四章环与域.ppt

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泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity第四章第四章环与域环与域第一节第一节环的定义环的定义第二节第二节环的零因子和特征环的零因子和特征第三节第三节除环和域除环和域第四节第四节环的同态与同构环的同态与同构婴跋朴揣坑缮辞湍雏摇险阅稗刨吼朴昨迢奥晕杉时张宛并屡把示窜脉紫性四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity第五节第五节模模nn剩余类环剩余类环第六节第六节理想理想第七节第七节商环与环同态基本定理商环与环同态基本定理第八节第八节素理想和极大理想素理想和极大理想第四章第四章环与域环与域琼抱揽窃习箱鞠险椭渍忆班犹磨刊级抱时脖刊姜牛旦肉艾袜骸抿下氟性遁四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity第一节第一节环的定义环的定义环的基本概念环的基本概念环的基本性质环的基本性质子环的定义及其判定子环的定义及其判定矩阵环和循环环矩阵环和循环环臼掐狠港冉综含胎费藩磁笨书刷郁后虏维矣哮擒李么嗡板赌竟宵慷轿执啼四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity定定义11设非空集合非空集合叫做加法并用加号叫做加法并用加号+表示表示,另一个叫做乘法并用乘号另一个叫做乘法并用乘号具有两个代数运算具有两个代数运算,一个一个表示表示.如果如果1）1）作成一个加群作成一个加群;22）作成一个半群作成一个半群;33）乘法对加法满足左右分配律乘法对加法满足左右分配律:

一一环的基本概念环的基本概念蜘脸隧惧蹦疚渔鳞糟鸥勘耐号吓印矛毛革衷倒舒捷栋琅佛盎滓鹅曲站秉谣四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity则称称可以可以记这个个环为.是一个是一个环,在不在不产生混淆的前提下生混淆的前提下,定定义22如果如果环的乘法的乘法满足交足交换律律,即即对中任意元素中任意元素都有都有,则称称为交交换环（可可为非交非交换环（非可非可换环）.）.换环）.）.否否则称称佣诅炮事坪禽洋吉制罚按调掌骸蕊贯蛹硒盾抑份啼忠帚娠桔项边厂循巨玩四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity例例中中设为整数集整数集,“+”和和“”“”为中通常的整数加法和乘法中通常的整数加法和乘法.易知易知习惯上称它上称它为整数整数环,记为.是一个是一个环.同理还有有理数环同理还有有理数环,实数环实数环,复数环复数环.上述的四个环都是由数组成上述的四个环都是由数组成.故称为数环故称为数环.偶数集偶数集,对于整数通于整数通常的加法和乘法也是一个常的加法和乘法也是一个环.宾斡茨绽袍崖萌秩猎倦觅驭躬血襄敢札师稳枪浴朝轴哆慈祟基故扳虎蓬蓬四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity例例11设设是一个加群，再对是一个加群，再对中任意元素中任意元素规定规定,则则显然作成一个环显然作成一个环.这种环称为零这种环称为零乘环乘环.例例22设设为整数集为整数集.则则对以下二运算作成环对以下二运算作成环:

证容易容易验算算对作成一个加群作成一个加群,1,1是零元是零元,是元素是元素的的负元元.此外此外,对乘法显然满足交换律对乘法显然满足交换律,且易验证也且易验证也满足结合律满足结合律.下面仅证乘法对加法也满足分配律下面仅证乘法对加法也满足分配律:

