最新北京市西城区重点中学+初三数学+人教版九年级上册+第24章+《圆》教材分析+教学建议+补充习题名师优秀教文档格式.docx
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半圆:
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆
优弧:
大于半圆的弧叫做优弧:
如ABC
劣弧:
小于半圆的弧叫做劣弧:
如AC
(3)等圆:
能够重合的两个圆叫做等圆
即:
半径相等的圆是等圆;
同圆或等圆的半径相等
(4)等弧:
在同圆或等圆,能够互相重合的弧叫做等弧(
(5)同心圆:
圆心相同,半径不相等的圆叫做同心圆
(二)补充习题
1(连云港市2016年)如图,在网格(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)。
如果以为圆心,为半径画圆,选取的格点除点外恰好有3个在圆内,则的AArr取值范围为
A(22,r,17B(C(D(17,r,3217,r,55,r,29
A
二垂径定理及推论
1(垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧(
2垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧(常用基本图形:
OO
(二)补充练习
1(根据条件求解:
O
(1)已知?
O半径为5,弦长为6,求弦心距和弓形高C
(2)已知?
O半径为4,弦心距为3,求弦长和弓形高BA(3)已知?
O半径为5,劣弧所对的弓形高为2,求弦长和弦心距D(4)已知?
O弦长为2,弦心距为,求?
O半径及弓形高22
(5)已知?
O弦长为8,劣弧所对的弓形高为2,求?
O半径及弦心距(6)已知?
O弦心距为3,劣弧所对的弓形高为2,求?
O半径及弦长
2如图,?
O的直径AB与弦CD相交于点E,
若AE=5,BE=1,,求?
AEDCD,42
3若?
O,半径OA平分弦BC,则可能的情况是(画出草图)
OOOO
BAC
AAA
备用图备用图
4(2016海淀一模)如图,AB为?
O的弦,OC?
AB于点C(若AB=8,OC=3,则?
O的半径长为________(
5(2016年通州一模)如图,在5×
5正方形网格,一条圆弧经过A,B,C三点,
已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),BA
那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是C
A((0,0)B((-1,1)C((-1,0)D((-1,-1)
4(2016年•长沙)如图,在?
O,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则?
O的半径长为_____________
5(2016年•江苏省宿迁市)如图,在?
ABC,已知?
ACB=130?
,?
BAC=20?
,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为(
AB
C
6(2016年福建福州)如图所示的两段弧,位于上方的弧半径为r,下方的弧半径为r,则r,上下上r((填“,“,”“,”“,”)下
7(年江苏省无锡市)如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径画?
A与OA2016
的延长线交于点C,过点A画OA的垂线,垂线与?
A的一个交点为B,连接BC
(1)线段BC的长等于;
(2)请在图按下列要求逐一操作,并回答问题:
?
以点A为圆心,以线段BC的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使
线段OD的长等于
连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由(
连接CD,过点A作AP?
CD交OD于点P,P点即是所要找的点(
依此画出图形(
三(圆心角、弧、弦之间相等关系的定理、圆周角定理及推论
1(弧、弦、圆心角关系定理:
在同圆或等圆,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等(2(推论:
在同圆或等圆,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等(在同圆或等圆,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等(即:
同圆或等圆,两个圆心角、两条弧、两条弦有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等(4(圆周角定理:
在同圆或等圆,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半(5(圆周角定理推论1:
在同圆或等圆,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等(6(圆周角定理推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?
的圆周角所对的弦是直径(7(圆周角定理推论3:
如果三角形一条边上的线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形(8(圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补(
常用基本图形:
O
AB1(2016年长春市)如图,在?
O,AB是弦,C是上一点若?
OAB=25?
?
OCA=40?
,则?
BOC
的大小为30度(
2(年山东省烟台市)如图,Rt?
ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线2016
的一端重合,?
ABC=40?
,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将?
ABC分割出以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是(D)
A(40?
B(70?
C(70?
或80?
D(80?
或140?
3(2016北京)如图所示,用量角器度量?
AOB,可以读出?
AOB的度数为B
(A)45?
(B)55?
(C)125?
