第一讲 集合Word格式文档下载.docx
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空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.在解答某些关于集合A是集合B的子集这类问题时，往往因为忽视空集的重要性而造成解题失误.
例3已知集合A={x|x2+（p+2）x+1=0，x∈R}且A∩R+=Φ，则实数p的集合是（）.
A.{p｜p≥-2} B.{p｜p≥0}
C.{p｜-4<
p<
0} D.{p｜p>
-4}
（1）A≠Φ时，A∩R+=Φ表示方程x2+（p+2）x+1=0有实数解，且为非正实数.
根据判别式和韦达定理，得到
{△=（p+2）2-4≥0，p+2≥0.
∴p≥0.
（2）A=Φ时，显然A∩R＋=Φ，它表示方程没有实数解.
∴△=（p+2）2-4<
0.
∴-4<
综上得到{p>
-4}，应选D.
例4设集合A={x｜x2-3x+2=O}，集合B={x｜x2-ax+2=0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合.
易知A={1，2}，
由A∪B=A，有B
A.
（1）若B=A，显然a=3.
（2）若B
A，则分两种情况讨论.
①B中只含一个元素1或2.
由△=a2-8=0，得a=±
2
；
当a=±
时，x=
或x=-
但B={
}或B={-
}都不符合B
A，应该舍去.
②B=Φ，此时方程x2-x+2=0没有实数根，
由△=a2-8<
0，得-2
<
a<
2
综上知，若A∪B=A，则由a值组成的集合是：
{a｜-2
}∪{a｜a=3}
3.在研究两个集合的关系时，“集合相等”至关重要
例5集合P，Q，M满足P∩Q=P，Q∩M=Q，则集合P，M的关系为（）.
A.P
M B.P
M C.P
M D.P
M
（1）当集合P，Q，M不相等时，
如图
（1）所示：
有P
M.
（2）当集合P=Q=M时，如图
（2）所示：
所以得到P=M.
综上所述，∴P
M.应当选C.
例6已知集合M，N及全集U，则M
N是M∩CUN=Φ的（）.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
如图
可知M
N是M∩CUN=Φ的充分条件.
M∩CUN=Φ时则有M
N或M=N两种可能.
∴M
N是M∩CUN=Φ的充分非必要条件. ∴应选A.
4.弄懂集合语言的含义。
是避免产生常见错误的关键
集合问题中的数学语言，其常见形式主要有三种：
一是文字语言，二是符号语言，三是图形语言.三种语言虽然形式不同，但它们对于同一个数学对象本质属性的描述是一致的，因此它们之间可以互相转换.
下面主要介绍用已知集合的交、并、补集，表示文氏图中的指定集合.
例7设U为全集，P，Q是U的子集，试用P，Q的交、并、补集符号表示图（4）和图（5）中阴影部分.
（1）在图（4）中，由给定的图形符号知，阴影部分在集合P外，则应与P补有关;
它又在集合Q内，则应与集合Q有关.
∴阴影部分应该用CUP与Q表示，
用符号语言应表示为（CUP）∩Q
（2）在图（5）中，由给定的图形符号知：
右边部分可表示为（CUP）∩Q左边部分可表示为P∩CUQ.
∴阴影部分应该用并集表示成
（CUP）∩Q∪（P∩CUQ）.
例8设I是全集，P，M，N是它的子集，试用P，M，N的交、并、补集符号表示图（6）和图（7）中的阴影部分的集合.
（1）在图（6）中，阴影部分在集合P，N之外，且在集合M之内，所以可用集合CI（P∪N）与集合M表示成：
M∩CI（P∪N）
（2）在图（7）中，阴影部分在P∩M之内，且在N之外，所以可用P∩M与CIN表示成：
（P∩M）∩CIN
5.注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个根本不同的概念
例9分别写出下列简单命题┐p的复合命题：
（1）命题p：
方程2x-1=3-2x的解是x=2
（2）命题p：
不等式x-2<
O的解集是x<
O
（3）命题p：
是无理数
（4）命题p：
三角形的外角大于它不相邻的任何一个内角
（5）命题p：
菱形的对角线相等
（1）┐p：
方程2x-1=3-2x的解不是x=1；
（2）┐p：
不等式的x-2<
O的解集是x≥O；
（3）┐p：
不是无理数；
（4）┐p：
三角形的外角不大于（小于等于）与它不相邻的任何—个内角；
（5）┐p:
菱形的对角线不一定相等.
