高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案文档格式.docx
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（4）函数f（x）为R上的奇函数，且f（x＋2）＝f（x），则f（2018）＝2018.（ ）
答案
（1）×
（2）√ （3）×
（4）×
2．[2017·
北京高考]已知函数f（x）＝3x－x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
答案 A
解析 ∵函数f（x）的定义域为R，
f（－x）＝3－x－－x＝x－3x＝－f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
∵函数y＝x在R上是减函数，
∴函数y＝－x在R上是增函数．
又∵y＝3x在R上是增函数，
∴函数f（x）＝3x－x在R上是增函数．故选A.
3．[课本改编]如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）
A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）
C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）
答案 B
解析 设g（x）＝xf（x）．因为f（－x）＝－f（x），所以g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x），
所以g（－x）＝g（x），所以B正确．
4．[课本改编]若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
答案 0
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1为偶函数，所以二次函数的对称轴－＝0，易得b＝0.
5．[2016·
四川高考]若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<
x<
1时，f（x）＝4x，则f＋f
（2）＝________.
答案 －2
解析 ∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，又∵f（x）的周期为2，∴f
（2）＝0，
又∵f＝f＝－f＝－4＝－2，
∴f＋f
（2）＝－2.
6．[2018·
沈阳模拟]已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f
（2）＝0.若f（x－1）>
0，则x的取值范围是________．
答案 （－1,3）
解析 ∵f
（2）＝0，f（x－1）>
0，
∴f（x－1）>
f
（2），又∵f（x）是偶函数，
∴f（|x－1|）>
f
（2），又f（x）在[0，＋∞）上单调递减，∴|x－1|<
2，∴－2<
x－1<
2，
∴－1<
3，∴x∈（－1,3）．
板块二 典例探究·
考向突破
考向 函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；
（2）f（x）＝log2（x＋）；
（3）f（x）＝
解
（1）由于f（x）＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f（x）是非奇非偶函数．
（2）定义域是R，关于原点对称，
且f（－x）＝log2（－x＋）
＝log2＝－log2（x＋）
＝－f（x），故f（x）是奇函数．
（3）易知函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，又当x>
0时，f（x）＝x2＋x，则当x<
0时，－x>
0，故f（－x）＝x2－x＝f（x）；
当x<
0时，f（x）＝x2－x，则当x>
0时，－x<
0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x），故原函数是偶函数．
触类旁通
判断函数奇偶性的必备条件
（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立．
【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝＋；
（2）f（x）＝.
解
（1）定义域为{x|x＝±
1}，化简得f（x）＝0，
故f（x）既是奇函数又是偶函数．
（2）∵－2≤x≤2且x≠0，∴f（x）＝，又f（－x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数．
考向 函数奇偶性的应用
命题角度1 利用奇偶性求函数值
例 2 已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，则f
（2）等于（ ）
A．－26B．－18
C．－10D．10
解析 解法一：
令g（x）＝x5＋ax3＋bx，易知g（x）是R上的奇函数，从而g（－2）＝－g
（2），又f（x）＝g（x）－8，
∴f（－2）＝g（－2）－8＝10，∴g（－2）＝18，
∴g
（2）＝－g（－2）＝－18.
∴f
（2）＝g
（2）－8＝－18－8＝－26.
解法二：
由已知条件，得
①＋②得f
（2）＋f（－2）＝－16.又f（－2）＝10，
∴f
（2）＝－26.
命题角度2 利用奇偶性求参数值
例 3 [2015·
全国卷Ⅰ]若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.
答案 1
由题意得f（x）＝xln（x＋）＝f（－x）＝－xln（－x），所以＋x＝，解得a＝1.
由f（x）为偶函数有ln（x＋）为奇函数，令g（x）＝ln（x＋），有g（－x）＝－g（x），以下同解法一．
命题角度3 利用奇偶性求解析式
例 4 f（x）为R上的奇函数，当x>
0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，求f（x）的解析式．
解 当x<
0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f（x）是奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以当x<
0时，f（x）＝2x2＋3x－1.
因为f（x）为R上的奇函数，故f（0）＝0.
综上可得f（x）的解析式为
f（x）＝
命题角度4 利用奇偶性的图象特征解不等式
例 5 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，若f（2－a2）>
f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
B．（－1,2）
C．（－2,1）
D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
答案 C
解析 ∵f（x）是奇函数，
∴当x<
0时，f（x）＝－x2＋2x.作出函数f（x）的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f（x）是R上的增函数，由f（2－a2）>
f（a），得2－a2>
a，解得－2<
a<
1.
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
（1）求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式．
（3）求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f（x）±
f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值．
（4）画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
考向 函数奇偶性与周期性的综合问题
例 6
（1）[2017·
山东高考]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）．若当x∈[－3,0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.
