连续介质力学几个定律汇总Word文档下载推荐.docx

连续介质力学几个定律汇总Word文档下载推荐.docx

《连续介质力学几个定律汇总Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续介质力学几个定律汇总Word文档下载推荐.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

h

•

A

a

亠亠_1_r\liLJ/-丄-丄

VhA3

2.104式也可写成

何截面上的应力矢量，因此应力张量完全地刻画了物体中一点的应力状态。

由A面上的应力矢量ti的定义可知，人二1X,t,而由式2.108知

Tj・TjX,t,因此式2.109变为

tX,t,n-nTX,t（2.113）

上式就是柯西假设的具体形式，常称之为柯西基本定理。

下面我们研究应力张量T的各分量的力学意义。

考虑到

可小二te.

故知，Tj代表作用于e方向截面上的应力矢量ti在&

方向上的分量，如图25所示。

我们从图2.5看到，应力张量T的对角线元素Tjj位于所作用平面的

法线方向内，故称之为法向应力分量；

应力张量T的非对角线元素石（i式jJ位

于所作用的平面内，故称为剪切应力分量。

2.2质量守恒定律

物质无论经过怎样形式运动，其总质量是不变的，这就是古典连续介质力学中的最重要规律之——质量守恒定律。

下面我们研究质量守恒定律的数学表达式。

设'

为物体的密度，取表示物质点的体积，由于在运动过程中质量保持不变，所以

D：

・dV二0Dt

展开有

■DdVD・dV=ODtDt

又由式

HdV亠dV

Dt:

xj=divvdV

于是式2.202可写成

DP

Dt

其不变性形式为

DPc

divv=0

Dt其中

“汀

ViDt:

t:

xi

cr—vi

■

Ct把上式代入式2.204,则得即+爼和二0t;

Xj其不变性形式为

（2.201）

（2.202）

（2.203）

（2.204）

（2.205）

（2.206）

（2.207）

divV=0注明v是张量，’只是一个函数，既不是矢量，又不是张量

:

t

（2.208）

式2.205和式2.208就是质量守恒定律的数学表达式质量守恒方程，在连续介质力学中常称为连续性方程。

在正交曲线坐标系中，利用式：

出二gig”连续性方程可写为

连续性方程也可用物质描述法表示。

Vorx,to-0=v.xW%„xX）t）tjdVo

（2.213）

Vo是物质在时刻t。

所占据的体积。

于是

甘+曰Mn圧卄：

U71口*咗刁1匚匚1-电丘占h/*工口序

（2.214）

二Vo,X,tJdV。

因为这个关系式对任意体积V。

都必须成立，故得

订J（2.215）

它表示J与时间无关，即

J=const（2.216）

这就是物质形式的连续性方程。

2.3动量平衡定律

欧拉把下列关系作为在连续介质中普遍成立的一般性原理：

Dm・fDt

它称为欧拉第一运动定律。

上式说明任意物体具有（2・3°

1）的动量的变化率等于作用

于该物体上的合力仁

S上连

设所研究物体在其体积V上受有连续分布的体力和在其体积的边界面

续分布的接触力匕因此物体上所受合力为

f=fb+fc

（2.302）

其中

fb=.v:

?

bdV

（2.303）

fc二.stdS

（2.304）

物体的动量为

m=vhdV

（2.305）

于是将式2.302和式2.305代入式2.301贝U

vAadV=jstdSv；

七dV

D2x

其中玄二贷表示X点的加速度。

由式2.109,

snTdS亠|vTbdV二vPadV

利用高斯公式

snTdS二八TdV

则得

sTdVJbdV

PadV

（2.306）

可将上式改写为

（2.307）

（2.308）

（2.309）

ViT-刀dV-0

考虑到V的任意性，则

\T—：

ba=0即

（2.310）

（2.311）

divT-:

Tji；

Jb,二记

（2.313）

展开得

-X-I；

玫2：

X3

（2.314）

-：

X1：

X2:

（2.315）

-X-l：

X2；

x3

（2.316）

需要指出的是，这里的散度是对于空间坐标的。

其指标形式为

（2.312）

上式称为柯西第一运动定律

特别地，在静止的情况下，物体的加速度为零，则式

2.313化为

divT=0

在弹性力学中，上式称为平衡方程。

在柱面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.d玉+丄勺1+£

1三+人一丁田十PQ=0

」rT71_zr

<

1J殳卫D

rrvzr

孚+1电+玉+卫+%=o

r—71.zr

在球面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.e

（2.317）

可得上式化为

（2.318）

（2.319）

（2.320）

，则2.317式可化为

乎汁爲寺72Trr8叫佗—r=°

2.321）严？

寺珠孕7兀丁COg「丁」论=°

322）

牛+壬72T--Tr曲一rjb=o皆今

2.4动量矩平衡定律

对于任意物体下列关系式成立:

