐标为（a,a）

--a-（-—a+3）=3,

•a=4.

考点集训

1.（2019-重庆中考真题）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数

展开探索.画函数y2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示;

经历同样的过程画函数y2|x|2和y2|x2|的图象如图所示.

-3

-2

-6

-4

（1）观察发现：

三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；

三个函数解折式中绝对值前面的系数

相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化•写出点A,B的坐标和函数

y-2|x2|的对称轴.

（2）探索思考：

平移函数y2|x|的图象可以得到函数y2|x|2和y2|x21的图象，分别写

出平移的方向和距离.

（3）拓展应用：

在所给的平面直角坐标系内画出函数y2|x3|1的图象.若点xl,y1和x2,y2）在

该函数图象上，且X2&

3，比较yi,y的大小.

（1）见解析；

（2）见解析；

（3）见解析.

（1）A（0,2）,B（2,0），函数y2|x2|的对称轴为x2;

（2）将函数y2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y2|x|2的图象；

将函数y2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y2|x2|的图象；

（3）将函数y2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数y2|x3|1的图象.所画图象如图所示，当X2为3时，y1y.

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■讥计―

：

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y^i-肖厂K_i—JiAi—r—i

邛;

3寻嶼碍ir-^i:

本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解

题的关键.

2.（2019•江苏省无锡市天一实验学校初三月考）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x,,y），点

Q的坐标为（X2,y2），且x,X2,yiy2，若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐

标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的"

相关矩形”.下图为点P,Q的“相关矩形”的示意图.

■

11』JLJL—

i一■*=-*■■

1114S,

（1）已知点A的坐标为（1,0）.

1若点B的坐标为（3,1）求点A,B的“相关矩形”的面积；

2点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）00的半径为，点M的坐标为（m3）.若在00上存在一点N,使得点MN的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围.

（1）①2；

②yx1或yx1；

（2）Kme5或者5m1.

（1［①S=2X仁2;

②C的坐标可以为（3,2）或者（3,-2），设AC的表达式为y=kx+b，将AC分别代入AC的表达式得到：

｛2

kb或｛0

3kb2

b，解得：

｛b

1或｛b

，则直线ac的表达式为y

x1;

（2）若00上存在点N,使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±

1,即过M点作k=±

l的直线，

与OO有交点，即存在N,当k=—1时，极限位置是直线与00相切，如图11与|2，直线11与00切于点N,

ON=/2，/0NM=9°

•••h与y交于R（0,-2）.M1（g,3）,•••3

（2）0gg=-5,「.M1

（-5,3）;

同理可得M2（-1,3）;

当k=1时，极限位置是直线l3与l4（与00相切），可得M3（1,3）,M4（5,3）.

因此m的取值范围为Km<

5或者5m1.

考点：

一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力.

3.（2019-山东省济南汇才学校初三期中）如图所示，在平面直角坐标系中，过点

直线分别交y轴于BC两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根

（1）求线段BC的长度；

（2）试问：

直线AC与直线AB是否垂直？

请说明理由；

（3）若点D在直线AC上，且DB=DC求点D的坐标；

（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P,使以AB、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？

若存

在，请直接写出P点的坐标；

若不存在，请说明理由.

（1）4;

（2）ACLAB理由见解析；

（3）D（-2翻,1）;

（4）点P的坐标为（-3晶,0）,（-右，

2）,（-3,3一右），（3,3+朽）.

（1）vx2-2x-3=0,

•••x=3或x=-1,

•••B（0,3）,C（0,-1）,

••BC=4

（2）TA（-J,0）,B（0,3）,C（0,-1）,•••OA=j'