(D)135?
4(年四川省达州市)如图,半径为3的?
A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧?
A优2016
弧上一点,则tan?
OBC为(C)
A(B(2C(D(
5(2016年湖北宜昌)已知M,N,P,Q四点的位置如图所示,下列结论,正确的是()(
,A(B(,,NOP132,,NOQ42
,PON,MOPC(比大D(与互补,MOQ,MOQ
6(2016年湖北黄冈)如图,?
O是?
ABC的外接圆,?
AOB=70?
,AB,AC,则?
ABC,______35?
_________
7(湖北省咸宁市2016年)如图,点E是?
ABC的内心,AE的延长线和?
ABC的外接圆相交于点D,连接BD、BE、CE,若?
CBD=32?
BEC的度数为__122?
7(2016西城一模)在数学实践活动课,小辉利用自己制作的一把“直角角
OOA,,:
AOB90尺”测量、计算一些圆的直径(如图,直角角尺,,将点放在圆周上,分别确定,OBCOC,8OD,9与圆的交点,,读得数据,,则此圆的直径约为()D
A(17B(14C(12D(10
8(年山东省滨州市)如图,AB是?
O的直径,C,D是?
O上的点,且OC?
BD,AD分别与2016
BC,OC相交于点E,F,则下列结论:
AD?
BD;
AOC=?
AEC;
CB平分?
ABD;
AF=DF;
BD=2OF;
CEF?
BED,其一定成立的是(D)
A(?
B(?
C(?
D(?
9(湖北省咸宁市2016年)如图,边长为4的正方形ABCD内接于?
O,点E是AB上的一动点(不与A、B重合),点F是BC上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且?
EOF=90?
,有下列结论:
AE=BF;
?
OGH是等腰直角三角形;
四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;
GBH周长的最小值为,,2
其正确的是___:
_______
(把你认为正确结论的序号都填上)
四(点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系(切线的判定定理、性质定理、切线长定理)
(一)知识点
1(设?
O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,
点P在圆外d>
r;
点P在圆上d=r;
点P在圆内d<
r,,,
2(经过三角形的三个顶点可以做一个圆,并且只能画一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆(
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心(
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等3(设?
O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,则
lll(c)(a)(b)
(1)直线L和?
O相交d,r,如图(a)所示;
(2)直线L和?
O相切d,r,如图(b)所示;
(3)直线L和?
O相离d,r,如图(c)所示(,
4(切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线5(切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径
6(切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
7(内切圆:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
内心:
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心
A
FOOO
CBE第16题图
(二)补充练习
(年四川省攀枝花市)如图,?
ABC,?
C=90?
,AC=3,AB=5,D为BC边的点,以AD上一12016
点O为圆心的?
O和AB、BC均相切,则?
O的半径为(
BCO
2(株洲市2016年)?
ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F,?
A=75?
B=45?
,
则圆心角?
EOF=120度
3O的直径,AC切?
O于A,BC交?
O于点D,若?
C=70?
,年江苏省无锡市)如图,AB是?
2016(
则?
AOD的度数为(D)
A(70?
B(35?
C(20?
D(40?
4(山东省泰安市2016年)如图,半径为3的?
O与Rt?
AOB的斜边AB切于点D,交OB于点C,连接CD交直线OA于点E,若?
B=30?
,则线段AE的长为(5(2016年南充市)如图,在RtΔABC,?
ACB=90?
BAC的角平分线交BC于点O,OC=1,以点O为圆心OC为半径作圆
(1)求证:
AB为?
O的切线;
31
(2)如果tan?
CAO=,求cosB的值()53
6年浙江省衢州市)如图,AB为?
O的直径,弦CD?
AB,垂足2016(
为点P,直线BF与AD的延长线交于点F,且?
AFB=?
ABC(
(1)求证:
直线BF是?
O的切线(
(2)若CD=2,OP=1,求线段BF的长(
7(宁波市2016年)如图,已知?
O的直径AB=10,弦AC=6,?
BAC的平分
线交?
O于点D,过点D作DE?
AC交AC的延长线于点E(
DE是?
