初二平行四边形的动点问题学案含标准答案经典Word文档格式.docx

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平行四边形的判定．3718684

根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．

①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

故选：

此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．

3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则

的值为（　　）

1

三角形中位线定理；

根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．

∵点E，F分别是边AD，AB的中点，

∴AH=HO，

∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

∴AO=CO，

∴CH=3AH，

∴

=

．

故选C．

三、方法培养：

知识要点：

　　平行四边形的概念：

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形

平行四边形的性质：

边：

对边平行且相等

角：

内角和为______,外角和___________，邻角______,对角__________

对角线：

互相平分

平行线之间的距离：

若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离叫

性质：

平行线之间的距离处处相等。

推广：

夹在两条平行线之间平行线段相等

平行四边形的判定：

定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

例11．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°

，AB=12，BC=21，AD=16．

动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，四边形PQCD的面积是梯形ABCD的面积的一半；

（2）四边形PQCD能为平行四边形吗？

如果能，求出t的值；

如果不能，请说明理由．

（3）四边形PQCD能为等腰梯形吗？

等腰梯形的判定；

平行四边形的判定；

直角梯形。

专题：

动点型。

（1）根据：

路程=速度×

时间，表示线段的长度，再利用：

S梯形ABPQ=S梯形PQDC，列方程求解；

（2）只要能满足DQ=PC即可，由此建立等量关系，列方程求解；

（3）当四边形PQCD为等腰梯形时，作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，需要满足QE=CF，

由此建立等量关系，列方程求解．

（1）由已知得：

AQ=t，QD=16﹣t，BP=2t，PC=21﹣2t，

依题意，得

解得

；

（2）能；

当四边形PQDC为平行四边形时，

DQ=PC，即16﹣t=21﹣2t解得t=5；

（3）不能

作QE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，

当四边形PQCD为等腰梯形时，PE=CF，

即t﹣2t=21﹣16

解得t=﹣5，不合实际．

本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问题．

变式练习：

如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°

，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？

（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．

直角梯形；

勾股定理；

平行四边形的判定与性质。

（1）解：

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°

，BC=21，AB=12，AD=16，

依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16﹣t，PC=21﹣2t，

过点P作PE⊥AD于E，

则四边形ADPE是矩形，PE=AB=12，

∴S△DPQ=

DQ•AB=

（16﹣t）×

12=﹣6t+96．

（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，

∴21﹣2t=16﹣t解得：

t=5，

∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形．

（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，

①当PD=PQ时，QE=ED=AQ=t，

∴AD=3t即16=3t，解得：

t=

，∴当t=

时，PD=PQ

②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2

∴t2+122=（16﹣t）2解得：

∴当t=

时，DQ=PQ

☆专题2：

平行四边形的证明

【例2】如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°

，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；

动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒，

（1）直角梯形ABCD的面积为　　cm2；

（2）当t=　　秒时，四边形PQCD成为平行四边形？

（3）当t=　　秒时，AQ=DC；

（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？

若存在，求出此时t的值；

若不存在，说明理由．

平行四边形的判定。

（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形

∴DM=AB=6cm．在直角△CDM中，CM=

=8cm∴BC=BM+CM=4+8=12cm

∴直角梯形ABCD的面积为

（AD+BC）•AB=48cm2；

（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形即4﹣5x=4x解得x=

（3）BQ=12﹣5x在直角△ABQ中，AB2+BQ2=AQ2即62+（12﹣5x）2=102解得x=

（4）存在，

．连接QD，则CP=14﹣4t，CQ=5t

若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×

AB=CD×

QP

得QP=3t在RtS△QPC中

QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14﹣4t）2=（5t）2

解之得

求得BC=12CP=14﹣4t=7＜10CQ=5t=

＜12

所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．

变式练习

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°

（1）这个直角梯形ABCD的面积是多少？

（2）当t为何值时，四边形PQCD成为平行四边形？

（3）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？

若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由．

（1）作DM⊥BC于点M，在直角△CDM中，根据勾股定理即可求得CM，得到下底边的长，根据梯形面积公式即可求解．

（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形．

（3）连接QD，根据S△DQC=S△DQC，即可求解．

（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形，

=8cm，

∴BC=BM+CM=4+8=12cm，∴直角梯形ABCD的面积为

2、当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形，即4﹣5x=4x，解得x=

（3）存在，

连接QD，则CP=14﹣4t，CQ=5t，若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×

QP，即5t×

6=10×

QP，

得QP=3t，在RtS△QPC中，QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14﹣4t）2=（5t）2

解之得

，求得BC=12，CP=14﹣4t=7＜10，CQ=5t=

＜12，

所以，存在t=

时，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．

☆专题3：

三角形的中位线

定理：

三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

逆定理一：

在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：

在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

【例3】直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图所示，O与坐标原点重合，点A在x轴

上，点B在y轴上，OB=2

，∠BAO=30°

，将△AOB沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合．

（1）求直线BE的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）点P是x轴上的动点，使△PAB是等腰三角形，直接写出P点的坐标；

（4）点M是直线BE上的动点，过M点作AB的平行线交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以点M、N、D、B为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，请求出所有M点的坐标；

