北师大版数学六年级知识点整理Word文档格式.docx
《北师大版数学六年级知识点整理Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版数学六年级知识点整理Word文档格式.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![北师大版数学六年级知识点整理Word文档格式.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/1/b8ea0820-b43e-445b-9346-dbadf1bb7f4f/b8ea0820-b43e-445b-9346-dbadf1bb7f4f1.gif)
答:
这个鱼池的周长是4π米.
12.圆的面积:
圆所占面积的大小叫圆的面积.
13.把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,用字母〔
r〕表示,宽相当于圆的半径,用字母〔r〕表示,因为长方形的面积=长×
宽,所以圆的面积=
r×
r.圆的面积公式:
S=
r²
.
把一个圆平均分成若干份,可以拼成一个近似于长方形.长方形的长相当于圆〔
周长的一半
〕,宽相当于圆的〔
半径
〕,所以圆的面积S=〔
14.圆的面积公式:
或者S=
〔d
2〕²
或者S=
〔C
一个半圆形池塘,它的直径是4米,求它的面积.
S=
÷
=2π㎡
面积是2π平方米
15.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长.
边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆,这个圆的面积是〔4π〕
16.在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽.
在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆,圆的面积是〔
6.25π
〕平方厘米.
17.一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=
R²
-
或 S=
〔R²
-r²
〕.〔其中R=r+环的宽度.〕
在一个直径是2米的圆形水池四周修一条宽1米的石子路,石子路的面积是多少?
r=2米÷
2=1米R=1米+1米=2米
=
〔2²
-1²
〕㎡
=3π㎡
石子路的面积是3π㎡.
18.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径.半圆的周长与圆周长的一半的区别在于,半圆有直径,而圆周长的一半没有直径.
半圆的周长公式:
C=
d
2+d 或 C=
r+2r
圆周长的一半=
r
半圆的周长就是用圆的周长除以2.〔
〕
19.半圆面积=圆的面积
2 公式为:
一个半径为20米的舞台,面积是多少?
S=πr²
÷
=π×
20×
20÷
=200π㎡
舞台的面积是200π㎡.
20.在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数.而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍.
在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大〔4〕倍,而面积扩大〔16〕倍.
21.两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以上比的平方.
例如:
两个圆的半径比是2:
3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:
3,而面积比是4:
9.
22.圆周长和直径的比是
:
1,比值是
;
圆周长和半径的比是2
1,比值是2
已知一个圆形跑到的周长是1256米,求该圆的直径和半径.
解:
d=c÷
π=1256÷
3.14=400米
r=c÷
2π=200米
圆的直径和周长分别是400米和200米.
23.当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2
a厘米;
当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加
a厘米.
一个半径为3米的圆,半径增加1米,周长增加多少米?
C1=2πr=6π米
C2=2πr=8π米
增加量:
C2-C1=8π-6π=2π米
答:
周长增加了2π米.
24.在同一圆中,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积就占圆面积的几分之几;
所对的弧就占圆周长的几分之几.
25.当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小.
26.扇形弧长公式:
扇形的面积公式:
S=
〔n为扇形的圆心角度数,r为扇形所在圆的半径〕
一个圆心角是90°
的扇形,半径是4厘米,面积是多少?
90°
360°
πr²
=4π平方厘米
面积是4π平方厘米.
27.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.
28.有一条对称轴的图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆.
有2条对称轴的图形是:
长方形
有3条对称轴的图形是:
等边三角形
有4条对称轴的图形是:
正方形
有无数条对称轴的图形是:
圆、圆环.
29.直径所在的直线是圆的对称轴.
圆是〔
轴对称〕图形,有〔无数〕条对称轴.半圆有〔1〕条对称轴.
第二单元 百分数应用题
〔一〕百分数的基本概念
1.百分数的定义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数.百分数也叫做百分率或百分比.
百分数表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,所以百分数不能带单位.
2.百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几.
25%的意义:
表示一个数是另一个数的25%.
3.百分数通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示.分子部分可为小数、整数,可以大于100,小于100或等于100.
初一八班有54人,某次体育测试,54人达标,那么初一八班体育达标率是多少?
54÷
54×
100%=100%
体育达标率为100%.
4.小数与百分数互化的规则:
把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号;
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位.