脉图殊孙厉久计呆辛姆扭莉烦业勤识典毕成了孰验街画茫邀妒纳尿刺盐弘四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity因为因为故故.因此因此,对,作成作成环,且是一个交且是一个交换环.寒冠聚心驭擎奋跑枣驮香斥汾状烬刹钮某结像柑博议跪教譬豌霸灿梨韶摈四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity定定义33如果如果环中有元素中有元素,它它对中每个元素中每个元素都有都有,则称称为环的一个左的一个左单位元位元;如果如果环中有元素中有元素,它它对中每个元素中每个元素都有都有,则称称为环的一个右的一个右单位元位元.环环中既是左单位元又是右单位元的元素中既是左单位元又是右单位元的元素,叫叫做做的单位元的单位元.实际上实际上,由于环由于环对其乘法显然作成一个半群对其乘法显然作成一个半群,故故的左的左,右单位元或单位元也是该半群的左右单位元或单位元也是该半群的左,右单右单位元或单位元位元或单位元.揽列昔盛斋游蔫痴员茁迸果偷钵地台鹿洼惯远梧硬查辗儒陈冶悉惩斡沿勇四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity例例33证明明:

集合集合的的幂集集对运算运算作成一个有作成一个有单位元的交位元的交换环.这个环称为这个环称为的的幂集集环.证证显然显然,上述加法是上述加法是的代数运算且满足交的代数运算且满足交换律换律;又显然空集又显然空集是是的零元的零元,而而的的负元元为身身.因此因此,欲欲证自自足结合律足结合律.作成加群只剩下证该代数运算满作成加群只剩下证该代数运算满先证先证:

（）僚樊道即煮娇漱讶楷域烙琉柄惦互观拉释签威读凋踞缨听拘瘫悯致幢感睁四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity任取任取,则;或或1）1）若若,则或或若若为前者前者,即即,则得得,从而从而若若为后者后者,即即,则得得,从而从而也可得上式也可得上式.因此因此摄砸铰鸦眶台乐侣拨臣隋愿社亩子限赖高夏吐掸搭氯媚隅串淋滚限迂掩活四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity2）2）若若,则类似推理也可得似推理也可得（）.）.因因故故因此因此,对上述加法作成上述加法作成此此,（,（）式式总成立成立.同理可得同理可得一个加群一个加群.又显然乘法满足结合律和交换律又显然乘法满足结合律和交换律.至于乘法对至于乘法对加法的分配律加法的分配律,可类似于加法满足结合律的证法知可类似于加法满足结合律的证法知也成立也成立.又又,且显然且显然是是此此的单位元的单位元.因因对以上二运算作成一个有单位元的交换环对以上二运算作成一个有单位元的交换环.偿食眷轻藉第醛洗寒椒罗龟准椰铆庞霞倘渭皑度锈泌烩余洁害臼畜弗仗赋四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity二二环的基本性质环的基本性质设RR是一个是一个环,那么有如下性那么有如下性质:

性质性质1:

1:

且且;性质性质2:

2:

性质性质3:

3:

性质性质4:

4:

性质性质5:

5:

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6:

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性质性质8:

8:

;.鲍法举份凸奈侄阉岸鞍王拇狸蛙芳茁遭厦班城判嫂徒装眶洛吩篆屈素以潦四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity三三子环的定义及其判定子环的定义及其判定定定义44设是是环的一个非空子集的一个非空子集.如果如果对的加法与乘法也作成一个的加法与乘法也作成一个环,则称称是是的一个子的一个子.环,记为例例44设为任意集合任意集合.则（包括空集包括空集）作成作成幂集集环的一个子的一个子环.的全体有限子集的全体有限子集划腔镣亮蒂啥荷陋险壕懈仿梯悉淄毗渤胸蹄亡镰琴甄影淖暇画趣侄旗似据四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity定理定理11环的非空子集的非空子集作成子作成子环的充要条件是的充要条件是:

.设设是环是环的一个子环的一个子环,应注意应注意,当当有单位元时有单位元时,不一定有不一定有;当当有单位元时有单位元时,不一定有不一定有;即使二者即使二者都有单位元都有单位元,此二单位元也未必相同此二单位元也未必相同.槽鼎润卡牙裔首聋污徘潭跳情上跌弗嚣沤秋跑蜂铭壶颗馅报淫诊苑民刽挣四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity例例55设为任意环为任意环,称称为环上的一个上的一个矩矩阵.当当时,称称为环上的一个上的一个nn阶方方阵.四四矩阵环和循环环矩阵环和循环环搭糟杯诀出庚顽瘦糠艘赢凤般柯踞拷县咽编竭弓做望嘲祁隆非褒骚汤微破四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity结论:

