北师大版数学六年级知识点整理Word文档格式.docx
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答：
这个鱼池的周长是4π米.
12．圆的面积：
圆所占面积的大小叫圆的面积.
13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母〔
r〕表示，宽相当于圆的半径，用字母〔r〕表示，因为长方形的面积=长×
宽，所以圆的面积=
r×
r.圆的面积公式：
Ｓ＝
ｒ²
.
把一个圆平均分成若干份，可以拼成一个近似于长方形.长方形的长相当于圆〔
周长的一半
〕，宽相当于圆的〔
半径
〕，所以圆的面积S=〔
14．圆的面积公式：
或者S=
〔d
2〕²
或者S=
〔C
一个半圆形池塘，它的直径是4米，求它的面积.
S=
÷
=2π㎡
面积是2π平方米
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长.
边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是〔4π〕
16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽.
在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆，圆的面积是〔
6.25π
〕平方厘米.
17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=
R²
－
或 S=
〔R²
－ｒ²
〕.〔其中R＝r＋环的宽度．〕
在一个直径是2米的圆形水池四周修一条宽1米的石子路，石子路的面积是多少？
r=2米÷
2=1米R=1米＋1米=2米
=
〔2²
-1²
〕㎡
=3π㎡
石子路的面积是3π㎡.
18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径.半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径.
半圆的周长公式：
Ｃ＝
d
2＋d 或 Ｃ＝
r＋2r
圆周长的一半=
r
半圆的周长就是用圆的周长除以2.〔
〕
19．半圆面积＝圆的面积
2 公式为：
一个半径为20米的舞台，面积是多少？
S=πｒ²
÷
=π×
20×
20÷
=200π㎡
舞台的面积是200π㎡.
20．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数.而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍.
在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大〔4〕倍，而面积扩大〔16〕倍.
21．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方.
例如：
两个圆的半径比是2：
3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：
3，而面积比是4：
9.
22．圆周长和直径的比是
：
1，比值是
；
圆周长和半径的比是2
1，比值是2
已知一个圆形跑到的周长是1256米，求该圆的直径和半径.
解:
d=c÷
π=1256÷
3.14=400米
r=c÷
2π=200米
圆的直径和周长分别是400米和200米.
23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加2
ａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加
ａ厘米.
一个半径为3米的圆，半径增加1米，周长增加多少米？
C1=2πr=6π米
C2=2πr=8π米
增加量：
C2-C1=8π-6π=2π米
答：
周长增加了2π米.
24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；
所对的弧就占圆周长的几分之几.
25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小.
26．扇形弧长公式：
扇形的面积公式：
S=
〔n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径〕
一个圆心角是90°
的扇形，半径是4厘米，面积是多少？
90°
360°
πr²
=4π平方厘米
面积是4π平方厘米.
27．轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.
28．有一条对称轴的图形有：
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆.
有2条对称轴的图形是：
长方形
有3条对称轴的图形是：
等边三角形
有4条对称轴的图形是：
正方形
有无数条对称轴的图形是：
圆、圆环.
29．直径所在的直线是圆的对称轴.
圆是〔
轴对称〕图形，有〔无数〕条对称轴.半圆有〔1〕条对称轴.
第二单元 百分数应用题
〔一〕百分数的基本概念
1．百分数的定义：
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数.百分数也叫做百分率或百分比.
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位.
2．百分数的意义：
表示一个数是另一个数的百分之几.
25％的意义：
表示一个数是另一个数的25％.
3．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示.分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100.
初一八班有54人，某次体育测试，54人达标，那么初一八班体育达标率是多少？
54÷
54×
100%=100%
体育达标率为100%.
4．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位.
5．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数〔除不尽的保留三位小数〕，再把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数.
=〔0.4〕=（
40）%
〔二〕百分数应用题
百分数应用题〔一〕
求增加百分之几？
减少百分之几？
公式：
增加百分之几=增加的部分÷
单位1
减少百分之几=减少的部分÷
单位1
1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：
根据公式增加百分之几=增加的部分÷
单位1；
先确定单位1是水，已经知道是45；
增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；
最后用增加的部分5÷
单位1水的45就等于增加百分之几.
计算步骤：
第一步：
单位1：
水：
45立方厘米
第二步：
增加的部分：
50—45=5立方厘米
第三步：
增加百分之几：
5÷
45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同.
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等.
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等.
百分数应用题〔二〕
比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数.
