以椭圆和圆为背景的解析几何大题.doc

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【名师精讲指南篇】

【高考真题再现】

例1【2015江苏高考】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于

点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

【答案】

（1）

（2）或．

【解析】

试题解析：

（1）由题意，得且，

解得，，则，

所以椭圆的标准方程为．

（2）当轴时，，又，不合题意．

当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，

将的方程代入椭圆方程，得，

则，的坐标为，且

．

若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．

从而，故直线的方程为，

则点的坐标为，从而．

因为，所以，解得．

此时直线方程为或．

例2【2016江苏高考】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:

及其上一点A（2，4）.

（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：

存在圆上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.

【答案】

（1）

（2）（3）

【解析】

试题解析：

解：

圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.

（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，

所以，于是圆N的半径为，从而，解得.

因此，圆N的标准方程为.

（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.

设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，

则圆心M到直线l的距离

因为

而

所以，解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

（3）设

因为，所以……①

因为点Q在圆M上，所以…….②

将①代入②，得.

于是点既在圆M上，又在圆上，

从而圆与圆没有公共点，

所以解得.

因此，实数t的取值范围是.

【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算

【名师点睛】直线与圆中的三个定理：

切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：

点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.

例3【2017江苏高考】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．

【答案】

（1）；

（2）．

试题解析：

（1）设椭圆的半焦距为c．

因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，

解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．

因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．

又在椭圆E上，故．

由，解得；，无解．

因此点P的坐标为．

【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系

【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．

【热点深度剖析】

1.圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2017年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．

2.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：

数形结合法，以形助数，用数定形.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

3..避免繁复运算的基本方法：

回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的方法等，一般以直接性和间接性为基本原则.“设而不求”、“点代法”等方法的运用就是主动的“所谓寻求”.

4.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

5.预计18年将继续将解几大题作为探究能力考查的“试验田”，考查定点、定值问题的可能性较大.

【最新考纲解读】

内容

要求

备注

A　　

B　　

C　　

平面解析几何初步　　

直线的斜率和倾斜角　　

√　　

对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.

了解：

要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.

理解：

要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.

掌握：

要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

直线方程　　

√　　

直线的平行关系与垂直关系　　

√　　

两条直线的交点　　

√　　

两点间的距离、点到直线的距离　　

√　　

圆的标准方程与一般方程　　

√　　

直线与圆、圆与圆的位置关系　　

√　　

圆锥曲线与方程　　

中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质　　

√　　

中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质　

√　　

顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质　

√　　

【重点知识整合】

一、1.椭圆的定义：

（1）第一定义：

平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹.

（2）第二定义：

平面内与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0

2.图形与方程（以一个为例）

图形

　　标准方程：

（>0）

3.几何性质：

（1）范围　

（2）中心　坐标原点

　（3）顶点　

　（4）对称轴　轴，轴，长轴长，短轴长

　（5）焦点　　　　焦距　，（）

　（6）离心率　，（）

　（7）准线　

　（8）焦半径　

　（9）通径　

　（10）焦参数　

二、1.抛物线的定义：

平面内与定点和直线的距离相等的点的轨迹.（e=1）

2.图形与方程（以一个为例）

图形

标准方程：

3.几何性质：

（1）范围　经，

（2）中心　无

　（3）顶点　

　（4）对称轴　轴

　（5）焦点　　　　焦距　无

　（6）离心率　

　（7）准线　

　（8）焦半径　

　（9）通径　

　（10）焦参数　

【应试技巧点拨】

一、

（1）要能够灵活应用圆锥曲线的两个定义（及其“括号”内的限制条件）解决有关问题，如果涉及到其两焦点（或两相异定点），那么优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视第一定义和三角形中正余弦定理等几何性质的应用，尤其注意圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用。

（2）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．

（3）求椭圆的标准方程

①定义法：

根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

②待定系数法：

根据椭圆焦点是在x轴还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．

（4）椭圆中有一个十分重要的△OF1B2（如图），它的三边长分别为.易见，且若记，则.

（5）在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如：

①与分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；

②椭圆的通径（过焦点垂直于长轴的弦）长，过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值．

（6）共离心率的椭圆系的方程：

椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

二、对于抛物线的标准方程与，重点把握以下两点：

（1）是焦点到准线的距离，恒为正数；

（2）方程形式有四种，要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．

B．抛物线的几何性质以考查焦点与准线为主．根据定义，抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等，可得以下规律：

（1）抛物线上一点到焦点的距离；

（2）抛物线上一点到焦点F的距离；

（3）抛物线上一点到焦点F的距离；

（4）抛物线上一点到焦点F的距离.

C．直线与抛物线的位置关系类似于前面所讲直线与椭圆、双曲线的位置关系．

特别地，已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，设．

则有以下结论：

（1），或（为所在直线的倾斜角）；

（2）；

（3）.

过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为.

【考场经验分享】

1.目标要求：

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

2.注意问题：

（1）对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．

（2）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

3.经验分享：

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：

一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．

【名题精选练兵篇】

1.【南通市2018届高三上学期第一次调研】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两条准线之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且的面积是的面积的倍，求直线的方程.

【答案】

（1）

（2），

试题解析：

（1）设椭圆的焦距为，由题意得，，

解得，，所以.

所以椭圆的方程为.

（2）方法一：

因为，

所以，

所以点为的