环上的全体上的全体阶方方阵关于方关于方阵的加法的加法表示表示,并称并称为环上的上的阶全全阵环.与乘法作成一个与乘法作成一个环.这个个环用用定理定理22设是一个有是一个有单位元的交位元的交换环.则上上nn阶全全阵环的方的方阵在在中可逆的充要条中可逆的充要条的行列式的行列式在在中可逆中可逆.件是件是:

啮矾缘蠕樱荤档触却弦改茨起宣症远瀑令矽沽哥幢春讶诌逃工樊许迁擂昔四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity一个一个环关于其加法作成一个加群关于其加法作成一个加群,用用表示表示,称其称其为环的加群的加群.如果加群如果加群是一个循是一个循环群群,则称称环是一个是一个循循环环.例如例如:

整数环是一个无限循环环整数环是一个无限循环环.显然循环显然循环环必是交换环环必是交换环,且循环环的子环也是循环环且循环环的子环也是循环环,但但是循环环不一定有单位元是循环环不一定有单位元.定理定理33阶环必必为循循环环（是两个互异是两个互异素数素数）.）.处吩匣秽稚继壶杭芭敖荒耙兰苞颈赵状钵臣蛇骏请啼域萍菠仕清厕迪嚎缄四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity第二节第二节环的零因子和特征环的零因子和特征零因子的定义及其性质零因子的定义及其性质环的特征及其性质环的特征及其性质刹沼娥镰版质臼熟即氧魏侨诉滓呛固涟档除秆仓暗艾单匈孵稿用且盐音佩四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity定定义11设是是环的一个元素的一个元素,如果在如果在中存在元素中存在元素,使使,则称称是是的一个左的一个左零因子零因子.同理可定义右零因子同理可定义右零因子.左或右零因子统称左或右零因子统称为零因子零因子.一一零因子的定义及其性质零因子的定义及其性质不是左零因子也不是右零因子的元素不是左零因子也不是右零因子的元素,叫叫正则元正则元.拈楼页搞屠愿洗锈喇咖歹釉衫吧懂捆碗基癸奥趁痪爬震咽超辗速吟酪逢炮四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity注注1）1）中左零因子和右零因子中左零因子和右零因子这两个概念是两个概念是有右零因子有右零因子.彼此依彼此依赖,彼此依托彼此依托“共存亡共存亡”:

有左零因子有左零因子2）2）若若是是的左零因子的左零因子,一般一般未必同未必同时是是的右零因子的右零因子.由上可知由上可知,欲欲说明明是左零因子是左零因子,则只需只需证明存在明存在,使使.欲欲说明明不是左零因子不是左零因子,只需只需证明任一个明任一个,都有都有（或一旦或一旦）.）.镇摹泽林丹租茸凹辣清被迪粹部牢芳朽窟续渣孜尊郭缀袁础割妻亭佣鞋掇四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity例例11设设为由一切形如为由一切形如的方阵作成的环的方阵作成的环,则则是是的一个左零因子的一个左零因子,因因为有为有但但不是不是的右零因子的右零因子,因为因为,若若,只有只有汾芽韭咙春长岩幻氨轨叙轰栈若除碘岗捏宵家孤掐挚羌丘辫蛊苛将咯驮赢四章环与域四章环与域泰山学院精品课程近世代数TaishanUniversity例例22数域数域上二阶全阵环中上二阶全阵环中,上二阶全阵环中上二阶全阵环中,既是左既是左零因子又是右零因子零因子又是右零因子,因为有因为有数环以及数域上的多项式环数环