例1、某小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生？
单位1去年已经知道用乘法，增加用〔1+25%〕
算式：
80×
〔1+25%〕
2、某小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？
单位1去年已经知道用乘法，减少用〔1-25%〕
〔1-25%〕
3、某小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？
单位1去年不知道用除法，增加用〔1+25%〕
100÷
4、某小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？
单位1去年不知道用除法，增加用〔1-25%〕
百分数应用题〔三〕列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？
单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答.
根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页.
等量关系式：
〔第一天〕—〔第二天〕=20页
方法1：
设这本书一共有X页.
由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示为25%X，由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”
可以列方程为：
25%X—20%X=20
方法2：
“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差.要求单位1只要用20页除以20页的对于分率.
列算式为：
（25%—20%）
2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，这本书一共有多少页？
由“两天共看了20页”可以知道〔第一天〕+〔等二天〕=20页.
方程法：
设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X.
方程列为：
25%X+20%X=20
算术法：
由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率.
（25%+20%）
3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，还剩20页，这本书一共有多少页？
〔一本书〕—〔第一天〕—〔第二天〕=20页
解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X.
列方程为：
X—25%X—20%X=20
〔1-25%-20%〕
4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20页，这本书一共有多少页？
设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为〔25%X+10〕页.
X—25%X—〔25%X+10〕=20
百分数应用题〔四〕
利息的计算
1.本金：
存入银行的钱叫做本金.
2．利息：
取款时银行多支付的钱叫做利息.
利息=本金×
利率×
时间
3．2008年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税.国债的利息不纳税.2008年10月9日以后免收利息税.所以如无特殊说明，就不在计算利息税.
4．利率：
利息与本金的比值叫做利率.
5．银行存款税后利息的计算公式：
税后利息＝利息×
〔１－20％〕
6．国债利息的计算公式：
利息＝本金×
7．本息：
本金与利息的总和叫做本息.
8．应纳税额：
缴纳的税款叫应纳税额.
9．税率：
应纳税额与各种收入的比率叫做税率.
10．应纳税额的计算：
应纳税额＝各种收入×
税率
李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？
要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的.
解题步骤：
根据“利息＝本金×
时间”算利息
利息：
2000×
4.14%×
5=414元
第二步：
本金+利息：
2000+414=2414元.
〔如果利息按20%来上税〕
算税后利息：
414×
〔1—20%〕=331.2元
2000+331.2=2331.2元.
第三章图形的变换
1、图形变换的三种方法：
第一种平移：
要说明向什么方向〔上、下、左、右〕平移几个单位.
第二种旋转：
要说明绕哪个点，顺时针还是逆时针，旋转多少度〔90度、180度、270度〕
第三种作对称图形：
要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形.
2、比赛场次、握手次数的计算
首先要算出有多少个人〔或多少支队伍〕进行比赛.有多少个人进行握手.
计算比赛场次、握手次数.
如果是5人，从1加到4，如果是6人，从1加到5，如果是8人，从1加到7，如果是100人，从1加到99.
3、计算起跑线.
第一道的弯道半径是36米，每个道的跑道宽度是1.2米
那么：
第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2.
第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2
第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2
第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2+1.2
不同的两个道的起跑点相差多少米的算法：
先算出要跑几圈.
计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长.
第三步：
有两个道的圆周长相减，就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米.第四步：
用这个相差数×
要跑的圈数.
第四章比的认识
〔一〕比的基本概念
1．两个数相除又叫做两个数的比.比的前项除以后项所得的商，叫做比值.
2．比值通常用分数、小数和整数表示.
3．比的后项不能为0.
4．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；
5．根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值.
6．比的基本性质：
比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数〔0除外〕，比值不变.
〔二〕求比值
求比值：
用比的前项除以比的后项
例如：
36分：
1小时=0.68立方分米：
2立方分米=4
〔三〕化简比
化简比：
用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比.
12:
16=3:
4
〔四〕比的应用
1、比的第一种应用：
已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？
六年级有60人，男女生的人数比是5：
7，男女生各有多少人？
题目解析：
60人就是男女生人数的和.
第一步求每份：
60÷
〔5+7〕=5人
第二步求男女生：
男生：
5×
5=25人女生：
7=35人.
2、比的第二种应用：
已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？
六年级有男生25人，男女生的比是5：
7，求女生有多少人？
全班共有多少人？
“男生25人”就是其中的一个数量.
25÷
5=5人
第二步求女生：
女生：
7=35人.全班：
25+35=60人
3、比的第三种应用：
已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？
六年级的男生比女生多20人〔或女生比男生少20人〕，男女生的比是7：
5，男女生各有多少人？
“男生比女生多20人”就是两个量的差.
