高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案有答案Word格式文档下载.docx

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＝__________；

②sinA＝________，

sinB＝________，

sin＝________；

③a∶b∶＝__________；

④a＋b＋sinA＋sinB＋sin＝asinA

sA＝________________；

sB＝________________；

s＝_______________

解决

的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．

②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．

①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

自我检测

1．（2010&

#8226;

上海）若△AB的三个内角满足sinA∶sinB∶sin＝∶11∶13，则△AB（　　）

A．一定是锐角三角形

B．一定是直角三角形

．一定是钝角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

2．（2010&

天津）在△AB中，内角A，B，的对边分别是a，b，，若a2－b2＝3b，sin＝23sinB，则A等于（　　）

A．30°

B．60°

．120°

D．10°

3．（2011&

烟台模拟）在△AB中，A＝60°

，b＝1，△AB的面积为3，则边a的值为（　　）

A．27B21

13D．3

4．（2010&

东）在△AB中，角A，B，所对的边分别为a，b，若a＝2，b＝2，

sinB＋sB＝2，则角A的大小为________．

．（2010&

北京）在△AB中，若b＝1，＝3，＝2π3，则a＝________探究点一　正弦定理的应用

例1　

（1）在△AB中，a＝3，b＝2，B＝4°

，求角A、和边；

（2）在△AB中，a＝8，B＝60°

，＝7°

，求边b和

变式迁移1　

（1）在△AB中，若tanA＝13，＝10°

，B＝1，则AB＝________；

（2）在△AB中，若a＝0，b＝26，A＝4°

，则B＝________

探究点二　余弦定理的应用

例2　（2011&

咸宁月考）已知a、b、分别是△AB中角A、B、的对边，且a2＋2－b2＝a

（1）求角B的大小；

（2）若＝3a，求tanA的值．

变式迁移2　在△AB中，a、b、分别为A、B、的对边，B＝2π3，b＝13，a＋＝4，求a

探究点三　正、余弦定理的综合应用

例3　在△AB中，a、b、分别表示三个内角A、B、的对边，如果（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），试判断该三角形的形状．