DMtx0=1X0

（2.401）

其中Mx。

表示物体绕X。

点的动量矩,1xo表示作用于物体上的力对X。

点的合力矩上式称为欧拉第二运动定律。

设作用于物体上的力矩只是由体力和接触力引起的

1x0二vT[x-XobdVs

而物体的动量矩为

x「x）tdS

，故其合力矩为

（2.402）

Dx亠

Mxo=v；

:

[X・X。

dV

将式2.402和式2.403代入式2.401,并考虑到

DDx

jvP（x——x°

~~—dV

DtDt

Dx-XoDx、

dV亠ivIx-Xo

（2.403）

（2.404）

D2X

dVVYY?

dV

Q|2A"

Ao

=v:

X空DPV张量本身叉乘是0,VFiX-Xo

•DtDt

D2xdVvx-xoDADYdV质量守恒DtDt丫

Dt2

可得

V

a=其中

（2.405）

x-x°

adV二v'

x・x°

bdVsx-x°

tdSD2X

「表示x点的加速度。

考虑到式2110和高斯公式，则

（2.406）

v「X-XobdVsX-XotdS-vrx・X。

adV可知sX-x°

tdS二vx-x<

>

nTdS

二Jx—x°

bdV$x-XonTdS・v・x・x。

adV

—vTX-Xo

-adV•snTx-沧dS混合积互换

=.vUx-xob-a?

W|[T

x-xo屮dV积分定理

vW：

jkX-X°

i

bj

•a」eA叭

X.-Xo,Aek0V张量运算

=.v:

jke/X,

=Jv®

ljkekb（X|

TjX,f*dV

—oN（bj—aj）”F;

i（X|—xo,）+Tjd（X|—xoi

bj-aj-

JAdV

Wkd[（x-X01）x（Tj；

i+Pbj・PaJ+TiAi/idV根据平衡方程，红色部分为

-VdjkTij--iiekdV

-V；

ijkTijekdV

■0（2.407）

考虑到体积V的任意性，得

寸=0（2.408）

因此，Tj必须对称张量，即

Tjt（2.409）

或

T=r（2.410）

上式叫做柯西第二运动定律。

柯西第二运动定律限定应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。

2.5能量守恒定律

那么连续介质的能量守恒定律

在连续介质中，如果只研究力学量的影响，而不考虑热学效应可以直接由运动方程导出。

首先，将运动方程

Dv

iT「b二—（2.501）

点乘速度矢量v

（2.502）

（2.503）

v\T1亠‘Vb=；

vDt

在体积V上积分

v"

罟二vvITdVv2bdV

・vvdV

Dt<

2丿

D?

VivvDOV质量守怛ODt

vvvdV

―D_1

BtvvvdV

_2

□昌V丄VdV

=DK（2.504）

上式表示在体积V中的总动能K二v丄?

"

dV的时间变化率。

另外，考虑到

V、T二皿

二VE,MTj丿（Tv八v:

T

八Tv-DW:

/（Tv-D:

T-W:

T反对陈与对称双点乘是0

八Tv-D:

T（2.505）

这里利用了反称张量W与对称张量T之间的双重点积为零的性质。

把式2.504和式2.505代回到式2.503中去，则得DK

vD:

TdV二八TvdVv“bdV（2.506）

运用高斯公式把上式右边第一体积分化为面积分，并利用柯西假设t=t=nT,贝UvTTvdV-snvdS添加取掉无影响

=stvdS（2.507）

将上式代入式2.506,于是我们得到在纯力学作用下的能量方程

DK

A-vD:

