数学题集Word文件下载.docx
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10×
3×
3!
=180
总和是：
120＋180＝300个。
或
当个位是0时：
1*2*3*4*5=120
当个位是1时:
4*3*2*1*3=72
当个位是2时:
3*3*2*1*3=54
当个位是3时2*3*2*1*3=36
当个位是4时1*3*2*1*3=18
S=120+72+54+36+18=300
7、3名毕业生分配到4个部门，其中有一个部门分2个人，一共有多少种分法？
三名毕业生被分成两部分进入两个部门，既有C32=3种分法；
这两部分被分到四个部门中的两个部门即为：
A42=4*3=12；
所有共有：
3*12=36种
8、.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为20种
先选出两个箱子正好与球号相同，有10种，那么看其余的三个箱子：
注意：
它们中不能有号相符合的，因为题目说了是恰有所以只有2种选择，再相乘
9、（n个实数x1,x2,……，xn的方差为D,他们的平均数为x拔，设S=1/n*[（X1^2+X2^2+X3^2+……+Xn^2）-n（x拔）^2],则有（A）
（A）D=S（B）D>
S（C）D<
S（D）D=S+（X拔）^2
2014/11/26几何与平面分析第24题、若实数x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0求x-2y的最大值
应该是用几何的方法做更好些
x^2+y^2-2x+4y=0
（x-1）^2+（y+2）^2=5
表示圆心在（1，-2），半径为根号5的圆。
设x-2y=b，它表示一个直线系，随b取值不同而不同。
满足x^2+y^2-2x+4y=0的x-2y的最大值，就是说圆和直线系有交集时b的最大值。
你可以画下图，很容易看出，直线和圆相切时有最大值（上面的是最大值，下面的那个是最小值）。
这时圆心（1，-2）到直线x-2y=b的距离等于圆的半径根号5：
|5-b|/根号5=根号5
|5-b|=5
b=10或b=0
b=10是所求的最大值，b=0为最小值，b的取值范围是0<
=b<
=10。
2014/11/3034、条件充份性判断，动点p的轨迹是两个圆。
（E）
1）|x|+1=√[1-（y-1）^2]
2）（|x|+|y|）^2=1
（1）轨迹方程是|x|+1=√[1-（y-1）^2]，由题意知：
1-（y-1）^2≥0，（y-1）^2≤1，-1≤y-1≤1，所以有，0≤y≤2.
当x≥0时，两边平方得（x+1）^2+（y-1）^2=1.
在无限制条件的情况下，方程表示圆心在（-1，1）半径为1的圆。
但由于x≥0,0≤y≤2.所以只能有圆上的一个点（0，1）满足条件，
因此轨迹表示一个点。
当x≤0时，两边平方得（x-1）^2+（y-1）^2=1.
在无限制条件的情况下，方程表示圆心在（1，1）半径为1的圆。
但由于x≤0,0≤y≤2.所以只能有圆上的一个点（0，1）满足条件，
综上所述，动点的轨迹表示点（0，1）。
（2）动点P的轨迹方程是（|x|+|y|）^2=1，因此有|x|+|y|=1或
|x|+|y|=-1.
当x≥0，y≥0时有：
x+y=1;
当x≤0，y≥0时有：
-x+y=1;
当x≤0，y≤0时有：
-x-y=1;
当x≥0，y≤0时有：
x-y=1,
轨迹是一个正方形，四个顶点在坐标轴上，依次为（1，0），
（0，1），（-1，0），（0，-1）.