(2)求DE的长((4)
(年四川省达州市)如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过82016
点O作OD?
AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F(
AE•BC=AD•AB;
(2)若半圆O的直径为10,sin?
BAC=,求AF的长(()9(扬州市2016年)如图1,以?
ABC的边AB为直径的?
O交边BC于点E,过点E作?
O的切线交AC于点D,且ED?
AC
(1)试判断?
ABC的形状,并说明理由;
(等腰三角形)CCD
(2)如图2,若线段AB、DE的延长线交于点F,?
C=75?
,DEE4F23-3-2CD=,求?
O的半径和BF的长(半径=2,BF=)ABOAB3O
图1图2A10,2016年临沂市,如图,A、P、B、C是圆上的四个点,
P?
APC=?
CPB=60?
,AP、CB的延长线相交于点D
ABC是等边三角形;
3
(2)若?
PAC=90?
,AB=2,求PD的长(4)DCB
11年山东省烟台市)如图,?
ABC内接于?
O,AC为?
O的直径,PB2016(
是?
O的切线,B为切点,OP?
BC,垂足为E,交?
O于D,连接BD(
(1)求证:
BD平分?
PBC;
(2)若?
O的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长(
(OE=,AB=2OE=)
12(2016年房山一模)如图,AB为?
O的直径,点C在?
O上,且?
CAB=30?
,点D为弧ABE43的点,AC=求CD的长CD
BAPO
13(2016年门头沟一模)如图,AB为?
O的直径,?
O过AC的点D,DE为?
DE?
BC;
DDAA1CC
(2)如果DE=2,tanC=,求?
O的直径(2OOEEBB
14(2016年丰台一模)如图,在?
ABC,AB=AC,以AB为直径的?
O分别交AC,BC于点D,
E,过点B作?
O的切线,交AC的延长线于点F(
1
(1)求证:
,CBF,,CAB;
2
1tan,CBF,
(2)连接BD,AE交于点H,若AB=5,,2
求BH的长(
15(2016年朝阳一模)如图,点D在?
O上,过点D的切线交直径AB延长线于点P,DC?
AB
于点C(D
(1)求证:
DB平分?
PDC;
3APBOC
(2)若DC=6,tan,,P,求BC的长(4
16((2016石景山一模)如图,在?
ABC,AB=AC,以AC为直径作?
O交BC于点D,过点D作?
O的切线,交AB于点E,交CA的延长线于点F(
C1)求证:
EF?
AB;
(
DO
(2)若?
C=30?
,,求EB的长(EF,6
BAE
17(2016年通州一模)如图,已知AB是?
O的直径,点P在BA的延FC
长线上,PD切?
O于点D,过点B作BE?
PD,交PD的延长线
于点C,连接AD并延长,交BE于点E(ABO
(1)求证:
AB=BE;
60:
23
(2)连结OC,如果PD=,?
ABC=,求OC的长(
D
18((2016年通州一模)如图,已知AB是?
O的直径,点P在BA的延长线上,PD切?
O于点D,
过点B作BE?
PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E(E
C
(1)求证:
D
(2)连结OC,如果PD=,?
ABC=,求OC的长(23BAPO
OCAB,19(2016年怀柔一模)如图,在?
O,AB为直径,,弦CF与OB交于点E,过点F,A分别作?
O的切线交于点H,且HF与AB的延长线交于点D(HDF
B
(1)求证:
DF=DE;
E1
(2)若tan?
OCE,,?
O的半径为4,求AH的长(O2
CA(七)正多边形和圆
知识点
1、多边形的心:
一个正多边形的外接圆的圆心(
2、正多边形的半径:
外接圆的半径(
3、正多边形的心角:
正多边形每一边所对的圆心角(
4、正多边形的边心距:
心到正多边形的一边的距离(
OOO
例1正六边形的边长a,半径R,边心距r的比a?