0B=3OC=1

•••0尼0田OC

•••/AOCHBOA=90,

•△AOC^BOA

•••/CAOMABO

•••/CAOMBAOMABOMBAO=90,

•••/BAC=90,

•ACLAB

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b,

把A（--「,0）和C（0,-1）代入y=kx+b,

-1二b

•/DB=DC

•••点D在线段BC的垂直平分线上,•D的纵坐标为1,•••把y=1代入y=-二x-1,

•-x=-2J,

•D的坐标为（-2J•,1）,

（4）设直线BD的解析式为：

y=mx+n,直线BD与x轴交于点E,

把B（0,3）和D（-2J•,1）代入y=mx+n,

...严,

11=~

解得,

•直线BD的解析式为：

y=1x+3,

•x=-3J,

•E（-3「，0）,

•••OE=3J,

•tan/BEC

同理可求得：

/ABO=30,•/ABE=30,

当PA=AB时，如图1,

此时，/BEAKABE=30,

•••EA=AB

•••P与E重合，

•P的坐标为（-3J，0）,

当PA=PB时，如图2,

此时，/PAB=/PBA=30,

•••/ABE=/ABO=30,

•••/PAB=/ABO

•PA//BC

•••/PAO=90,

•••点P的横坐标为-J,

令x=-「代入y=二x+3,

•y=2,

•P（-J,2）,

当PB=AB时，如图3,

•由勾股定理可求得：

AB=2J,EB=6,若点P在y轴左侧时，记此时点P为Pi,过点Pi作PiF丄x轴于点F,

•••PiB=AB=2j,

•EPi=6-2-「,

•

sin/BEO

•FPi=3-J,

令y=3-J代入y==^x+3,

•x=-3,

•••Pi（-3,3-.「）,

若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2,

过点P2作P2G丄x轴于点G,

•P2B=AB=2J,

•GR=3+*,令y=3+J代入y=二x+3,

•x=3,

•P2（3,3+J）,

综上所述，当ABP三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（-3羽,0）,（-朽，2）,

（-3,3-/）,（3,3+J）.

一次函数和三角形的综合题.

4.（2019•内蒙古初三）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题情境：

如图1,四边形ABCC中，AD//BC点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F.求

证：

S四边形abcD=Saabf.（S表示面积）

问题迁移：

如图2,在已知锐角/AOB内有一定点P.过点P任意作一条直线MN分别交射线OA0B于点M

N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值.请问当直线MN在什么位置时，

△MON的面积最小，并说明理由.

占

0（图3）佥\B

（图4）J

实际应用：

如图3,若在道路OAOB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OAOB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区厶MON若测得/AOB=660，/POB=30o,

OP=4km,试求AMON的面积.（结果精确到0.1km2）（参考数据：

sin660〜0.91,tan660〜2.25,.3~1.73）

拓展延伸：

如图4,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、BCP的坐标分别为（6,0）、（6,3）、

—、（4,2）,过点P的直线I与四边形OAB（一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中

以点O为顶点的四边形的面积的最大值.

【答案】问题情境：

见解析

实际运用：

•••Smon10.3km2。

截得四边形面积的最大值为10

证明：

•••AD//BC•••/DAE=/F,ZD=ZFCE

•••点E为DC边的中点，•DE=CE

DAEF

•••在△ADE和厶FCE中，｛DFCE,

DECE

•••△ADE^AFCE（AAS。

/•S△ad=Safce。

•S四边形abce+S\adE=S四边形abce+Safce,即卩S四边形abc=Saabf。

当直线旋转到点P是MN的中点时SAMON最小，理由如下:

如图2，过点P的另一条直线EF交OAOB于点E、F,

设PFvPE过点M作MG/OB交EF于G,

由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形mof=S\mo。

•「S四边形mofVSaeof,/・SamoVS^EOFo

/•当点P是MN的中点时SamoN最小。

如图3,作PP丄OBMMOB垂足分别为Pi,M,

由问题迁移的结论知，当PM=PN寸，△MON的面积最小,

•MM=2PP=4,MPi=PiN。

在Rt△OMM中,tanAOB，即2.25—

OM1OM1

二OM1

二ON

16。

二MFPN2316。

ORRN2>

/32/316

。

〔ONMM11

8,31610.3km2。

P的直线I

与四边形OABC的一组对边OGAB分别交于点MN,延长

①如图4,当过点

•/A（6,0）,•••OA=6•••AD=6

由问题迁移的结论可知，当

PN=PM寸，△MND的面积最小,

•四边形ANMO勺面积最大。

作PR丄OAMMOA垂足分别为R,M,

•・M1卩1=卩1A=2o・•OM=MM=2…MN/OA

…S四边形OANMOMM1S四边形ANPP1

②如图5，当过点P的直线I与四边形

OABG勺另一组对边CBOA分别交MN,延长CB交x轴于T,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