35、（y+1）/（x+2）的最大值为4/3的充分条件是（C）
1、圆O的方程是x^2+y^2=1
2、动点P（x,y）在圆O上运动
证明：
（3）圆O的方程是x^2+y^2=1
k=（y+1）/（x+2）即为圆上的点与点（-2,-1）连线的斜率
由图形可知当直线y+1=k（x+2）与圆相切时，k取得最大或最小值
y+1=k（x+2）即kx-y+2k-1=0
直线与圆相切，即点（0,0）到y+1=k（x+2）的距离为1，亦即
|2k-1|/√（k^2+1）=1
解得k1=0,k2=4/3，故[y+1]/[x+2]的最大值为4/3。
2、三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为
（a+b+c）*5=abc
由于均为质数，
不妨设a=5，则（b+c+5）=bc,因式分解得（b-1）（c-1）=6
（1）b=3，c=4舍
（2）b=7,c=2
故（2，5，7）
26、若y与x-1成正比,比例系数为K1;
y又与x+1成反比,比例系数为K2,且K1:
K2=2:
3,若两函数图像交点为（x0,y0）,则x0值
由K1:
3可设k1=2k，k2=3k
（1）、y=2k（x-1）
（2）、y=3k/（x+1）
联立
（1）
（2）得
2k（x-1）=3k/（x+1）
即
2（x-1）=3/（x+1）
解得x0=±
√10/2
25、已知|x+y|/（x-Y）=2,求x/y
|x+y|=2x-2y≥0
x≥y
则当x≥0,y≥0时
x+y=2x-2y
x=3y
x/y=3
当x≥0,y≤0时
若x+y≥0
|x+y|=x+y=2x-2y,得x/y=3
若x+y≤0
|x+y|=-x-y=2x-2y,得x/y=1/3
当x≤0,y≤0时
|x+y|=-x-y=2x-2y
x/y=1/3
不存在当x≤0,y≥0的情况，此种情况，结果会为负。
则x/y=3或x/y=1/3
27题，m除10^k的余数为1,充分性判断：
m除以10的k次方的余数为一。
条件一，既约分数n/m满足0<
n/m<
1；
条件二，分数n/m可以化为小数部分的一个循环节有k位数字的纯循环小数。
该题答案是条件一和条件二联合起来题干成立，求详细推理过程。
（1）好证明，随便举个最简分数的例子，就能推翻这个说法。
比如2/5，m=5,5除10^k余数不为1。
（2）根据叙述，假设循环节这段数字（整数）为P。
比如，3/7=0.428571428571428571...P=428571,k=6
P=10^k*n/m-n/m
P=（10^k-1）*n/m
到这步，需要把条件
（1）放进来
（10^k-1）肯定是整数，其值=P*m/n,n/m为既约分数，所以P必然是n的倍数。
10^k=m*（p/n）+1,即10^k除以m的余数为1，两个条件合起来成立。
2014/12/1第六题：
若4x^4-ax^3+bx^2-40x+16是完全平方式,则a,b的值为
1设这个式子是2x^2+cx+d则（2x^2+cx+d）^2=4x^2+4x^2（cx+d）+c^2x^2+2cdx+d^2=4x^2+4cx^3+4dx^2+c^2x^2+2cdx+d^2=4x^4-ax^3+bx^2-40x+16所以d^2=16,2cd=-40得到d=4,c=-5或d=-4,c=5因此b=（4d+c^2）=（16+25）=41或b=（-16+25）=9a=-4c=20或a=-20因此a=20b=41或a=-20b=9
提问者评价
高人！
我也作出来了
用（a+b+c）^2和（a-b+c）^2
7、设ax^3+bx^2+cx+d都被x^2+h^2（h不等于零）整除，则a，b，c，d间的关系为
答案：
ad=bc
用待定系数法。
解：
令ax³
+bx²
+cx+d=（x²
+h²
）（ax+m）
ax³
+cx+d=ax³
+mx²
+ah²
x+mh²
（b-m）x²
+（c-ah²
）x+（d-mh²
）=0
b-m=0
c-ah²
=0
d-mh²
解得b=mc=ah²
d=mh²
=bh²
h²
=c/ah²
=d/b
c/a=d/b
8、已知a,b,c,d为不等于零的实数，且a不等于b,c不等于d,ad+bc不等于0,，设m1=a+b/a-b,m2=c+d/c-d,m3=ac-bd/ad+bc，则有