答案 6
解析 ∵f（x＋4）＝f（x－2），
∴f（（x＋2）＋4）＝f（（x＋2）－2），即f（x＋6）＝f（x），
∴f（x）是周期为6的周期函数，
∴f（919）＝f（153×
6＋1）＝f
（1）．
又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f
（1）＝f（－1）＝6，即f（919）＝6.
（2）奇函数f（x）满足f（x－2）＝－f（x），且当x∈[0,2]时，f（x）＝2x－x2，则f（2018）＋f（2019）＋f（2020）的值为________．
答案 －1
解析 函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0，由f（x）＝2x－x2，x∈[0,2]知f
（1）＝1，f
（2）＝0，又f（x）的周期为4，所以f（2018）＋f（2019）＋f（2020）＝f
（2）＋f（3）＋f（0）＝f（3）＝f（－1）＝－f
（1）＝－1.
奇偶性与周期性综合问题的解题策略
函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
【变式训练2】 已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x＋2）＝－，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（105.5）＝_______.
答案 2.5
解析 由已知，可得f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]
＝－＝－＝f（x），故函数f（x）的周期为4.
∴f（105.5）＝f（4×
27－2.5）＝f（－2.5）＝f（2.5）．
∵2≤2.5≤3，由题意，得f（2.5）＝2.5.∴f（105.5）＝2.5.
核心规律
1.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．
2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：
f（－x）＝±
f（x）⇔f（－x）∓f（x）＝0⇔＝±
1（f（x）≠0）．
满分策略
1.函数具有奇偶性的一个必要条件是函数定义域关于原点对称，因此判断函数的奇偶性不可忽视函数定义域．
2.函数f（x）是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f（－x）＝－f（x），而不能说存在x0，使f（－x0）＝－f（x0）．同样偶函数也是如此．
3.判断分段函数奇偶性时，要以整体观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇（偶）函数，而否定函数在整个定义域上的奇偶性.
板块三 启智培优·
破译高考
题型技法系列3——利用函数的奇偶性解抽象不等式
[2016·
天津高考]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足f（2|a－1|）>
f（－），则a的取值范围是________．
解题视点 由已知可得出f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－）＝f（），利用单调性将f（2|a－1|）>
f（）转化为2|a－1|<
，解该不等式即可．
解析 ∵f（x）是偶函数且在（－∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－）＝f（），
∴原不等式可化为f（2|a－1|）>
f（）．
故有2|a－1|<
，即|a－1|<
，解得<
.
答案
答题启示 解与函数有关的不等式问题，常利用奇函数在对称单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称单调区间上有相反的单调性，利用题目已知条件，转化为不等式问题来求解，而解有关抽象函数不等式问题，也是充分利用函数的奇偶性和单调性求解.
跟踪训练
[2018·
贵阳适应性监测]若f（x）是奇函数，且当x>
0时，f（x）＝x3－8，则{x|f（x－2）>
0}＝（ ）
A．{x|－2<
0或x>
2}
B．{x|0<
2或x>
4}
C．{x|x<
0或2<
D．{x|x<
－2或x>
解析 当x＝2时，有f
（2）＝0，又因为f（x）为奇函数，所以f（－2）＝0，作出f（x）的大致图象，由图象可知，当－2<
x－2<
0或x－2>
2，即0<
4时，有f（x－2）>
0.故选B.
板块四 模拟演练·
提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·
合肥质检]下列函数中，既是偶函数，又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝x3B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|
解析 因为y＝x3是奇函数，y＝|x|＋1，y＝－x2＋1，y＝2－|x|均为偶函数，所以A错误；
又因为y＝－x2＋1，y＝2－|x|＝|x|在（0，＋∞）上均为减函数，只有y＝|x|＋1在（0，＋∞）上为增函数，所以C，D两项错误，只有B正确．
2．[2018·
南宁模拟]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）g（x）是偶函数B．f（x）|g（x）|是奇函数
C．|f（x）|g（x）是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数
解析 f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，故f（x）g（x）为奇函数，f（x）|g（x）|为奇函数，|f（x）|g（x）为偶函数，|f（x）g（x）|为偶函数．故选B.
3．[2017·
齐鲁名校模拟]已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－2）＝（ ）
A．－3B．－
C.D．3
解析 因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f（－2）＝－f
（2）＝－（22－1）＝－3.
4．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，则满足不等式f（2x－1）>
f成立的x的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析 因为偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，所以f（x）在区间（－∞，0]上单调递增，若f（2x－1）>
f，则－<
2x－1<
，解得－<
5．已知f（x）为奇函数，当x>
0，f（x）＝x（1＋x），那么x<
0，f（x）等于（ ）
A．－x（1－x）B．x（1－x）
C．－x（1＋x）D．x（1＋x）
解析 当x<
0时，则－x>
0，∴f（－x）＝（－x）（1－x）．又f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝x（1－x）．
贵阳模拟]已知函数f（x）＝x3＋sinx＋1（x∈R），若f（a）＝2，则f（－a）的值为（ ）
A．3B．0
C．－1D．－2
解析 设F（x）＝f（x）－1＝x3＋sinx，显然F（x）为奇函数，又F（a）＝f（a）－1＝1，所以F（－a）＝f（－a）－1＝－1，从而f（－a）＝0.故选B.
