1、空集是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集 .在解答某些关于集合 A是集合 B的子集这类问题时,往往因为忽视空集的重要性而造成解题失误 .例 3 已知集合 A=x|x2+(p+2)x+1=0, x R且 A R+= ,则实数 p的集合是 ( ).A.p p -2 B.p p 0C.p -4p-4 (1)A时, A R+=表示方程 x2+(p+2)x+1=0有实数解,且为非正实数 .根据判别式和韦达定理,得到 =(p+2)2-4 0, p+2 0. p 0.(2)A= 时,显然 A R= ,它表示方程没有实数解 . =(p+2)2-40. -4-4,应选 D.例 4 设集合 A=x x
2、2-3x+2=O,集合 B=x x2-ax+2=0,若 A B=A,求实数 a的值所组成的集合 .易知 A=1, 2,由 A B=A,有 B A.(1)若 B=A,显然 a=3.(2)若 BA,则分两种情况讨论 . B中只含一个元素 1或 2.由 =a2-8=0,得 a= 2;当 a=时, x=或 x=-但 B=或 B=-都不符合 B A,应该舍去 . B= ,此时方程 x2-x+2=0没有实数根,由 =a2-80,得 -2 a2 综上知,若 A B=A,则由 a值组成的集合是:a -2 a a=33. 在研究两个集合的关系时,“集合相等”至关重要 例 5 集合 P, Q, M 满足 P Q=
3、P, Q M=Q,则集合 P, M的关系为 ( ).A. P M B.P M C.P M D.P M (1)当集合 P, Q, M不相等时,如图 (1)所示:有 PM.(2)当集合 P=Q=M时,如图 (2)所示:所以得到 P=M.综上所述, P M.应当选 C.例 6 已知集合 M, N及全集 U,则 MN是 M CUN= 的 ( ).A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件如图可知 MN是 MCUN= 的充分条件 .M CUN= 时则有 MN或 M=N两种可能 . MN是 M CUN= 的充分非必要条件 . 应选 A.4. 弄懂集合语言的含义。是避免产生
4、常见错误的关键集合问题中的数学语言,其常见形式主要有三种:一是文字语言,二是符号语言,三是图形语言 .三种语言虽然形式不同,但它们对于同一个数学对象本质属性的描述是一致的,因此它们之间可以互相转换 .下面主要介绍用已知集合的交、并、补集,表示文氏图中的指定集合 .例 7 设 U为全集, P, Q是 U的子集,试用 P, Q的交、并、补集符号表示图 (4)和图 (5)中阴影部分 . (1)在图 (4)中,由给定的图形符号知,阴影部分在集合 P外,则应与 P补有关 ;它又在集合 Q内,则应与集合 Q有关 . 阴影部分应该用 CUP与 Q表示,用符号语言应表示为 (CUP) Q(2)在图 (5)中,
5、由给定的图形符号知:右边部分可表示为 (CUP) Q 左边部分可表示为 P CUQ. 阴影部分应该用并集表示成(CUP) Q (P CUQ).例 8 设 I是全集, P, M, N是它的子集,试用 P, M, N的交、并、补集符号表示图 (6)和图 (7)中的阴影部分的集合 . (1)在图 (6)中,阴影部分在集合 P, N之外,且在集合 M之内,所以可用集合 CI(P N)与集合 M表示成: M CI(P N)(2)在图 (7)中,阴影部分在 P M之内,且在 N之外,所以可用 P M与 CIN表示成: (P M) CIN5. 注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个根本不同的概念 例 9
6、分别写出下列简单命题 p的复合命题:(1)命题 p:方程 2x-1=3-2x的解是 x=2(2)命题 p:不等式 x-2O的解集是 xO(3)命题 p:是无理数(4)命题 p:三角形的外角大于它不相邻的任何一个内角(5)命题 p:菱形的对角线相等 (1) p:方程 2x-1=3-2x的解不是 x=1;(2) p:不等式的 x-20,bO;q:a2+b2b;a(3)p: Ox4;x-2 q:O, p是 q的充分不必要条件 .b a b, p既不是 q的充分条件,也不是必要条件 . 04 x-2 0,且 a 1),对数函数 y=logax(a0,且 a 1, x0),用抽象的函数符号和语言进行表述
7、,并在此基础上对函数的图象、性质进行证明和研究,是掌握函数方法、函数思想极其有效的方法 .1.以指数函数为背景例 1 设函数 y=f(x)定义在实数集 R上,当 x0时, f(x)1,且对任意实数 m, n都有 f(m+n)=f(m) f(n).(1)证明 f(x)在 R上,恒有 f(x)(2)证明 f(x)在 R上是增函数 .证明 (1)f(x)在 R上,恒有 f(x)设 n0, m=0,则 f(x)1, f(0+n)=f(0) f(n),即 f(n)=f(0)又 f(n) f(0)=1,设 x0,从而 f(-x) f(0)=f(x-x)=f(x) f(-x)=1, f(x)= 1 f(-x
8、) 不论 x为任意实数,都有 f(x)证明 (2)f(x)在 R上是增函数设 x10).由 t0,有 f(t) f(x2)=f(x1+t)=f(x1) f(t)f(x1); f(x)在 R上是增函数 .例 2 (1)下列函数中,具有性质 f(x+y)=f(x) f(y)(x, y R)的是 ( ).A.f(x)=x2B. f(x)=2xC.f(x)=2x D.f(x)=-x+1(2)设函数 y=f(x)定义在实数集上,则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于 ( ).A.直线 y=0对称 B.直线 x=0对称C.直线 y=1对称 D.直线 x=1对称解 (1):由 f(x+y)=f(x) f(y)(x, y R)知,取 f(x)=2x满足题设要求 .而 f(x)=x2, f(x)=2x, f(x)=-x+1不符合要求 . 应选 B.解 (2):可选取 f(x)=2x(x R),符合题设要求 . y=f(x-1)=2 x-1, y=f(1-x)=21-x=( )x-1,而曲线 y=2x-1是由曲线 y=2x向右平移 1个单位得到的,曲线 y=( ) x-1是由曲线 y=( ) x向右平移 1个单位得到的 . 它们应关于直线 x=1对称, 应选 D.
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