变式迁移3　（2010&

天津）在△AB中，AAB＝sBs

（1）证明：

B＝；

（2）若sA＝－13，求sin4B＋π3的值．

1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．

2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”判断解的情况，作出正确取舍．

3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：

一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

湖北）在△AB中，a＝1，b＝10，A＝60°

，则sB等于（　　）

A．－223B223．－63D63

2在△AB中AB＝3，A=2，B=，则AB→A→等于（　　）

A．－32B．－2323D32

3．在△AB中，sin2A2＝－b2（a，b，分别为角A，B，的对边），则△AB的形状为（　　）

A．正三角形B．直角三角形

．等腰直角三角形D．等腰三角形

4．（2011&

聊城模拟）在△AB中，若A＝60°

，B＝43，A＝42，则角B的大小为（　　）

B．4°

．13°

D．4°

或13°

湖南）在△AB中，角A，B，所对的边长分别为a，b，，若＝120°

，

＝2a，则（　　）

A．a&

bB．a&

b

．a＝bD．a与b的大小关系不能确定

题号1234

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．在△AB中，B＝60°

，b2＝a，则△AB的形状为________________．

7．（2010&

广东）已知a，b，分别是△AB的三个内角A，B，所对的边，若a＝1，b＝3，A＋＝2B，则sin＝________

8．（2011&

龙岩模拟）在锐角△AB中，AD⊥B，垂足为D，且BD∶D∶AD＝2∶3∶6，则∠BA的大小为________．

三、解答题（共38分）

9在△AB中，角A，B，所对的边分别为a，b，，且满足，AB→A→=3

（1）求△AB的面积；

（2）若b＋＝6，求a的值．

10．（12分）（2010&

陕西）在△AB中，已知B＝4°

，D是B边上的一点，AD＝10，A＝14，D＝6，求AB的长．

11．（14分）（2010&

重庆）设△AB的内角A、B、的对边长分别为a、b、，且3b2＋32－3a2＝42b

（1）求sinA的值；

（2）求2sinA＋π4sinB＋＋π41－s2A的值．

答案自主梳理

1．

（1）π　

（2）&

　（3）&

　&

　（4）12bsinA　（）A＋B＝π2　2asinA＝bsinB＝sin　b2＋2－2bsA　a2＋2－2asB　a2＋b2－2abs　①2RsinA　2RsinB　2Rsin　②a2R　b2R　2R　③sinA∶sinB∶sin　b2＋2－a22b　a2＋2－b22a　a2＋b2－22ab

自我检测

1．　2A　3

4π6　1

堂活动区

例1　解题导引　已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：

在△AB中．已知a、b和A，求B若A为锐角，①当a≥b时，有一解；

②当a＝bsinA时，有一解；

③当bsinA&

a&

b时，有两解；

④当a&

bsinA时，无解．若A为直角或钝角，①当a&

b时，有一解；

②当a≤b时，无解．

解　

（1）由正弦定理asinA＝bsinB得，sinA＝32

∵a&

b，∴A&

B，∴A＝60°

或A＝120°

当A＝60°

时，＝180°

－4°

－60°

＝7°

＝bsinsinB＝6＋22；

当A＝120°

－120°

＝1°

＝bsinsinB＝6－22

综上，A＝60°

，＝6＋22，

，＝1°

，＝6－22

（2）∵B＝60°

，∴A＝4°

由正弦定理asinA＝bsinB＝sin，

得b＝a&

sinBsinA＝46，＝a&

sinsinA＝43＋4

∴b＝46，＝43＋4

变式迁移1　

（1）102　

（2）60°

或120°

解析　

（1）∵在△AB中，tanA＝13，＝10°

∴A为锐角，∴sinA＝110

又∵B＝1

∴根据正弦定理得AB＝B&

sinsinA＝102

（2）由b&

a，得B&

A，由asinA＝bsinB，

得sinB＝bsinAa＝260×

22＝32，

∵0°

&

B&

180°

∴B＝60°

或B＝120°

例2　解　

（1）∵a2＋2－b2＝a，

∴sB＝a2＋2－b22a＝12

∵0&

π，∴B＝π3

（2）方法一　将＝3a代入a2＋2－b2＝a，得b＝7a

由余弦定理，得sA＝b2＋2－a22b＝714

A&

π，

∴sinA＝1－s2A＝2114，

∴tanA＝sinAsA＝3

方法二　将＝3a代入a2＋2－b2＝a，

得b＝7a

由正弦定理，得sinB＝7sinA

由

（1）知，B＝π3，∴sinA＝2114

又b＝7a&

a，∴B&

A，

∴sA＝1－sin2A＝714

方法三　∵＝3a，由正弦定理，得sin＝3sinA

∵B＝π3，∴＝π－（A＋B）＝2π3－A，

∴sin（2π3－A）＝3sinA，

∴sin2π3sA－s2π3sinA＝3sinA，

∴32sA＋12sinA＝3sinA，

∴sinA＝3sA，

变式迁移2　解　由余弦定理得，b2＝a2＋2－2asB

＝a2＋2－2as23π

＝a2＋2＋a＝（a＋）2－a

又∵a＋＝4，b＝13，∴a＝3，

联立a＋＝4a＝3，解得a＝1，＝3，或a＝3，＝1

∴a等于1或3

例3　解题导引　利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．

解　方法一　∵（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B）

a2[sin（A－B）－sin（A＋B）]