7．[2018·
德州模拟]设偶函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f
（1）＝0，则不等式>
0的解集为（ ）
A．（－1,0）∪（1，＋∞）B．（－∞，－1）∪（0,1）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1,0）∪（0,1）
解析 由>
0，可得>
0，即>
0时，f（x）<
0，即f（x）<
f（－1），解得－1<
0；
当x>
0时，f（x）>
0，即f（x）>
f
（1），解得x>
故不等式>
0的解集为（－1,0）∪（1，＋∞）．
8．[2017·
全国卷Ⅱ]已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f
（2）＝________.
答案 12
解析 令x>
0，则－x<
0.
∴f（－x）＝－2x3＋x2.
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）．
∴f（x）＝2x3－x2（x>
0）．
∴f
（2）＝2×
23－22＝12.
f
（2）＝－f（－2）＝－[2×
（－2）3＋（－2）2]＝12.
9．[2017·
豫东十校联考]若f（x）＝＋a是奇函数，则a＝________.
解析 依题意得f
（1）＋f（－1）＝0，由此得＋a＋＋a＝0，解得a＝.
10．[2018·
衡水模拟]已知y＝f（x）＋x2是奇函数，且f
（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.
解析 ∵y＝f（x）＋x2是奇函数，且f
（1）＝1，
∴f（－1）＋（－1）2＝－[f
（1）＋12]，∴f（－1）＝－3.
因此g（－1）＝f（－1）＋2＝－1.
[B级 知能提升]
金版创新]已知函数f（x）是定义在R上的函数，若函数f（x＋2016）为偶函数，且f（x）对任意x1，x2∈[2016，＋∞）（x1≠x2），都有<
0，则（ ）
A．f（2019）<
f（2014）<
f（2017）
B．f（2017）<
f（2019）
C．f（2014）<
f（2017）<
D．f（2019）<
f（2014）
解析 因为f（x）对任意x1，x2∈[2016，＋∞）（x1≠x2），都有<
0，所以f（x）在[2016，＋∞）上单调递减，所以f（2017）>
f（2018）>
f（2019）．又因为f（x＋2016）为偶函数，所以f（－x＋2016）＝f（x＋2016），所以f（－2＋2016）＝f（2＋2016），即f（2014）＝f（2018），所以f（2017）>
f（2014）>
f（2019）．故选A.
2．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ex，则g（x）＝（ ）
A．ex－e－xB.（ex＋e－x）
C.（e－x－ex）D.（ex－e－x）
答案 D
解析 由f（x）＋g（x）＝ex，可得f（－x）＋g（－x）＝e－x.又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，可得f（x）－g（x）＝e－x，则两式相减，可得g（x）＝.选D.
3．[2018·
苏州模拟]定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋2）·
f（x）＝1对于x∈R恒成立，且f（x）>
0，则f（119）＝________.
解析 ∵f（x＋2）＝，∴f（x＋4）＝f（x），∴周期T＝4，f（119）＝f（3）．令x＝－1，f
（1）f（－1）＝1，
∴f
（1）＝1，f（3）＝＝1.
4．已知奇函数f（x）的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f（1－m）＋f（1－m2）<
0的实数m的取值范围．
解 ∵f（x）的定义域为[－2,2]，
∴解得－1≤m≤.①
又f（x）为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴f（x）在[－2,2]上递减，
∴f（1－m）<
－f（1－m2）＝f（m2－1）
⇒1－m>
m2－1，解得－2<
m<
1.②
综合①②可知－1≤m＜1.
即实数m的取值范围是[－1,1）．
5．[2018·
大同检测]函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f（x1·
x2）＝f（x1）＋f（x2）．
（1）求f
（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）＝1，f（x－1）<
2，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．
解
（1）∵对于任意x1，x2∈D，
有f（x1·
x2）＝f（x1）＋f（x2），
∴令x1＝x2＝1，得f
（1）＝2f
（1），∴f
（1）＝0.
（2）f（x）为偶函数．
证明：
令x1＝x2＝－1，有f
（1）＝f（－1）＋f（－1），
∴f（－1）＝f
（1）＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f（－x）＝f（－1）＋f（x），
∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数．
（3）依题设有f（4×
4）＝f（4）＋f（4）＝2，
由
（2）知，f（x）是偶函数，
∴f（x－1）<
2⇔f（|x－1|）<
f（16）．
又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
∴0<
|x－1|<
16，解之得－15<
17且x≠1.
∴x的取值范围是（－15,1）∪（1,17）．
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