（A）m1+m2+m3＞m1m2m3
（B）m1+m2+m3＝m1m2m3
（C）m1+m2+m3＜m1m2m3
（D）m1+m2+m3=1/m1m2m3
m1+m2+m3=（a+b）/（a-b）+（c+d）/（c-d）+（ac-bd）/（ad+bc）
=（2ac-2bd）/（a-b）（c-d）+（ac-bd）/（ad+bc）
=（ac-bd）*（2ad+2bc+ac-ad-bc+ad）/（a-b）（c-d）（ad+bc）
=（ac-bd）（a+b）（c+d）/（a-b）（c-d）（ad+bc）
=m1m2m3
因此选择B
10、已知x^2-1=3x,则多项式3x^3-11x^2+3x+2的值为（）
本题答案：
x²
=3x+1
则x²
用3x+1代替
x³
=x×
=x（3x+1）
=3x²
+x
=3（3x+1）+x
=10x+3
原式=3（10x+3）-11（3x+1）+3x+2
=30x+9-33x-11+3x+2
11、已知多项式f（x）除以x+2所得余数为1；
除以x+3所得余数为-1，则多项式f（x）除以（x+2）（x+3）所得的余式为？
解一：
因为f（x）除以x+2所得的余数为1，
所以令f（x）=p（x）*（x+2）+1，其中p（x）是多项式函数。
由此得f（-2）=1，同理f（-3）=-1，
因此，设f（x）=q（x）*（x+2）（x+3）+（ax+b），
则f（-2）=-2a+b=1且f（-3）=-3a+b=-1，
解得a=2，b=5，
所以f（x）除以（x+2）（x+3）所得的余式为2x+5。
解二：
12、对于任意实数X属于（1/8,1/7）,代数式｜1-2X｜+｜1-3X｜+｜1-4X|+...+|1-10X|的值为（）
x∈（1/8,1/7）
1/8<
x<
1/7，所以有
7/8<
7x<
1
1<
8x<
8/7
即1-7x>
0，1-8x<
|1-2x|+|1-3x|+|1-4x|+...+|1-7x|+|1-8x|+|1-9x|+|1-10x|
=（1-2x）+（1-3x）+（1-4x）+...+（1-7x）+（8x-1）+（9x-1）+（10x-1）
=（1+1+1+1+1+1-1-1-1）+（8x+9x+10x-2x-3x-4x-5x-6x-7x）
=6-3+0
=3
13、多项式2x^4-x^3-6x^2-x+2的因式分解为（2x-1）q（x），则q（x）等于？
2x^4-x³
-6x²
+3x-4x+2
=x³
（2x-1）-3x（2x-1）-2（2x-1）
=（2x-1）（x³
-3x-2）
∴q（x）=x³
-3x-2
=x^3-8-3x+6=（x-2）（x^2+2x+4）-3（x-2）=（x-2）（x^2+2x+1）=（x-2）（x+1）^2
14、若（√x+1/x）n次方的展开式中无常数，则N为
通项T<
r+1>
=c（n,r）（√x）^（n-r）*（1/x）^r
=c（n,r）x^[（n-r）/2-r]
=c（n,r）x^[（n-3r）/2],
（n-3r）/2≠0，
n不是3的倍数，选C.
（a+b+c）^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc
1204
39.用若干个大小相同的小球，一个挨一个可摆成一个正方形面或正三角形面（注：
小球全用完）
（1）正方形一边上摆5个小球=/=>
小球的总数确定
（2）摆成正三角形时比摆成正方形时每边多2个小球==>
先计算一下正方形和正三角形的需求：
假设每边放n个小球，那么
正方形需求：
n^2;
正三角形需求：
1+2+3+...+n=n（n+1）/2;
所以有
（1）当正方形一边上摆5个小球，若要摆成正三角形小球全用完，即要求n（n+1）/2=25有正整数解，不成立，故得证
（2）当摆成正三角形时比摆成正方形时每边多2个小球,假设正三角形每边放n个,即要求（n-2）^2=n（n+1）/2有正整数解，解之得n=6,小球总数为36个确定，故得证
自然数N满足条件4N-N^2-3>
条件1自然数N加上2后是一个完全平方数
条件2自然数N减去1后是一个完全平方数
问条件1和2分别是否充分,联合起来是否充分?