•••{2k

2，解得:

•••直线BC的解析式为yx9o

当y=0时，x=9,•T（9,0）o

•四边形CMN啲面积最大。

PM=PN寸，△MNT的面积最小,

9小

SOCT—

-9

•NR=MPi,MM=2PR=4o•4X9，解得x=5o「.M（5,4）。

•0M=5。

•P（4,2）,•OPi=4o「.PiM=NR=1o「.0N=3•NT=6

--SMNT

4612o

…S四边形OCMN

8112

33<

ioo

•综上所述：

截得四边形面积的最大值为10o

一2一

5.（2019-贵州初三）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、

B两点.动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运

动，点A关于点P的对称点为点Q以线段PQ为边向上作正方形PQMN设运动时间为t秒.

1一

（1）当t=秒时，点Q的坐标是;

（2）在运动过程中，设正方形PQMNfAAOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式；

（3）若正方形PQMN寸角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.

为

、、,

qp丄、ro

A\X

33°

43Qc4

（1）（4,0）;

（2）①当0vtwi时，S=一t2;

②当1vtw—时，S=-一t2+18t；

③当—vtW2

4343

时，S=-3t2+12;

（3）OT+PT勺最小值为32.

（1）令y=0,

/•-2x+4=0,

•••x=6,

二A（6,0）,

当t=秒时，AP=3^=1,

•OP=OAAP=5

•-P（5,0）,

由对称性得，Q（4,0）;

（2）当点Q在原点O时，OQ=6

•AP=_OQ=3

••t=3—3=1,

•y=4,

/•OB=4

A（6,0）,

•••0A=6

OB2在Rt△AOB中，tan/OAB==,

OA3

由运动知，AP=3t,

•-P（6-3t,0）,

•Q（6-6t,0）,

•PQ=AP=3,

•••四边形PQMN是正方形，

•MIN/OAPN=PQ=3,

PD=2t,

DN=t,

MIN/OA

/DCNMOAB

/DN

tan/DCN=

3CN=—t,

（3t）

332

S=S正方形PQMNSACDr=

x-1=

亠人出/PDPD2

在Rt△APD中，tan/OAB=—

②当1vt<

4时，如图2,同①的方法得,

DN=t,CN=^t,

③当一VtW2时，如图3,S=S梯形OBD=

12（2t+4）（6-3t）=-3t+12;

3t=-39t2+18t;

（3）如图4,由运动知,P（6-3t,0）,Q（6-6t,0）,

•••M（6-6t,3t）,

•••T是正方形PQMN勺对角线交点，

--T（6-t,t）,

•••点T是直线y=-】x+2上的一段线段，（-3Wxv6）,

同理：

点N是直线AGy=-x+6上的一段线段，（Owx<

6）,

•G（0,6）,

•OG=6

•A（6,0）,

•AG=62，在Rt△ABG中，OA=6=OG

•••/OAG=45,

•/PNLx车由，

•••/APN=90,

•••/ANP=45,

•••/TNA=90,

即：

TNIAG

•T正方形PQMN勺对角线的交点,

•TN=TP

•OT+TP=OT+TN

•••点O,T,N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ONLAG时，OT+TN最小,

OT+TN最小,

•Saoag=1OAKOG=1AG<

•oN=OAnoo

OT+PT勺最小值为32

求直线MN的解析式;

此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理,

T的位置是解本题（3）的难点.

锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点

6.（2019-武汉市第八中学初三期中）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A,C两点，分别过A,C两

点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OAOC（OA>

OC的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实

（2）

（3）

在直线MN±

存在点P,

使以点

P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标.

（1）C（0,

6）.

（2）y=3x+6.

（3）Pi（4,3）,P2

（鱼，）,P4（256,42）.

552525

（1）解方程x2-14x+48=0得

Xi=6,X2=8

•/OAOC（OA>

00的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根

•••0C=60A=8

•••C（0,6）

（2）设直线MN的

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