例10写出下列命题的否定及否命题：
（1）原命题：
面积相等的三角形是全等三角形；
（2）原命题：
方程2x2-3x+1=0的根是x=1或x=
（1）命题的否定：
面积相等的三角形不一定是全等三角形；
否命题：
面积不相等的三角形不是全等三角形.
（2）命题的否定：
方程2x2-3x+1=0的根，不是x=1，且不是x=
若方程不是2x2-3x+l=0，则它的根不是x=1，且不是x=
为求解方便应将原命题写成“若p则q”的形式
设：
p表示原命题，则┐p就叫做命题的否定；
如果原命题是“若p则q”，则命题的否定为：
（1）p：
集合中某些元素是s，则┐p：
集合中某些元素不是s；
（2）p：
集合中所有元素是s，则┐p：
集合中所有元素不一定是s.
如果原命题是“若p则q”，则“若┐p则┐q”就叫做原命题的否命题.
6.真正认清命题中的条件与结论的逻辑关系
例11分别指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
a>
0，b>
O；
q：
a2+b2>
b；
｜a｜>
（3）p：
O<
x<
4；
｜x-2｜<
2；
（4）p：
c=O；
抛物线ax2+bx+c过原点；
（5）p：
两三角形相似；
q：
两三角形全等.
（1）p：
0，b>
q:
O，
∴p是q的充分不必要条件.
b
｜a｜>
b，
∴p既不是q的充分条件，也不是必要条件.
0<
4
｜x-2｜<
2，
∴p是q的充要条件.
c=0
q:
抛物线y=ax2+bx+c过原点，
两三角形相似
两三角形全等，
∴p是q的必要不充分条件.
例12已知p，q是两个命题，且p是q的充分条件，则
（1）q是p的_____条件
（2）┐q是┐p的_____条件
（3）┐p是┐q的_____条件
（1）必要条件；
（2）充分条件；
（3）必要条件.
例13设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，则（）.
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件.
C.丙是甲的充要条件.
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件.
由已知条件可得：
甲
乙
丙
∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
∴应选A.
第二讲具体函数与抽象函数相结合是学好“函数”的有效手段
1.以指数函数为背景
我们把学习过的函数，如指数函数y=ax（a>
0，且a≠1），对数函数y=logax（a>
0，且a≠1，x>
0），用抽象的函数符号和语言进行表述，并在此基础上对函数的图象、性质进行证明和研究，是掌握函数方法、函数思想极其有效的方法.
1.以指数函数为背景
例1设函数y=f（x）定义在实数集R上，当x>
0时，f（x）>
1，且对任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）·
f（n）.
（1）证明f（x）在R上，恒有f（x）>
（2）证明f（x）在R上是增函数.
证明
（1）f（x）在R上，恒有f（x）>
设n>
0，m=0，则f（x）>
1，
∴f（0+n）=f（0）·
f（n），
即f（n）=f（0）·
又f（n）>
∵f（0）=1，设x<
0，
则-x>
0，从而f（-x）>
∵f（0）=f（x-x）
=f（x）·
f（-x）
=1,
∴f（x）=1f（-x）>
∴不论x为任意实数，都有f（x）>
证明
（2）f（x）在R上是增函数
设x1<
x2，可表示成x2=x1+t（t>
0）.
由t>
0，有f（t）>
∴f（x2）=f（x1+t）
=f（x1）·
f（t）>
f（x1）；
∴f（x）在R上是增函数.
例2
（1）下列函数中，具有性质f（x+y）=f（x）·
f（y）（x，y∈R）的是（）.
A.f（x）=x2 B.f（x）=2x
C.f（x）=2x D.f（x）=-x+1
（2）设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于（）.
A.直线y=0对称 B.直线x=0对称
C.直线y=1对称 D.直线x=1对称
解
（1）：
由f（x+y）=f（x）·
f（y）（x，y∈R）知，取f（x）=2x满足题设要求.
而f（x）=x2，f（x）=2x，f（x）=-x+1不符合要求.
∴应选B.
解
（2）：
可选取f（x）=2x（x∈R），符合题设要求.
∵y=f（x-1）=2x-1，y=f（1-x）=21-x=（
）x-1，
而曲线y=2x-1是由曲线y=2x向右平移1个单位得到的，曲线y=（
）x-1是由曲线y=（
）x向右平移1个单位得到的.
∴它们应关于直线x=1对称，
∴应选D.
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