平面几何三角形四心竞赛题A卷及答案.doc

1、三角形四心竞赛训练题1一、填空题1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的 心；三个角的平分线的交点叫做三角形的 心；三条中线的交点叫做三角形的 心；三条高线的交点叫做三角形的 心。2、在ABC中，A=40，为ABC的内心，则BOC 度。3、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的 倍。4、已知三角形三边长分别为3、4、5，则其内切圆半径为 。5、设ABC的垂心为H，则BHCBAC= 度。二、解答题6、如图1，ABC中，AD为BC边的高线，点O为ABC的外心，求证：BAO=DAC。7、求证：三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于中线长的。8、如图2，RtABC的内切圆O和

2、斜边BC的切点为T，求证：。9、如图3，已知ABC的内心为I，BCI的外心为D，求证：A、B、C、D四点共圆。10、如图4，已知ABC的内切圆和BC相切于D，求证：ABD、ACD的内切圆相切。11、如图5，设ABC的垂心为H，并且直线AH和外接圆及边BC的交点分别为E、D，求证：HD=DE。12、如图6，ABC的垂心为H，外心O到边BC的距离为OM，求证：AH=2OM。13、如图7，ABC的垂心为H，外心为O，若A60；求证：三直线HO、AB、AC所作成的APQ是正三角形。14、如图8，ABC的垂心H，若垂足三角形DEF的外接圆和HC的交点为G，求证：HG=CG。15、设从ABC的外接圆的圆心

3、O向BC边作垂线OD，求证：BOD=A或者BOD+A=18016、如图9，ABC中，A=2B，由顶点C作A的平分线AD的垂线CF，垂足为F，求证：CF经过ABC的外心。17、如图10，设过ABC的内心I作BC的平行线和AB、AC分别交于D、E、M是BC的中点，求证：DME是钝角。重内垂外A卷一、填空题1、外；内；重；垂；2、110(提示：试证BOC90A)3、2(提示：连结外切正三角形与圆的3个切点得内接正三角形，再证圆的所有内接正三角形全等)4、1(提示：此三角形是直角三角形，用切线长定理或面积法可得；面积公式，p为三角形周长，r为内切圆半径)5、180；(提示：将BHC转化成它的对顶角)二

4、、解答题6、证明：如图，过O点作OEAB于E点，连结OB，OEAB于E，AEEB。OEOE，OA=OB，OAEOBE，1AOBCAOB(同弧所对的圆周角是圆心角的一半)1CADBD于D，C+DAC=901+BAO=90BAO=DAC7、已知：如图，ABC中，中线AD与中线BE交于点M，连结CM并延长交AB于F；求证：AFFB，AMAD证明：延长MD到G，使DGMD，连结BG、CG，BDDC，MDDG，四边形BMCG是平行四边形。BMGC即MEGCAEECAMMCADCMBG即MFBGAFFB8、证明：如图，设AB切O于E，AC切O于F，连结OE、OF、OTO为ABC的内切圆，切点分别为T、E、

5、F，BTBE、AEAF、CFCTBT (BCBAAC)CT (CACBAB)，9、证明：如图，连结BD、ID、CD、AID为BIC的外心，DBDIDC，13，24。I为ABC的内心，12180 (ABCACB)180(90A)90BACBDC3602(12)360180BAC180BACBACBDC180A、B、C、D四点共圆。10、证明：如图，设ABC的内切圆和AC、AB的切点分别为E、F，ABD的内切圆和AD的切点为K。2AKABADBD又ABBDABBFAF2AKADAF同理，若ACD的内切圆和AD的切点为，则AFAEACD、ABD的内切圆相切。11、证明：如图，连结BEBFAC于F，1

6、C90AEBC于D，2E90。CE(同弧所对圆周角相等)12HDBEDB90，BDBD，BDHBDE，HDDE12、证明：如图，连结DC、AD。BD为O的直径，DCBC。OMBC于M，BOODOMDC且OMDCAHBC，AHDCCHAB，DAABCHAD四边形AHCD为平行四边形。AHDCAH2OM13、证明：如图，连结OA、AH过O点作OMBC于D交O于M，连结MH。BAC60是O周长的易证ODDM又AH2OD(上题已证)AHOMAHBC，OMBCAHOM， 四边形AOMH为平行四边形。AOOM，四边形AOMH为菱形，AMPQPAMCAM30PAQ为等边三角形。14、证明：如图，连结DG、D

7、E、DF、EFCFAB于F，ADBC于D，BFCBDH180B、F、H、D四点共圆。23同理可证A、E、D、B四点共圆，1312同理可证45(注：4为EFC，5为CFD)HDG1EDG2425DHG25，HDGDHGHGGDHDC90GDCGCDGCGDHGGC15、证明：如图，连结OCODBC于D易证BODBOCABOCABOD2)如图，在在任取一点P，连结BP、CP；仿1)可得BODPPA180BODA18016、证明：如图(9)，作ABC的外接圆，令A的平分线和圆周的交点为D，若由C作AD的垂线和圆周交于E，和AD交于F，AFC90，易证半圆周。AD为BAC的平分线，BBAC半圆周EC是外接圆的直径，即CE过ABC的外心。17、证明：如图，连结BI、CI。BI平分ABC，DEBC123，DBDI同理ECIEDEBDEC设AM和DE的交点为N，则N是DE的中点(易证)。设过N作与DB、EC平行的两直线和BC的交点分别为F、G则NFDB，NGEC，NFNGBDECDE易证NFNG2NMDE2MN又N是DE的中点DME是钝角。