n+2为完全平方数设为a^2，同样n-1设为b^2,于是a^2-b^2=（a+b）*（a-b）=n+2-（n-1）=3,由于a，b均为自然数，所以有a+b=3,a-b=1，解得a=2,b=1，于是n=2，代入可知4n-n^2-3=4*2-2*2-3=1>
0，成立
32.数列{a<
n>
}的奇数项与偶数项依原顺序分别组成公比不为1的等比数列;
（2）数列{a<
}中,a<
a<
n+1>
=（1/2）^n对任意n∈N均成立==>
（A）
证明:
因为a<
=（1/2）^n对任意n∈N均成立
所以有a<
n+2>
=（1/2）^（n+1）,
两式相除得
（a<
）/（a<
）=[（1/2）^（n+1）]/（1/2）^n=1/2,
所以a<
/a<
=1/2
所以当n是偶数时,令n=2k,则a<
2k+2>
）/a<
2k>
=1/2,即
2（k+1）>
此时数列an中的偶数项是以1/2为公比的等比数列;
同理可知当n是奇数时,令n=2k-1,则a<
2k-1+2>
2k-1>
2（k+1）-1>
此时数列an中的奇数项是以1/2为公比的等比数列;
故数列{a<
}的奇数项与偶数项依原顺序分别组成公比不为1的等比数列
其它解法：
数列{an}的奇数项与偶数项依原顺序分别组成公比不为1的等比数列
（1）{an}是等比数列
（2）{an}中，an*an+1=（1/2）^n，对任意n∈N均成立
条件1不充分，因为1,1,1,1,1这个等比数列不满足题设
an*（an+1）=（1/2）^n,那么（an-1）*an=（1/2）^（n-1）,相除得an+1/an-1=1/2
最简单的例子
1,1/2,1/2,1/4,1/4,1/8,1/8,1/16.......
答案是B。
35.a+b+c=26
（1）a、b、c成等比数列，且a,b+4,c成等差数列=/=>
结论
（2）a、b、c成等比数列，且a,b,c+32成等比数列=/=>
（3）a、b、c成等比数列，且a,b+4,c成等差数列，a,b,c+32成等比数列=/=>
∙解：
（1）设公比为q则a+aq+aq^2=26
∙又a+aq^2=2（aq+4）-->
a-2aq+aq^2=8
∙所以aq=6-->
a=6/q
∙所以6/q+6+6q=26-->
6-20q+6q^2=0
∙解得q=3或q=1/3-->
a=2或a=18
∙所以a=2,b=6,c=18或a=18,b=6,c=2
∙无解
36-2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知1/3S3与1/4S4的等比中项为1/5S5，1/3S3与1/4S4的等差中项为1，求等差数列{an}的通项an
Sn=na1+[n（n-1）d]/2
1/3S3=1/3{3a1+[3×
（3-1）]d/2}=1/3（3a1+3d）=a1+d
1/4S4=1/4{4a1+[4×
（4-1）]d/2}=1/4（4a1+6d）=a1+3d/2
1/5S5=1/5{5a1+[5×
（5-1）]d/2}=1/5（5a1+10d）=a1+2d
1/3S3与1/4S4的等比中项为1/5S5,
（a1+2d）^2=（a1+d）×
（a1+3d/2）
3a1d/2+5d^2/2=0......
（1）
1/3S3与1/4S4的等差中项为1,
（a1+d）+（a1+3d/2）=2×
a1+5d/4=1......
