连续介质力学几个定律汇总Word文档下载推荐.docx

1、hAa亠亠 _1_ r l iL J /-丄-丄Vh A 32.104式也可写成何截面上的应力矢量，因此应力张量完全地刻画了物体中一点的应力状态。 由A面上的应力矢量ti的定义可知，人二1X,t,而由式2.108知TjTjX,t,因此式2.109变为t X,t,n - n T X,t （2.113）上式就是柯西假设的具体形式，常称之为柯西基本定理。下面我们研究应力张量T的各分量的力学意义。考虑到可小二te.故知，Tj代表作用于e方向截面上的应力矢量ti在&方向上的分量，如图25所 示。 我们从图2.5看到，应力张量T的对角线元素Tj j位于所作用平面的法线方向内，故称之为法向应力分量；应力张量

2、 T的非对角线元素石（i式j J位于所作用的平面内，故称为剪切应力分量。2.2 质量守恒定律物质无论经过怎样形式运动，其总质量是不变的，这就是古典连续介质力学中的最 重要规律之质量守恒定律。下面我们研究质量守恒定律的数学表达式。设为物体的密度，取表示物质点的体积，由于在运动过程中质量保持不变，所以D ：dV 二 0 Dt展开有D dV D dV = O Dt Dt又由式HdV 亠 dVDt :xj =divv dV于是式2.202可写成DPDt其不变性形式为DPcdivv =0Dt 其中 “ 汀Vi Dt :t :xicr v iCt 把上式代入式2.204,则得 即+爼和二0 t ; Xj

3、其不变性形式为（2.201）（2.202）（2.203）（2.204）（2.205）（2.206）（2.207）div V = 0注明v是张量，只是一个函数，既不是矢量，又不是张量:t（2.208）式2.205和式2.208就是质量守恒定律的数学表达式质量守恒方程，在连续 介 质力学中常称为连续性方程。在正交曲线坐标系中，利用式：出二gig”连续性方程可写为连续性方程也可用物质描述法表示。Vorx,to-0=v.xW%xX）t）tjdVo（2.213）Vo是物质在时刻t。所占据的体积。于是甘 + 曰 Mn圧卄：U71 口*咗刁1匚匚1-电丘占h/*工口 序（2.214）二 Vo, X,tJdV

4、。因为这个关系式对任意体积V。都必须成立，故得订 J （2.215）它表示J与时间无关，即J =co nst （2.216）这就是物质形式的连续性方程。2.3动量平衡定律欧拉把下列关系作为在连续介质中普遍成立的一般性原理：Dm f Dt它称为欧拉第一运动定律。上式说明任意物体具有（231） 的动量的变化率等于作用于该物体上的合力仁S上连设所研究物体在其体积V上受有连续分布的体力和在其体积的边界面续分布的接触力匕 因此物体上所受合力为f = fb + fc（2.302）其中fb =. v :?bd V（2.303）fc 二.stdS（2.304）物体的动量为m = v hdV（2.305）于是将

5、式2.302和式2.305代入式2.301贝Uv AadV = jstdS v；七dVD2x其中玄二贷表示X点的加速度。由式2.109,sn TdS 亠 | v T bdV 二 v PadV利用高斯公式sn TdS 二八 TdV则得sTdV JbdVPadV（2.306）可将上式改写为（2.307）（2.308）（2.309）ViT-刀 dV -0考虑到V的任意性，则 T ： b a = 0 即（2.310）（2.311）divT - :Tji；Jb,二记（2.313）展开得-X-I ；玫 2 ：X3（2.314）-：X1 ：X2 :（2.315）-X-l ：X2 ；x3（2.316）需要指出

6、的是，这里的散度是对于空间坐标 的。其指标形式为（2.312）上式称为柯西第一运动定律特别地，在静止的情况下，物体的加速度为零，则式2.313化为divT =0在弹性力学中，上式称为平衡方程。在柱面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.d 玉+丄勺1 +1三+人一 丁田十PQ =0r T71 _z r1J殳卫Dr r v z r孚+1电+玉+卫+ %=or 71 .z r在球面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.e（2.317）可得上式化为（2.318）（2.319）（2.320），则2.317式可化为乎汁爲寺7 2Trr 8叫佗r=2.321）严？寺珠孕7兀丁 COg丁论= 322