＝b2[－sin（A＋B）－sin（A－B）]，

∴2a2sAsinB＝2b2sBsinA，

由正弦定理，得

sin2AsAsinB＝sin2BsBsinA，

∴sinAsinB（sinAsA－sinBsB）＝0，

∴sin2A＝sin2B，由0&

2A&

2π，0&

2B&

2π，

得2A＝2B或2A＝π－2B，

即△AB是等腰三角形或直角三角形．

方法二　同方法一可得2a2sAsinB＝2b2sBsinA，

由正、余弦定理，即得

a2b×

b2＋2－a22b＝b2a×

a2＋2－b22a，

∴a2（b2＋2－a2）＝b2（a2＋2－b2），

即（a2－b2）（2－a2－b2）＝0，

∴a＝b或2＝a2＋b2，

∴三角形为等腰三角形或直角三角形．

变式迁移3　解题导引　在正弦定理asinA＝bsinB＝sin＝2R中，2R是指什么？

a＝2RsinA，b＝2RsinB，＝2Rsin的作用是什么？

（1）证明　在△AB中，由正弦定理及已知得

sinBsin＝sBs

于是sinBs－sBsin＝0，

即sin（B－）＝0

因为－π&

B－&

π，从而B－＝0

所以B＝

（2）解　由A＋B＋＝π和

（1）得A＝π－2B，

故s2B＝－s（π－2B）＝－sA＝13

又0&

π，于是sin2B＝1－s22B＝223

从而sin4B＝2sin2Bs2B＝429，

s4B＝s22B－sin22B＝－79

所以sin4B＋π3

＝sin4Bsπ3＋s4Bsinπ3

＝42－7318

后练习区

1．D　2D　3B　4B　A

6．等边三角形

解析　∵b2＝a2＋2－2asB，

∴a＝a2＋2－a，

∴（a－）2＝0，

∴a＝，又B＝60°

∴△AB为等边三角形．

7．1

解析　由A＋＝2B及A＋B＋＝180°

知，B＝60°

由正弦定理知，1sinA＝3sin60°

即sinA＝12

由a&

b知，A&

B，∴A＝30°

＝180°

－A－B＝180°

－30°

＝90°

∴sin＝sin90°

＝1

8π4

解析　设∠BAD＝α，∠DA＝β，

则tanα＝13，tanβ＝12，

∴tan∠BA＝tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ

＝13＋121－13×

12＝1

∵∠BA为锐角，∴∠BA的大小为π4

9．解　

（1）因为sA2＝2，

所以sA＝2s2A2－1＝3，sinA＝4……………………………………………………（4分）

又由AB→&

A→＝3得bsA＝3，所以b＝，

因此S△AB＝12bsinA＝2…………………………………………………………………（8分）

（2）由

（1）知，b＝，又b＋＝6，

由余弦定理，得a2＝b2＋2－2bsA＝（b＋）2－16b＝20，所以a＝2………（12分）

10．解　在△AD中，AD＝10，A＝14，D＝6，

由余弦定理得，

s∠AD＝AD2＋D2－A22AD&

D

＝100＋36－1962×

10×

6＝－12，…………………………………………………………………（6分）

∴∠AD＝120°

，∠ADB＝60°

…………………………………………………………（8分）

在△ABD中，AD＝10，B＝4°

∠ADB＝60°

由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，

∴AB＝AD&

sin∠ADBsinB＝10sin60°

sin4°

＝10×

3222＝6…………………………………………………………………………（12分）

11．解　

（1）∵3b2＋32－3a2＝42b，

∴b2＋2－a2＝423b

由余弦定理得，sA＝b2＋2－a22b＝223，……………………………………………（4分）

π，故sinA＝1－s2A＝13……………………………………………………（6分）

（2）原式＝2sinA＋π4sinπ－A＋π41－s2A………………………………………………………（8分）

＝2sinA＋π4sinA－π42sin2A

＝222sinA＋22sA22sinA－22sA2sin2A…………………………………………（11分）

＝sin2A－s2A2sin2A＝－72

所以2sin&

#61480;

A＋π4&

#61481;

sin&

B＋＋π4&

1－s2A＝－72……………………………………………………（14分）