如果不存在说明理由．

一次函数综合题；

正比例函数的图象；

待定系数法求一次函数解析式。

计算题。

先利用直角三角形的性质（直角三角形中，如果有一个角是30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）和勾股定理求出点的坐标E（﹣2，0），进一步用待定系数法求出一次函数的解析式y=

x+2

（1）∵∠BAO=30°

∴∠ABO=60°

，

∵沿BE折叠O．D重合

∴∠EBO=30°

OE=

BE，

设OE=x，

则（2x）2=x2+

∴x=2，

即BE=4，

E（﹣2，0），

设Y=kx+b'

代入得；

∴直线BE的解析式是：

（2）过D作DG⊥OA于G，

∵沿BE折叠O′D重合，

∴DE=2，

∵∠DAE=30°

∴∠DEA=60°

∠ADE=∠BOE=90°

∴GE=1，DG=

∴OG=1+2=3，

∴D的坐标是：

D

（3）P1（﹣2，0）；

P2（6，0）；

（4）存在．

①过D作DM⊥Y轴交BE于M，过M作AB平行线交Y轴于N，M1

则M的横坐标是x=﹣3，代入直线BE的解析式得：

y=﹣

∴M1（﹣3，﹣

），

②同法可求M2（3，5

∴M点的坐标是：

（﹣3，﹣

）和（3，5

）．

直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

（3）当S=485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；

（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，

当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S=12OQ×

PD，即可求出答案；

（3）令S=485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．

（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），

（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．

∵点Q由O到A的时间是81=8（秒），

∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．

当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，

OQ=t，OP=2t，S=t2．

当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，

OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，

如图，做PD⊥OA于点D，

由PDBO=APAB，得PD=48-6t5．

∴S=12OQ•PD=-35t2+245t．

（3）当S=485时，∵485＞12×

3×

6∴点P在AB上

当S=485时，-35t2+245t=485

∴t=4

∴PD=48-6×

45=245，AD=16-2×

4=8

AD=82-（245）2=325

∴OD=8-325=85

∴P（85，245）

M1（285，245），M2（-125，245），M3（125，-245）

本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题

（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．

☆专题4：

中位线及平行四边形中的计算

例5、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°

，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；

动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？

（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？

（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．

（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．

（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．

所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．

（1）∵四边形PQCD平行为四边形

∴PD=CQ

∴24-t=3t

解得：

t=6

即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．

（2）过D作DE⊥BC于E

则四边形ABED为矩形

∴BE=AD=24cm

∴EC=BC-BE=2cm

∵四边形PQCD为等腰梯形

∴QC-PD=2CE

即3t-（24-t）=4

t=7（s）

即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．

（3）由题意知：

QC-PD=EC时，

四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2

t=6.5（s）

即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．

此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°

，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；

动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；

（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？

若不存在，请说明理由；

（4）探究：

t为何值时，△PMC为等腰三角形．

（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；

∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：

CA=CN：

CB，

（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；

四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；

（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．

（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：

①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．

②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．

③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．

综上所述可得出符合条件的t的值．

解答:

（1）∵AQ=3-t

∴CN=4-（3-t）=1+t

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42

∴AC=5

在Rt△MNC中，cos∠NCM=

=

，CM=

（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形

∴PC=QD，即4-t=t

解得t=2．

（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：

MN+NC=AM+BN+AB

即：

（1+t）+1+t=

（3+4+5）

t=

（5分）

而MN=

NC=

（1+t）

∴S△MNC=

（1+t）2=

（1+t）2

当t=

时，S△MNC=（1+t）2=

≠

×

4×

3

∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．

（4）①当MP=MC时（如图1）

则有：

NP=NC

即PC=2NC∴4-t=2（1+t）

②当CM=CP时（如图2）

（1+t）=4-t

③当PM=PC时（如图3）

在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2

PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3

∴[

（1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2

t1=

，t2=-1（舍去）

∴当t=

，t=

时，△PMC为等腰三角形

四、强化练习：

1．如图．在

ABCD中，AB＝6、AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，DC的延长线于点F,BG⊥AE，垂足为G，若BG＝4

，则△CEF的面积是

　A、2

　　B、

　C、3

　D、4

答案：

A

解析：

∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，∠BAF=∠F，∴∠F=∠DAF，

∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；

∵AB=CD=6，∴CF=3；

∠BEA=∠DAF＝∠BAF，所以，BA＝BE，

∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4

　可得：

AG=2，

又∵BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的面积等于8

又∵▱ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：

2，面积1：

4，∴△CEF的面积为,2

2、在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（　　）

　A．AC⊥BDB．∠A+∠B=180°

C．AB=ADD．∠A≠∠C

由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°

故选B．

3.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

AB∥DC，AD∥BC

AB=DC，AD=BC

AO=CO，BO=DO

AB∥DC，AD=BC

平行四边形的判定．

根据平行四边形判定定理进行判断．

A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；

本题考查了平行四边形的判定．

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（　　）

　A．2

B．4

C．4D．8

平行四边形的性质；

等腰三角形的判定与性质；

含30度角的直角三角形；

勾股定理．

计算题．

由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一