7、）牛+壬7 2T- - Tr曲一rjb=o皆今2.4动量矩平衡定律对于任意物体下列关系式成立:DMtx0 =1X0（2.401）其中Mx。表示物体绕X。点的动量矩,1xo表示作用于物体上的力对X。点的合力矩上式 称为欧拉第二运动定律。设作用于物体上的力矩只是由体力和接触力引起的1x0 二 vTx-XobdVs而物体的动量矩为xx） tdS，故其合力矩为（2.402）, Dx亠Mxo = v； : X X。 dV将式2.402和式2.403代入式2.401,并考虑到D DxjvP（x x dVDt DtD x -Xo Dx 、dV 亠 iv Ix-Xo（2.403）（2.404）D2X dV V

8、 Y Y ?dVQ|2 AAo=v : X空DPV张量本身叉乘是0, VFiX-Xo Dt DtD2x dV v x-xo DA D YdV 质量守恒 Dt Dt 丫Dt2可得Va= 其中（2.405）x -xadV 二 v x xbdV sx - xtdS D2X表示x点的加速度。考虑到式2110和高斯公式，则（2.406）vX -XobdV sX - XotdS- v rx X。adV 可知 sX - xtdS 二 v x - xn T dS二 J x xbdV $x - Xon T dS vx x。adVv T X -Xo-a dV sn T x -沧dS混合积互换=.vU x-xo b

9、-a?W|Tx-xo屮dV积分定理vW： jk X -XibjaeA 叭X. -Xo, Aek 0V张量运算=.v:jk e/X,=Jvljkekb（X|TjX, f *dVoN （bj aj）”F ;i（X| xo, ）+Tjd（X|xoibj-aj -JAdVWkd （x -X01 ）x （Tj； i + PbjPaJ+TiAi/idV根据平衡方程，红色部分为-VdjkTij-iiekdV-V； ijk Tij ek dV0 （2.407）考虑到体积V的任意性，得寸=0 （2.408）因此，Tj必须对称张量，即Tjt （2.409）或T=r （2.410）上式叫做柯西第二运动定律。柯西第二

10、运动定律限定应力张量为对称张量，其中只有六个独立分 量。2.5能量守恒定律那么连续介质的能量守恒定律在连续介质中，如果只研究力学量的影响，而不考虑热学效应 可以直接由运动方程导出。首先，将运动方程DviTb 二 （2.501）点乘速度矢量v（2.502）（2.503）vT 1 亠V b = ；v Dt在体积V上积分v 罟二vv I T dV v 2 bdVv v dVDt , e3）为主方向。设n是通过物体内一点的某一平面的单 位法向 矢量，则n = ne n 2e2 n 363 = nkek作用于该平面的应力矢量分量为t = n T 二 nkekTeierikTjkiG = niTGi在该平

11、面上的法向应力为Tn 二 t n 二 n iTjeej=n： T若以Ts表示该平面的总剪应力的大小（如图2.6）,222Ts = t -Tn22Ts =t t -Tn=n占 rijTjej 口 口丁2=nmT2 hnH2（2.721）u（2.722）（2.723）=n2T2 _T2ii n假定在式2730中nuO,匕二0,压=0,贝2我们仍运用拉格朗日乘子法计算 fn =nn_ 1 = 口口-1=0Ts的驻值，考虑到n为单位矢量，令（2.724）则（2.725）cTs 2 cni=2nn 2”k=2nTi20 2 人 2n空 i，cnk2=2njTik -4TnniTr*ik=2 门庄 2 -

12、4nJnT艸 Ti -2TTn（2.726）ng -1rik=2ni5=2nr =2nk（2.727）2n kTi2-2TTn =0（2.729）2n,T2_2 硏=02n2T22 -2TnT2 =o2nsT32 -2TnT3 =o（2.730）利用条件2.724, 片=1,H =勺，n3 = ,则方程组2.730显然有一组解n 2 = u3 = 0nAi= n 3=0n 1 = n2=0但是这组解所确定的平面就是主平面，而在主平面上 求 的解。T-2TnTi（2.731）Ts=O,这不是我们所要T2 2TnT2 ： y=0将上列两式相减，则有2 _T22 2Tn（Ti T2）=0故得（2.732）（2.733）（2.734）把它代入式2.721中并与riiP=1联立，则可解得1 1 cn 2, nA_ 2, n（2.735）这时n方向与主方向e, e3成45度角。（2.736）（2.737）eO, ns-0则对应的n值分别同样，若设m0, rPO, ri30和m=o,为1 1nA- ,2, 02 %nA- ,2和n 1=0, ri2,ri3：考虑到上列三组驻值，则当 n ei e2 时，TA：1