（2）
（1）,
（2）两式联立，解得：
d=0或d=-12/5
当d=0时，代入
（2）中，a1=1,an=1
当d=-12/5时，代入
（2）中，a1=4,an=32/5-12n/5
23.式子a（1/b+1/c）+b（1/c+1/a）+c（1/a+1/b）有意义且值为-3
条件1：
abc≠0
2：
a+b+c=0
若A,B,C其中一个是0,则a（1/b+1/c）+b（1/c+1/a）+c（1/a+1/b）不成立或无意义,所以abc≠0
∵a+b+c=0
∴a+b=-c,或a+c=-b,或b+c=-a
a（1/b+1/c）+b（1/c+1/a）+c（1/a+1/b）
=a/b+a/c+b/c+b/a+c/a+c/b
=（a/b+c/b）+（a/c+b/c）+（b/a+c/a）
=（a+c）/b+（a+b）/c+（b+c）/a
=-b/b+（-c/c）+（-a/a）
=-1-1-1
=-3。
19．4x^2+7xy-2y^2是9的倍数,
（1）x,y是整数
（2）4x-y是3的倍数
（1）设x=1,y=-1,则4x^2+7xy-2y^2=4-7-2=-5不是9的倍数.
（2）设x=1/4,y=-2,则4x^2+7xy-2y^2=-45/4不是9的倍数.
（3）4x^2+7xy-2y^2=（x+2y）（4x-y）
4x^2+7xy-2y^2＝4x^2+8xy－（xy＋2y^2）
＝4x（x+2y）-y（x+2y）
=（x+2y）（4x-y）
（x+2y）（4x-y）是9的倍数，则需要满足x+2y、4x-y至少为9的倍数或者同时为3的倍数
（1）x、y同时为整数则x+2y、4x-y不一定能满足上述条件，所以不能推导出结论
（2）4x-y是3的倍数，如果x+2y不是3的倍数，不能推导出结论
（3）又当4x-y是3的倍数时，可以写成4x-y=3a（a为整数），则x+2y＝9x-6N=3（3x-2a）当x,y为整数时x+2y也是3的倍数，所以可以推导出结论
令4x-y=3a（a为整数）
则y=4x-3ax+2y=x+8x-6a=9x-6a=3（3x-2a）
因此:
4x^2+7xy-2y^2=9a（3x-2a）
因为a和x都是整数,所以9a（3x-2a）是整数,且是9的倍数.
20.x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1成立
x/a+y/b+z/c=1
a/x+b/y+c/z=0
因为（x/a+y/b+z/c）^2=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2+2[xy/（ab）+xz/（ac）+yz/（bc）]
因为等式左边=1，要证明x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1，即要证明xy/（ab）+xz/（ac）+yz/（bc）=0{标记为1式}
1式*abc，原题即要证明
xyc+xbz+ayz=0
上式除以xyz，原题即要证明
c/z+b/y+a/x=0（已知）
21．当n为自然数时，有x^6n+1/x^6n=2
（1）x+1/x=-1==>
x^6n+1/x^6n=2
（2）x+1/x=1==>
（1）x+1/x=-1==>
x^2+x+1=0==>
x^3-1=（x-1）（x^2+x+1）=0==>
x^3=1==>
x^6=1
==>
x^6n=1==>
x^6n+1/x^6n=2
x^2-x+1=0==>
x^3+1=（x+1）（x^2-x+1）=0==>
x^3=-1==>
22.有a=b=c=d成立
2a²
+2b²
+2c²
+2d²
-2ab-2bc-2cd-2da=0
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd
解1、原式两边乘以二得
=2a²
=（a²
-2ab+b²
）+（b²
-2bc+c²
）+（c²
+2cd+d²
）+（d²
-2da+a²
=（a-b）²
+（b-c）²
+（c-d）²
+（d-a）²
2、原式整理得
a^4-2a²
b²
+b^4+c^4-2c²
d²
+d^4-4abcd+2a²
（a²
-b²
）²
+（c²
-d²
+2（ab-cd）²
条件1充分。
2不充分。
24.a+b/c+d=√a2+b2/√c2+d2
充分性判断
1.a/b=c/d且b.d均为正数
2.a/b=c/d且b.d均为负数
1.令a/b=c/d=t，则a=btc=dt
（a+b）/（c+d）=（bt+b）/（dt+d）=b（t+1）/d（t+
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