5.百分数与分数互化的规则:
把分数化成百分数,通常先把分数化成小数〔除不尽的保留三位小数〕,再把小数化成百分数;
把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数.
=〔0.4〕=(
40)%
〔二〕百分数应用题
百分数应用题〔一〕
求增加百分之几?
减少百分之几?
公式:
增加百分之几=增加的部分÷
单位1
减少百分之几=减少的部分÷
单位1
1、45立方厘米的水结成冰后,冰的体积为50立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?
解题思路:
根据公式增加百分之几=增加的部分÷
单位1;
先确定单位1是水,已经知道是45;
增加的部分不知道,可以利用50减45求得5;
最后用增加的部分5÷
单位1水的45就等于增加百分之几.
计算步骤:
第一步:
单位1:
水:
45立方厘米
第二步:
增加的部分:
50—45=5立方厘米
第三步:
增加百分之几:
5÷
45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同.
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等.
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等.
百分数应用题〔二〕
比一个数增加百分之几的数,比一个数减少百分之几的数.
例1、某小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年增加了25%,今年有多少名学生?
单位1去年已经知道用乘法,增加用〔1+25%〕
算式:
80×
〔1+25%〕
2、某小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年减少了25%,今年有多少名学生?
单位1去年已经知道用乘法,减少用〔1-25%〕
〔1-25%〕
3、某小学今年有100名学生,比去年增加了25%,去年有多少名学生?
单位1去年不知道用除法,增加用〔1+25%〕
100÷
4、某小学今年有100名学生,比去年减少了25%,去年有多少名学生?
单位1去年不知道用除法,增加用〔1-25%〕
百分数应用题〔三〕列方程解百分数应用题
1、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,第一天比第二天多看20页,这本书一共有多少页?
单位1一本书不知道,可以选用方程或除法来解答.
根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的,第二天是少的,第一天减去第二天等于多出的20页.
等量关系式:
〔第一天〕—〔第二天〕=20页
方法1:
设这本书一共有X页.
由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%,用X可以表示为25%X,由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%,用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”
可以列方程为:
25%X—20%X=20
方法2:
“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差.要求单位1只要用20页除以20页的对于分率.
列算式为:
(25%—20%)
2、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,两天共看了20页,这本书一共有多少页?
由“两天共看了20页”可以知道〔第一天〕+〔等二天〕=20页.
方程法:
设这本书共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X.
方程列为:
25%X+20%X=20
算术法:
由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和,要求单位1只要用20页除以20页的对于分率.
(25%+20%)
3、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,还剩20页,这本书一共有多少页?
〔一本书〕—〔第一天〕—〔第二天〕=20页
解设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X.
列方程为:
X—25%X—20%X=20
〔1-25%-20%〕
4、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天比第一天多看10页,还剩20页,这本书一共有多少页?
设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为〔25%X+10〕页.
X—25%X—〔25%X+10〕=20
百分数应用题〔四〕
利息的计算
1.本金:
存入银行的钱叫做本金.
2.利息:
取款时银行多支付的钱叫做利息.
利息=本金×
利率×
时间
3.2008年10月9日以前国家规定,存款的利息要按20%的税率纳税.国债的利息不纳税.2008年10月9日以后免收利息税.所以如无特殊说明,就不在计算利息税.
4.利率:
利息与本金的比值叫做利率.
5.银行存款税后利息的计算公式:
税后利息=利息×
〔1-20%〕
6.国债利息的计算公式:
利息=本金×
7.本息:
本金与利息的总和叫做本息.
8.应纳税额:
缴纳的税款叫应纳税额.
9.税率:
应纳税额与各种收入的比率叫做税率.
10.应纳税额的计算:
应纳税额=各种收入×
税率
李老师把2000元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4.14%计算,到期时,李老师的本金和利息共有多少元?
要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的.
解题步骤:
根据“利息=本金×
时间”算利息
利息:
2000×
4.14%×
5=414元
第二步:
本金+利息:
2000+414=2414元.
〔如果利息按20%来上税〕
算税后利息:
414×
〔1—20%〕=331.2元
2000+331.2=2331.2元.
第三章图形的变换
1、图形变换的三种方法:
第一种平移:
要说明向什么方向〔上、下、左、右〕平移几个单位.
第二种旋转:
要说明绕哪个点,顺时针还是逆时针,旋转多少度〔90度、180度、270度〕
第三种作对称图形:
要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形.