TdV二stvdS•v6vdV其中D是速度梯度的对称部分

（2.508）

其中方程左边两项分别表示连续介质的动能和内能右（应力生热）的时间变化率,

边两项分别表示接触力和体力所做的功率。

若令U表示内能，则能量方程

5.508也可简洁地写成

DKDUDWDtDt一Dt

—（2.509）

其中盲表示接触力和体力的功率，记号D表示这个量不一定能写成某个函数的全微分形式。

如果同时考虑机械能和非机械能，那么就必须用能量守恒定律的一般形式。

能量守恒定律的一般形式可以表述为：

动能加上内能对时间的变化率等于总功率加上在单位时间内供给物体的各种其它形式的能量。

这些能量包括热能、化学能、电磁能等等。

本书只考虑机械能和热能，于是能量守恒定律就化为著名的热力学第一定律的形式。

对于热力连续介质（thermomechanicalcontinua）来说，通常把内能的时间

变化率写成

DU

二v3dVvUD—V是0DtDt

（2.510）

二vDAdV

其中u称为比内能，表示每单位质量的内能密度。

另外，我们定义矢量f为在单位时间内每单位面积的热通量，函数q为在单位时间内每单位质量的热辐射量，于是物体总热量的增量变化率为

0sfndSvgdV（2.511）

其中n为物体表面的外法向，热通量矢量f由傅立叶定律给出，即心“丁（2.512）

这里k为热传导系数，T为温度。

于是热力连续介质的能量方程可以写成

DKDUDWDQ

+二+（2.513）

DtDtDtDt

或写成积分形式

v-vdVvr—dV=stvdSv:

、vbdV_sfndSvgdV

Dt2Dt

（2.514）把上式右边面积分化为体积分后再移到左端，则有

fv罟“dV=JvF（Tv）十Pvb-卩f+Pq】dV高斯公式

（2.515）

由于体积V是任意的，故有

—u—11Tvvb—丄ifq（2.516）

利用式2.505,贝U上式化为

vDy.DE二丄D-TviT1vb_±

ifq（2.517）

DtDt?

（

整理得

巴二丄D:

T-丄ifq」viT汁-平衡方程oDtDt

（2.518）

考虑到运动方程成立，则有

Du11

D:

Tfq（2.519）

11：

：

fi（、

DtDjjTj・q（2.520）

PiJIJC3*

上式表示物体内能的时间变化率等于应力功率和吸收的热量之和

式2.513、式2514、和式2.519都是能量守恒定律的表现形式。

2.6状态方程*商定律

完整地表征一个热力学统称做是对这个系统状态的描述。

用来描述这个状态的物理量称状态参数。

状态参数随着时间变化表征一个热力学过程。

但是，在一般情况下，这些状态参数并不全是独立的，它们之间存在着某种关系。

这种关系就称为状态方程。

如果某个状态参数可以通过其它几个状态参数表出,则称它为状态函数。

现在，我们考虑一个均匀的热力学系统，它处于平衡状态，即在没有外界影响的条件下，系统的各部分在长时间内不发生任何变化。

描述这样一个热力学系统的状态参数为：

几何参数V（体积）、力学参数p（压力）及热力学参数T（温度）。

联系这三个量的关系的状态方程可写成

F（p,V,T）=O（2.601）

这里需要指出的是，对于一定的物质来说，状态方程是普遍适用的，也就是说，构成热力学系统的物质一经选定，状态方程的具体形式也就确定了。

例如对于完全气体而言，状态方程的具体形式可写成

pV'

RoT（2.602）

M

其中m为气体的质量，册分子量，R。

是克分子气体常数。

在上一节我们曾叙述过热力学第一定律，它公设机械能和热能可以互相转换，但是，只根据热力学第一定律还不能判定这种转换过程是否可逆。

事实上,所有的真实过程都是不可逆的，但可逆过程却是一个非常有用的假设，因为在许多情况下，能量耗损是可以忽略不计的。

可逆性判据由热力学第二定律给出。

热力学第二定律公设存在两个独立状态函数：

绝对温度T和炳S。

它们有如

下性质：

绝对温度T为一正量，它仅仅是经验温度班即我们通常见到的温度）的函数，储S和体积V—样，是一个广延量，而温度是与爛相对应的强度量，正如压强是与体积相对应的强度量一样。

一个物体的强度量代表物质的内在性质，与物体的质量大小无关，而一个物体的广延量则可分解为物体上各个子部分上的广延量之和。

因此，一连续介质的总*商S可写成下列形式：

（2.603）

S-vMdV

这里s表示连续介质中的储密度，即每单位质量中的炳。

一个系统的储既可由于与外界相互作用而发生改变，也可由于系统内部发生变化而改变，因此

ds=dsf）+ds°

）（2.604）

这里ds是*商密度的增量，ds。

是由于与外部相互作用而引起的炳密度增量。

dsi是由于系统内部发生变化而引起的*商密度的增量。

d&

决不能为负值。

它在可

逆过程中为零，在不可逆过程中为正，即

ds「0（不可逆过程）（2.605）

（2.606）

dsi=0（可逆过程）

在可逆过程中，如果令dqR表示供给系统的每单位质量的热量，则dse可

表示为

dse「牛（可逆过程）（2.607）

按照热力学第二定律，在连续介质所占据的物理空间中总储的时间变率不小于通过连续介质表面流入的炳与连续体内部源产生的爛之和。

在数学上，这个炳原理可以以积分形式表示为

dv*sdV-v'

edV・s"

dS（2.608）

dtT

称之为克劳修斯一杜姆不等式，其中e为单位质量中的局部储源。

上式中的等号成立时表示可逆过程，不等号成立时代表不可逆过程。

利用质量守恒定律

dtv齐'

dvvs防v

_f蚁'

