第一讲 集合Word格式文档下载.docx

1、空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集 .在解答某些关于集合 A是集合 B的子集这类问题时，往往因为忽视空集的重要性而造成解题失误 .例 3 已知集合 A=x|x2+（p+2）x+1=0， x R且 A R+= ，则实数 p的集合是 （ ）.A.p p -2 B.p p 0C.p -4p-4 （1）A时， A R+=表示方程 x2+（p+2）x+1=0有实数解，且为非正实数 .根据判别式和韦达定理，得到 =（p+2）2-4 0， p+2 0. p 0.（2）A= 时，显然 A R= ，它表示方程没有实数解 . =（p+2）2-40. -4-4，应选 D.例 4 设集合 A=x x

2、2-3x+2=O，集合 B=x x2-ax+2=0，若 A B=A，求实数 a的值所组成的集合 .易知 A=1， 2，由 A B=A，有 B A.（1）若 B=A，显然 a=3.（2）若 BA，则分两种情况讨论 . B中只含一个元素 1或 2.由 =a2-8=0，得 a= 2；当 a=时， x=或 x=-但 B=或 B=-都不符合 B A，应该舍去 . B= ，此时方程 x2-x+2=0没有实数根，由 =a2-80，得 -2 a2 综上知，若 A B=A，则由 a值组成的集合是：a -2 a a=33. 在研究两个集合的关系时，“集合相等”至关重要 例 5 集合 P， Q， M 满足 P Q=

3、P， Q M=Q，则集合 P， M的关系为 （ ）.A. P M B.P M C.P M D.P M （1）当集合 P， Q， M不相等时，如图 （1）所示：有 PM.（2）当集合 P=Q=M时，如图 （2）所示：所以得到 P=M.综上所述， P M.应当选 C.例 6 已知集合 M， N及全集 U，则 MN是 M CUN= 的 （ ）.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件如图可知 MN是 MCUN= 的充分条件 .M CUN= 时则有 MN或 M=N两种可能 . MN是 M CUN= 的充分非必要条件 . 应选 A.4. 弄懂集合语言的含义。是避免产生

4、常见错误的关键集合问题中的数学语言，其常见形式主要有三种：一是文字语言，二是符号语言，三是图形语言 .三种语言虽然形式不同，但它们对于同一个数学对象本质属性的描述是一致的，因此它们之间可以互相转换 .下面主要介绍用已知集合的交、并、补集，表示文氏图中的指定集合 .例 7 设 U为全集， P， Q是 U的子集，试用 P， Q的交、并、补集符号表示图 （4）和图 （5）中阴影部分 . （1）在图 （4）中，由给定的图形符号知，阴影部分在集合 P外，则应与 P补有关 ;它又在集合 Q内，则应与集合 Q有关 . 阴影部分应该用 CUP与 Q表示，用符号语言应表示为 （CUP） Q（2）在图 （5）中，

5、由给定的图形符号知：右边部分可表示为 （CUP） Q 左边部分可表示为 P CUQ. 阴影部分应该用并集表示成（CUP） Q （P CUQ）.例 8 设 I是全集， P， M， N是它的子集，试用 P， M， N的交、并、补集符号表示图 （6）和图 （7）中的阴影部分的集合 . （1）在图 （6）中，阴影部分在集合 P， N之外，且在集合 M之内，所以可用集合 CI（P N）与集合 M表示成： M CI（P N）（2）在图 （7）中，阴影部分在 P M之内，且在 N之外，所以可用 P M与 CIN表示成： （P M） CIN5. 注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个根本不同的概念 例 9

6、分别写出下列简单命题 p的复合命题：（1）命题 p：方程 2x-1=3-2x的解是 x=2（2）命题 p：不等式 x-2O的解集是 xO（3）命题 p：是无理数（4）命题 p：三角形的外角大于它不相邻的任何一个内角（5）命题 p：菱形的对角线相等 （1） p：方程 2x-1=3-2x的解不是 x=1；（2） p：不等式的 x-20，bO；q：a2+b2b；a（3）p： Ox4；x-2 q:O， p是 q的充分不必要条件 .b a b， p既不是 q的充分条件，也不是必要条件 . 04 x-2 0，且 a 1），对数函数 y=logax（a0，且 a 1， x0），用抽象的函数符号和语言进行表述

7、，并在此基础上对函数的图象、性质进行证明和研究，是掌握函数方法、函数思想极其有效的方法 .1.以指数函数为背景例 1 设函数 y=f（x）定义在实数集 R上，当 x0时， f（x）1，且对任意实数 m， n都有 f（m+n）=f（m） f（n）.（1）证明 f（x）在 R上，恒有 f（x）（2）证明 f（x）在 R上是增函数 .证明 （1）f（x）在 R上，恒有 f（x）设 n0， m=0，则 f（x）1， f（0+n）=f（0） f（n），即 f（n）=f（0）又 f（n） f（0）=1，设 x0，从而 f（-x） f（0）=f（x-x）=f（x） f（-x）=1, f（x）= 1 f（-x

8、） 不论 x为任意实数，都有 f（x）证明 （2）f（x）在 R上是增函数设 x10）.由 t0，有 f（t） f（x2）=f（x1+t）=f（x1） f（t）f（x1）； f（x）在 R上是增函数 .例 2 （1）下列函数中，具有性质 f（x+y）=f（x） f（y）（x， y R）的是 （ ）.A.f（x）=x2B. f（x）=2xC.f（x）=2x D.f（x）=-x+1（2）设函数 y=f（x）定义在实数集上，则函数 y=f（x-1）与 y=f（1-x）的图象关于 （ ）.A.直线 y=0对称 B.直线 x=0对称C.直线 y=1对称 D.直线 x=1对称解 （1）：由 f（x+y）=f（x） f（y）（x， y R）知，取 f（x）=2x满足题设要求 .而 f（x）=x2， f（x）=2x， f（x）=-x+1不符合要求 . 应选 B.解 （2）：可选取 f（x）=2x（x R），符合题设要求 . y=f（x-1）=2 x-1， y=f（1-x）=21-x=（ ）x-1，而曲线 y=2x-1是由曲线 y=2x向右平移 1个单位得到的，曲线 y=（ ） x-1是由曲线 y=（ ） x向右平移 1个单位得到的 . 它们应关于直线 x=1对称， 应选 D.