2、比赛场次、握手次数的计算
首先要算出有多少个人〔或多少支队伍〕进行比赛.有多少个人进行握手.
计算比赛场次、握手次数.
如果是5人,从1加到4,如果是6人,从1加到5,如果是8人,从1加到7,如果是100人,从1加到99.
3、计算起跑线.
第一道的弯道半径是36米,每个道的跑道宽度是1.2米
那么:
第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2.
第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2
第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2
第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2+1.2
不同的两个道的起跑点相差多少米的算法:
先算出要跑几圈.
计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长.
第三步:
有两个道的圆周长相减,就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米.第四步:
用这个相差数×
要跑的圈数.
第四章比的认识
〔一〕比的基本概念
1.两个数相除又叫做两个数的比.比的前项除以后项所得的商,叫做比值.
2.比值通常用分数、小数和整数表示.
3.比的后项不能为0.
4.同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;
5.根据分数与除法的关系,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数的值.
6.比的基本性质:
比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数〔0除外〕,比值不变.
〔二〕求比值
求比值:
用比的前项除以比的后项
例如:
36分:
1小时=0.68立方分米:
2立方分米=4
〔三〕化简比
化简比:
用比的前项除以比的后项求出分数的比值后,在把分数比值改成比.
12:
16=3:
4
〔四〕比的应用
1、比的第一种应用:
已知两个或几个数量的和,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量是多少?
六年级有60人,男女生的人数比是5:
7,男女生各有多少人?
题目解析:
60人就是男女生人数的和.
第一步求每份:
60÷
〔5+7〕=5人
第二步求男女生:
男生:
5×
5=25人女生:
7=35人.
2、比的第二种应用:
已知一个数量是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少?
六年级有男生25人,男女生的比是5:
7,求女生有多少人?
全班共有多少人?
“男生25人”就是其中的一个数量.
25÷
5=5人
第二步求女生:
女生:
7=35人.全班:
25+35=60人
3、比的第三种应用:
已知两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量是多少?
六年级的男生比女生多20人〔或女生比男生少20人〕,男女生的比是7:
5,男女生各有多少人?
“男生比女生多20人”就是两个量的差.
〔7-5〕=10人
第二步求男生、女生、全班总人数:
女生:
10×
5=50人,
7=70人,全班:
50+70=120人
4、要求量=已知量×
5、比在几何里的运用:
〔1〕已知长方形的周长,长和宽的比是a:
b.求长和宽、面积.
长=周长÷
2×
宽=周长÷
面积=长×
宽
〔2〕已知已知长方体的棱长和,长、宽、高的比是a:
b:
c.求长、宽、高、体积
4×
高=周长÷
体积=长×
宽×
高
〔3〕已知三角形三个角的比是a:
c,求三个内角的度数.
三个角分别为:
180×
180×
〔4〕已知三角形的周长,三条边的长度比是a:
c,求三条边的长度.
三条边分别为:
周长×
周长×
第五章圆柱和圆锥
一、
面的旋转
1.“点、线、面、体”之间的关系是:
点的运动形成线;
线的运动形成面;
面的旋转形成体.
2.圆柱的特征:
〔1〕圆柱的两个底面是半径相等的两个圆.
〔2〕两个底面间的距离叫做圆柱的高.
〔3〕圆柱有无数条高,且高的长度都相等.
3.圆锥的特征:
〔1〕圆锥的底面是一个圆.
〔2〕圆锥的侧面是一个曲面.
〔3〕圆锥只有一条高.
二、
圆柱的表面积
1.沿圆柱的高剪开,圆柱的侧面展开图是一个长方形〔或正方形〕.
〔如果不是沿高剪开,有可能还会是平行四边形〕
2.圆柱的侧面积=底面周长×
高,用字母表示为:
S侧=ch.
3.圆柱的侧面积公式的应用:
〔1〕已知底面周长和高,求侧面积,可运用公式:
S侧=ch;
〔2〕已知底面直径和高,求侧面积,可运用公式:
S侧=ð
dh;
〔3〕已知底面半径和高,求侧面积,可运用公式:
S侧=2ð
rh
4.圆柱表面积的计算方法:
如果用S侧表示一个圆柱的侧面积,S底表示底面积,d表示底面直径,r表示底面半径,h表示高,那么这个圆柱的表面积为:
S表=S侧+2S底
或S表=ð
dh+ð
d²
/2
或S表=2ð
rh+2ð
r2
5.圆柱表面积的计算方法的特殊应用:
〔1〕圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的,例如无盖水桶等圆柱形物体.