R?
r=_______(
eO例2(2016年西城一模)已知,如图所示(
eO
(1)求作的内接正方形(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
eO
(2)若的半径为4,则它的内接正方形的边长为_______________(例3(2016年四川省巴市)如图,将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)(则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为18(
AF
BE
CD
第14题图
例4(株洲市2016年)如图正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O,则劣弧AB的长度为π
(八)弧长与扇形面积、圆锥的侧面展开图
1圆周长:
C,2R。
nRo2弧长:
。
注意:
n不带单位,且n表示1的倍数。
l180
n123扇形面积:
。
SR,,lR扇形3602
4圆锥侧面积S,rL,25计算圆锥全面积的计算方法S=rL,r(,
例题与练习
1.(2016年长沙)如图,在?
2.(年湖南省常德市)如图,?
ABC是?
O的内接正三角形,?
O2016
的半径为3,则图阴影部分的面积是3π(
3.如图,AB为?
O上,若?
OCA=50?
,AB=4,则BC的长为(B)
10105,,,(A)(B)(C)(D)3995,18
4年山东省滨州市)如图,?
ABC是等边三角形,AB=2,分别以A,B,C2016(
为圆心,以2为半径作弧,则图阴影部分的面积是2π,3(
(年四川省广安市)如图,AB是圆O的直径,弦CD?
AB,?
BCD=30?
,CD=4,52016
则S=()阴影
A(2πB(πC(πD(π
6(乐山市2016年)如图,在RtABC,,,,以点C为圆心,CB的长为AC,23,,ACB90
0半径画弧,与边交于点,将绕点旋转后点与点恰好重合,则图阴影部分的面ABDDBA180BD
2,积为___;
233
AO
BC图2BC图8
7(四川省内江市2016年)如图,点A,B,C在?
BAC,45?
,OB,2,则图阴影部分的面积为(C)
22A(π,4B(π,1C(π,2D(π,233
8((年山东省德州市)如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的点2016
M与圆心O重合,则图阴影部分的面积是,(
(年江苏省泰州市)如图,?
O的半径为2,点A、C在?
O上,线段BD经过圆心O,92016
ABD=?
CDB=90?
,AB=1,CD=,则图阴影部分的面积为π(
10(山东省泰安市2016年)如图,是一圆锥的左视图,根据图所标数据,圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(B)
A(90?
B(120?
C(135?
D(150?
A
CB
BCADO
BOACD
年山东省烟台市)如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,?
BOC=60?
,11(2016
BCO=90?
,将?
BOC绕圆心O逆时针旋转至?
B′OC′,点C′在OA上,则边BC扫过区域(图
2阴影部分)的面积为πcm(
2312(2016年枣庄市)如图,AB是?
CDB,30?
,CD,,则阴影部分的面积为D
π2πA(2πB(πCD33
ABCDACOOA,AC,213(2016年湖北黄石)如图所示,正方形对角线所在直线上有一点,,
O60:
2,,2将正方形绕点顺时针旋转,在旋转过程,正方形扫过的面积是__________A
14(2016年荆门)如图,从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90?
的扇形ABC,使点A,B,C在圆周上(将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是()
6cmC(3cmD(23cmA(12cmB(2
七专题举例
(九)与圆有关的作图
1请用尺规将已知弧二等分
BA
2在圆内做一个正方形,使这个
正方形的四个顶点都在圆上
3有一个未知圆心的圆形工件(如图)现只允许用一块直角三角板(注:
不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的直径并定出圆心要求在图上保留画图痕迹,写出画法
4过已知圆上一点做圆的切线
5过已知圆外一点做圆的切线
OOA
AA
6尺规作图:
做出图三角形的内切圆
CB
(年江苏省无锡市)如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径画?
A与OA的延长线交于点C,72016
过点A画OA的垂线,垂线与?
A的一个交点为B,连接BC
(1)线段BC的长等于;
以点A为圆心,以线段BC的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于?
(十)与圆有关的最值
例1已知:
如图,圆心A(5,0),?
A的半径为2,与x轴交于点C、D
(1)若点B为?
A上的一个动点,则线段OB的最大值为______(
(2)若点P为y轴上的一个动点,过P作?
A的切线,切点为E,则PE的最小值为______(
例2、(2016年河北)如图,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其P点在AQ(弧)上且不与A点重合,但Q