平面几何三角形四心竞赛题A卷及答案.doc

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三角形四心竞赛训练题1

一、填空题

1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的心；三个角的平分线的交点叫做三角形的心；三条中线的交点叫做三角形的心；三条高线的交点叫做三角形的心。

2、在△ABC中，∠A=40º，为△ABC的内心，则∠BOC＝度。

3、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的倍。

4、已知三角形三边长分别为3、4、5，则其内切圆半径为。

5、设△ABC的垂心为H，则∠BHC＋∠BAC=度。

二、解答题

6、如图1，△ABC中，AD为BC边的高线，点O为△ABC的外心，求证：

∠BAO=∠DAC。

7、求证：

三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于中线长的。

8、如图2，Rt△ABC的内切圆⊙O和斜边BC的切点为T，求证：

。

9、如图3，已知△ABC的内心为I，△BCI的外心为D，求证：

A、B、C、D四点共圆。

10、如图4，已知△ABC的内切圆和BC相切于D，求证：

△ABD、△ACD的内切圆相切。

11、如图5，设△ABC的垂心为H，并且直线AH和外接圆及边BC的交点分别为E、D，求证：

HD=DE。

12、如图6，△ABC的垂心为H，外心O到边BC的距离为OM，求证：

AH=2OM。

13、如图7，△ABC的垂心为H，外心为O，若∠A＝60º；求证：

三直线HO、AB、AC所作成的△APQ是正三角形。

14、如图8，△ABC的垂心H，若垂足三角形DEF的外接圆和HC的交点为G，求证：

HG=CG。

15、设从△ABC的外接圆的圆心O向BC边作垂线OD，求证：

∠BOD=∠A或者∠BOD+∠A=180º

16、如图9，△ABC中，∠A=2∠B，由顶点C作∠A的平分线AD的垂线CF，垂足为F，求证：

CF经过△ABC的外心。

17、如图10，设过△ABC的内心I作BC的平行线和AB、AC分别交于D、E、M是BC的中点，求证：

∠DME是钝角。

重内垂外A卷

一、填空题

1、外；内；重；垂；

2、110（提示：

试证∠BOC＝90º＋∠A）

3、2（提示：

连结外切正三角形与圆的3个切点得内接正三角形，再证圆的所有内接正三角形全等）

4、1（提示：

此三角形是直角三角形，用切线长定理或面积法可得；面积公式，p为三角形周长，r为内切圆半径）

5、180；（提示：

将∠BHC转化成它的对顶角）

二、解答题

6、证明：

如图，过O点作OE⊥AB于E点，连结OB，

∵OE⊥AB于E，∴AE＝EB。

∵OE＝OE，OA=OB，∴△OAE≌△OBE，

∴∠1＝∠AOB

∵∠C＝∠AOB（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）

∴∠1＝∠C

∵AD⊥BD于D，∴∠C+∠DAC=90º

∵∠1+∠BAO=90º∴∠BAO=∠DAC

7、已知：

如图，△ABC中，中线AD与中线BE交于点M，连结CM并延长交AB于F；求证：

AF＝FB，AM＝AD

证明：

延长MD到G，使DG＝MD，连结BG、CG，

∵BD＝DC，MD＝DG，∴四边形BMCG是平行四边形。

∴BM∥GC即ME∥GC

∵AE＝EC

∴AM＝MC＝AD

∵CM∥BG即MF∥BG∴AF＝FB

8、证明：

如图，设AB切⊙O于E，AC切⊙O于F，连结OE、OF、OT

∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为T、E、F，

∴BT＝BE、AE＝AF、CF＝CT

∴BT＝（BC＋BA－AC）

CT＝（CA＋CB－AB）

∴

＝＝

∵，∴

9、证明：

如图，连结BD、ID、CD、AI

∵D为△BIC的外心，

∴DB＝DI＝DC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4。

∵I为△ABC的内心，

∴∠1＋∠2＝180º－（∠ABC＋∠ACB）

＝180º－（90º－∠A）＝90º＋∠BAC

∴∠BDC＝360º－2（∠1＋∠2）＝360º－180º－∠BAC＝180º－∠BAC

∴∠BAC＋∠BDC＝180º

∴A、B、C、D四点共圆。

10、证明：

如图，设△ABC的内切圆和AC、AB的切点分别为E、F，△ABD的内切圆和AD的切点为K。

∴2AK＝AB＋AD－BD

又∵AB－BD＝AB－BF＝AF

∴2AK＝AD＋AF

同理，若△ACD的内切圆和AD的切点为，则

∵AF＝AE∴

∴△ACD、△ABD的内切圆相切。

11、证明：

如图，连结BE

∵BF⊥AC于F，∴∠1＋∠C＝90º

∵AE⊥BC于D，∴∠2＋∠E＝90º。

∵∠C＝∠E（同弧所对圆周角相等）

∴∠1＝∠2

∵∠HDB＝∠EDB＝90º，BD＝BD，∴△BDH≌△BDE，∴HD＝DE

12、证明：

如图，连结DC、AD。

∵BD为⊙O的直径，∴DC⊥BC。

∵OM⊥BC于M，BO＝OD

∴OM∥DC且OM＝DC

∵△AH⊥BC，∴AH∥DC

∵CH⊥AB，DA⊥AB

∴CH∥AD

∴四边形AHCD为平行四边形。

∴AH＝DC

∴AH＝2OM

13、证明：

如图，连结OA、AH过O点作OM⊥BC于D交⊙O于M，连结MH。

∵∠BAC＝60º∴是⊙O周长的

易证OD＝DM

又∵AH＝2OD（上题已证）

∴AH＝OM

∵AH⊥BC，OM⊥BC

∴AH∥OM，

∴四边形AOMH为平行四边形。

∵AO＝OM，∴四边形AOMH为菱形，∴AM⊥PQ

∵∠PAM＝∠CAM＝30º

∴△PAQ为等边三角形。

14、证明：

如图，连结DG、DE、DF、EF

∵CF⊥AB于F，AD⊥BC于D，∴∠BFC＋∠BDH＝180º∴B、F、H、D四点共圆。

∴∠2＝∠3

同理可证A、E、D、B四点共圆，∴∠1＝∠3∴∠1＝∠2

同理可证∠4＝∠5（注：

∠4为∠EFC，∠5为∠CFD）

∴∠HDG＝∠1＋∠EDG＝∠2＋∠4＝∠2＋∠5

∵∠DHG＝∠2＋∠5，∴∠HDG＝∠DHG∴HG＝GD

∵∠HDC＝90º∴∠GDC＝∠GCD

∴GC＝GD∴HG＝GC

15、证明：

如图，连结OC

∵OD⊥BC于D∴易证∠BOD＝∠BOC

∵∠A＝∠BOC∴∠A＝∠BOD

2）如图，在在任取一点P，连结BP、CP；仿1）可得∠BOD＝∠P

∵∠P＋∠A＝180º∴∠BOD＋∠A＝180º

16、证明：

如图（9），作△ABC的外接圆，令∠A的平分线和圆周的交点为D，若由C作AD的垂线和圆周交于E，和AD交于F，

∴∠AFC＝90º，

∴易证＝半圆周。

∵AD为∠BAC的平分线，∠B＝∠BAC

∴

∴＝半圆周

∴EC是外接圆的直径，即CE过△ABC的外心。

17、证明：

如图，连结BI、CI。

∵BI平分∠ABC，DE∥BC

∴∠1＝∠2＝∠3，∴DB＝DI

同理EC＝IE

∴DE＝BD＋EC

设AM和DE的交点为N，则N是DE的中点（易证）。

设过N作与DB、EC平行的两直线和BC的交点分别为F、G则NF＝DB，NG＝EC，

∴NF＋NG＝BD＋EC＝DE

易证NF＋NG>2NM∴DE>2MN

又∵N是DE的中点∴∠DME是钝角。