〔2〕圆柱的表面积只包括侧面积的,例如烟囱、油管等圆柱形物体.
三、
圆柱的体积
1.
圆柱的体积:
一个圆柱所占空间的大小.
2.
圆柱的体积=底面积×
高.如果用V表示圆柱的体积,S表示底面积,h表示高,那么V=Sh.
3.
圆柱体积公式的应用:
〔1〕
计算圆柱体积时,如果题中给出了底面积和高,可用公式:
V=Sh.
〔2〕
已知圆柱的底面半径和高,求体积,可用公式:
V=ð
r2h;
〔3〕
已知圆柱的底面直径和高,求体积,可用公式:
(d/2)2h;
〔4〕
已知圆柱的底面周长和高,求体积,可用公式:
(C/2ð
)2h;
4.圆柱形容器的容积=底面积×
高,用字母表示是V=Sh.
5.圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同.
四、
圆锥的体积
圆锥只有一条高.
圆锥的体积=1/3×
底面积×
高.
如果用V表示圆锥的体积,S表示底面积,h表示高,则字母公式为:
V=1/3Sh
圆锥体积公式的应用:
〔1〕求圆锥体积时,如果题中给出底面积和高这两个条件,
可以直接运用“v=1/3Sh”这一公式.
〔2〕求圆锥体积时,如果题中给出底面半径和高这两个条件,
可以运用1/3πr²
h
〔3〕求圆锥体积时,如果题中给出底面直径和高这两个条件,
可以运用1/3π〔d/2〕²
〔4〕求圆锥体积时,如果题中给出底面周长和高这两个条件,
可以运用1/3π〔c/2π〕²
第六章正比例和反比例
变化的量
生活中存在着大量互相依存的变量,一种量变化,另一种量也随着变化.
正比例
正比例的意义:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系.如果用字母x和y表示两种相关联的量,用字母k表示它们的比值〔一定〕,正比例关系可以表示为:
y/x=k〔一定〕.
应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:
有些相关联的量,虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化,但它们相对应的数的比值不一定,就不成正比例,例如:
被减数与差,正方形的面积与边长等.
画一画
正比例的图像是一条直线.
反比例
反比例的意义:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系.如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的乘积,反比例的关系式可以表示为:
x·
y=k〔一定〕.
判断两个量是不是成反比例:
要先想这两个量是不是相关联的量;
再运用数量关系式进行判断,看这两个量的积是否一定;
最后作出结论.
A、B、C三种量的关系是:
A×
B=C
〔1〕如果A一定,那么B和C成〔正〕比例;
〔2〕如果B一定,那么A和C成〔正〕比例;
〔3〕如果C一定,那么A和B成〔正〕比例.
五、观察与探究
当两个变量成反比例关系时,所绘成的图像是一条光滑曲线.
六、图形的放缩
一幅图放大或缩小,只有按照相同的比来画,画的图才像.
七、比例尺
比例尺:
图上距离与实际距离的比,叫做这幅图的比例尺.
比例尺=图上距离÷
实际距离
图上距离=实际距离×
比例尺实际距离=图上距离÷
比例尺
在一幅地图上量得甲乙两地距离6厘米,乙丙两地距离8厘米;
已知甲乙两地间的实际距离是120千米,乙丙两地间的实际距离是〔
160〕千米;
这幅地图的比例尺是〔1:
2000000〕.
比例尺的分类:
比例尺根据实际距离是缩小还是扩大,分为缩小比例尺和放大比例尺.根据表现形式的不同,比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺.
一种微型零件的长5毫米,画在图纸上长20厘米,这幅图的比例尺是〔40:
1〕.
比例尺的应用:
〔1〕、已知比例尺和图上距离,求实际距离
比例尺=图上距离÷
实际距离=图上距离÷
在比例尺是1:
4000000的地图上,图上距离1厘米表示实际距离〔40〕千米.也就是图上距离是实际距离的,实际距离是图上距离的〔
4000000〕倍.