Jvdt

（2.609）dtPE

2.7主应力最大剪应力

—扎

（2.705）

（2.706）

（2.707）

或写成不变性形式，即

Tn=n

T—In=0

写成展开形式，则为

Tn・'

Ti2n2T13n3=°

T21门1・丁22•门2

T23n3=0

T31rii■丁32门2：

：

；

，汀33-53=0（2.708）

上列方程中n具有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零，即

7（2.709）

32

■-1r12*-|3=0（2.710）

li=Ti+T22+^.=Ti=trT（2.711）

^11壬2

+

fl3

T22"

l~23

qT22

|132"

^33

=2TiiTjj-Tj

二1[trT2-trT2I（2.712）

T1T2a13

I3二飞2T22T237=detT（2.713）

T31T32%3

这里h,I2,h是应力张量T的三个主不变量，分别称为第一、第二、第三应力

123

不变量。

方程的解"

-2,为特征值，n,n,n为特征矢量。

其中若r.j,则m

事实上，在川方向上法向应力值就是ni所对应的特征值。

将式2.706与"

点乘，得人二紅rT"

=n〔TnAt,nl（2.714）

则「就是f方向上的应力，称为主应力，而”称为主方向，主方向所确定的平面称为主平面。

若“和门」不两个不同的主方向i=j,则在n,面上计方向的剪应力Tj为

•••

T=nTn]nnO（2.[15）

故主应力平面上的剪应力为零。

若以⑴，”，眄为坐标单位基矢量，并令

-i=T,则应力张量矩阵具有下列形式：

T100I

T]=0t20（2716）

■00T3—

T=TnA（2.717）

（2.718）

（2.719）

（2.720）

现在我们来讨论最大剪切应力问题为了计算方便，不妨将坐标系选取在主方向上，即取何，e>

e3）为主方向。

设n是通过物体内一点的某一平面的单位法向矢量，则

n=nen2e2n363=nkek

作用于该平面的应力矢量分量为

t=nT二nkekTeie

rikTj'

kiG=niTGi

在该平面上的法向应力为

Tn二tn二niTje「ej

=n：

T

若以Ts表示该平面的总剪应力的大小（如图2.6）,

222

Ts=t-Tn

22

Ts=tt-Tn=n"

占rijTjej—口口丁］2

=nmT2—hnH2

（2.721）

u

（2.722）

（2.723）

=n2T2_T2

iin假定在式2730中nuO,匕二0,压=0,贝2

我们仍运用拉格朗日乘子法计算fn=nn_1=口口-1=0

Ts的驻值，考虑到n为单位矢量，令

（2.724）

则

（2.725）

cTs2cni

=2nn——2「

”k

=2nTi20・2人2n「空

•i，cnk

2

=2njT「ik-4TnniTr*ik

=2门庄2-4nJnT[

艸Ti-2TTn

（2.726）

ng-1

・rik

=2ni5=2nr=2nk

（2.727）

2nkTi2-2TTn'

=0

（2.729）

2n,T2_2硏・=0

2n2T22-2TnT2■=o

2nsT32-2TnT3■=o

（2.730）

利用条件2.724,片=±

1,

H=勺，

n3=,

则方程组2.730显然有一组解

n2=u3=0

nAi=n3=0

n1=n2=0

但是这组解所确定的平面就是主平面，而在主平面上求的解。

T-2TnTi

（2.731）

Ts=O,这不是我们所要

T2—2TnT2：

y=0

将上列两式相减，则有

「2_T22・2Tn（Ti—T2）=0

故得

（2.732）

（2.733）

（2.734）

把它代入式2.721中并与riiP=1联立，则可解得

11c

n»

»

2,nA_2,n«

（2.735）

这时n方向与主方向e>

e3成45度角。

（2.736）

（2.737）

eO,ns-0则对应的n值分别

同样，若设m・0,rPO,ri3・0和m=o,为

11

nA-,2,02%

nA-,2

和

n1=0,ri2

ri3：

考虑到上列三组驻值，则

当n£

eie2时，TA：

1