〔7-5〕=10人
第二步求男生、女生、全班总人数：
女生：
10×
5=50人，
7=70人，全班：
50＋70=120人
4、要求量=已知量×
5、比在几何里的运用：
〔1〕已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：
ｂ.求长和宽、面积.
长=周长÷
2×
宽=周长÷
面积＝长×
宽
〔2〕已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：
ｂ：
ｃ.求长、宽、高、体积
４×
高=周长÷
体积＝长×
宽×
高
〔3〕已知三角形三个角的比是ａ：
ｃ，求三个内角的度数.
三个角分别为：
180×
180×
〔4〕已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：
ｃ，求三条边的长度.
三条边分别为：
周长×
周长×
第五章圆柱和圆锥
一、
面的旋转
1.“点、线、面、体”之间的关系是：
点的运动形成线；
线的运动形成面；
面的旋转形成体.
2.圆柱的特征：
〔1〕圆柱的两个底面是半径相等的两个圆.
〔2〕两个底面间的距离叫做圆柱的高.
〔3〕圆柱有无数条高，且高的长度都相等.
3.圆锥的特征：
〔1〕圆锥的底面是一个圆.
〔2〕圆锥的侧面是一个曲面.
〔3〕圆锥只有一条高.
二、
圆柱的表面积
1.沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形〔或正方形〕.
〔如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形〕
2.圆柱的侧面积＝底面周长×
高，用字母表示为：
S侧＝ch.
3.圆柱的侧面积公式的应用：
〔1〕已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：
S侧＝ch；
〔2〕已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：
S侧＝ð
dh；
〔3〕已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：
S侧＝2ð
rh
4.圆柱表面积的计算方法：
如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：
S表=S侧+2S底
或S表=ð
dh+ð
d²
/2
或S表=2ð
rh+2ð
r2
5.圆柱表面积的计算方法的特殊应用：
〔1〕圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体.
〔2〕圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体.
三、
圆柱的体积
1.
圆柱的体积：
一个圆柱所占空间的大小.
2.
圆柱的体积＝底面积×
高.如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V＝Sh.
3.
圆柱体积公式的应用：
〔1〕
计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：
V＝Sh.
〔2〕
已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：
V＝ð
r2h；
〔3〕
已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：
（d/2）2h；
〔4〕
已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：
（C/2ð
）2h；
4.圆柱形容器的容积＝底面积×
高，用字母表示是V＝Sh.
5.圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同.
四、
圆锥的体积
圆锥只有一条高.
圆锥的体积＝1/3×
底面积×
高.
如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：
V=1/3Sh
圆锥体积公式的应用：
〔1〕求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，
可以直接运用“v=1/3Sh”这一公式.
〔2〕求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，
可以运用1/3πr²
h
〔3〕求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，
可以运用1/3π〔d/2〕²
〔4〕求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，
可以运用1/3π〔c/2π〕²
第六章正比例和反比例
变化的量
生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化.
正比例
正比例的意义：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值〔一定〕，正比例关系可以表示为：
y/x=k〔一定〕.
应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：
有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，例如：
被减数与差，正方形的面积与边长等.
画一画
正比例的图像是一条直线.
反比例
反比例的意义：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：
x·
y=k〔一定〕.
判断两个量是不是成反比例：
要先想这两个量是不是相关联的量；
再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；
最后作出结论.
A、B、C三种量的关系是:
A×
B＝C
〔1〕如果A一定，那么B和C成〔正〕比例；
〔2〕如果B一定，那么A和C成〔正〕比例；
〔3〕如果C一定，那么A和B成〔正〕比例．
五、观察与探究
当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线.
六、图形的放缩
一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像.
七、比例尺
比例尺：
图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺.
比例尺=图上距离÷
实际距离
图上距离=实际距离×
比例尺实际距离=图上距离÷
比例尺
在一幅地图上量得甲乙两地距离6厘米，乙丙两地距离8厘米；
已知甲乙两地间的实际距离是120千米，乙丙两地间的实际距离是〔
160〕千米；
这幅地图的比例尺是〔1:
2000000〕.
比例尺的分类：
比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例尺和放大比例尺.根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺.
一种微型零件的长5毫米，画在图纸上长20厘米，这幅图的比例尺是〔40：
1〕.
比例尺的应用：
〔1〕、已知比例尺和图上距离，求实际距离
比例尺=图上距离÷
实际距离=图上距离÷
在比例尺是1:
4000000的地图上，图上距离1厘米表示实际距离〔40〕千米.也就是图上距离是实际距离的，实际距离是图上距离的〔
4000000〕倍.
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