专题二 弹簧振子单摆 第七章《机械振动与波》高中物理 教学课件文档格式.docx
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在摆角很小时，sinx/l
又回复力F＝mgsinθ
F＝mg·
（X表示摆球偏离平衡位置的位移，L表示单摆的摆长）
（注意：
sinx/L的得出教师应该利用上图进行具体的推导，以便学生理解）
分析得到：
在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反，大小成正比，单摆做简谐运动。
我们知道简谐运动的图像是正弦（或余弦曲线），那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图像也是正弦或余弦曲线。
从理论上和实际得到的图像中均可看出：
在摆角很小的情况下，单摆做简谐运动。
3、单摆振动的周期：
（1）伽利略发现了单摆运动的等时性，荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的摆动，定量得到：
单摆的周期T＝2π
，即单摆振动时具有如下规律：
①单摆的振动周期与振幅的大小无关——单摆的等时性。
②单摆的振动周期与摆球的质量无关。
③单摆的振动周期与摆长的平方根成正比。
④单摆的振动周期与重力加速度的平方根成反比。
⑤单摆的周期
为单摆的固有周期，相应地
为单摆的固有频率．
⑥单摆的周期公式可以由简谐运动的周期公式
，以
代入而得到．
⑦单摆的周期公式在最大偏角＜5°
时成立（达5°
时，与实际测量值的相对误差为0.01％）．
⑧单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度．
⑨周期为2s的单摆叫做秒摆．
⑩其中L为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。
4、利用单摆可测定当地的重力加速度g．
（1）原理：
由单摆周期公式
得：
．
（2）测量：
用米尺（最小分度为lmm）测出摆长L（悬点到摆球中心的距离）；
用秒表测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t得到T，摆长一般为1m左右，测周期的计时以摆球经过平衡位置时开始．
5、等效单摆：
小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。
只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。
这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。
6、摆钟问题。
单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。
在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：
在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：
⊙方法指导⊙
一、水平方向弹簧振子的几种模型：
1、单弹簧模型：
弹簧振子
弹簧振子的振动是简谐运动的最典型实例。
它由连在一起的弹簧和小球穿在光滑水平杆上并将弹簧另一端连在支架上构成。
通过对它的运动的观察，可以总结出下面四个特点：
①在水平方向振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力，其表达式：
F=-K·
x或a=Kx/m。
②若弹簧的劲度系数越大，回复力越大，振子产生的加速度越大，振子来回振动得越快，因而周期越短。
其次，振子质量越大，产生的加速度越小，振子来回振动得越慢，因而周期越长。
计算表明，弹簧振子的周期公式为：
（此式不要求掌握）
③可见，弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子质量共同决定，跟振幅无关。
如何从运动和力的关系来理解弹簧振子的周期与振幅无关呢？
如图所示。
将弹簧振子从平衡位置拉到B（振幅为A）。
振幅越大，振子在B处的弹力越大，加速度也越大，但振子离开平衡位置的位移也大了，因此，振子从B回到O的时间并不因振幅的大小而改变（为T/4），但振子回到平衡位置时的速度与振幅有关，振幅越大速度越大。
振子从O到C的过程中，若振幅超大，振子离开O时的速度也大，但位移也大了，因此，振子从O到C的时间也不会因振幅的改变而改变（也为T/4），所以，弹簧振子自由振动的周期与振幅大小无关．
④频率：
。
⑤振动过程中位移、速度、加速度、动能、势能、回复力等的关系。
【例题1】如图所示，为一弹簧振子，O为振动的平衡位置，将振子拉到位置C从静止释放，振子在BC间往复运动．已知BC间的距离为20cm，振子在4秒钟内振动了10次．
（1）求振幅、周期和频率。
（2）若规定从O到C的方向为正方向，试分析振子在从C→O→B过程中所受回复力F，加速度a和速度υ的变化情况．
选题目的：
考察弹簧振子振动中各物理量的掌握情况．
（1）
（2）按题设从O→C为正方向，则当振子在平衡位置右侧时位移为正，在平衡位置左侧时位移为负．所以当振子从C→O运动时，位移方向为正，大小在减少，回复力方向为负，加速度方向为负，回复力和加速度的大小都在减小．振子的速度方向为负，加速度与速度方向一致，速度在增大；
振子到达O位置时位移X=0，F、a均为零，υ最大．当振子从O→B运动时，位移方向为负，位移x在增大，回复力F、加速度a方向为正，大小在增大，此过程速度方向为负，a与υ反向，振子从O→B做减速运动，υ在减小，到达B位置时F、a为正向最大，υ=0．
【点评】
2、摩擦力模型：
【例题1】如图所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动。
设弹簧劲度系数为k，但物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（）
A、kxB、
kxC、
kxD、0
〖解析〗对A、B系统用牛顿第二定律：
F=（M+m）a
F=kx
a=
对A用牛顿第二定律：
f=ma=
kx
〖点评〗A、B无相对运动，故可以综合运用整体法、隔离法分析整个系统和A或B物体的运动和力的关系。
（2008四川理综·
14）光滑的水平面上盛放有质量分别为m和
的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。
己知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统象一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（）
A．
B．
C．
D．
3、双弹簧模型：
【例题1】
（2007江苏物理·
16）如图所示，带电量分别为4q和－q的小球Ａ、Ｂ固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。
若杆上套一带电小环Ｃ，带电体Ａ、Ｂ和Ｃ均可视为点电荷。
（１）求小环Ｃ的平衡位置。
（２）若小环Ｃ带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x（∣x∣<
<
d）后静止释放，试判断小环Ｃ能否回到平衡位置。
（回答“能”或“不能”即可）
（３）若小环Ｃ带电量为－q，将小环拉离平衡位置一小位移x（∣x∣<
d）后静止释放，试证明小环Ｃ将作简谐运动。
（提示：
当
1时，则
）
二、竖直方向弹簧振子的几种模型：
①在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
②平衡位置是重力与弹力相等的位置。
③可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是
这个结论可以直接使用。
【例题1】如图a所示，将弹簧振子沿竖直方向悬挂起来，弹簧的劲度系数为k，重物的质量为m．小球在平衡位置时，原先静止。
在竖直方向将小球拉离平衡位置，松开后，小球就以平衡位置为中心上下振动．证明：
小球做简谐运动。
考查简谐运动公式的运用．
【证明】设小球静止时，弹簧伸长为X0，根据平衡条件：
K·
X0=mg①
设向下为正方向，小球平衡位置为原点，小球振动过程中任一时刻，偏离平衡位置的位移为x（图b），则在此时刻弹簧的伸长量为X0+X；
小球受弹力f=K（X0+X），方向向上．小球所受回复力为F：
②
将①代入②得F=-K×
X。
若x>
0，则F>
0，表示小球在平衡位置下方而合力方向向上；
若X<
0，表示小球在平衡位置上方而合力方向向下．回复力满足F=-K×
X的条件，
所以小球做简谐运动．
【变式】如图所示，一个竖直弹簧连着一个质量M的薄板，板上放着一个木块，木块质量为m.现使整个装置在竖直方向做简谐运动，振幅为A。
若要求在整个过程中小木块m都不脱离木板，则弹簧劲度系数k应为多大？
〖解析〗木板运动到最高点又不脱离，弹簧可能处于两种状态：
无形变状态和压缩状态。
若恰好脱离，则弹簧此时无形变，m、M的加速度均为g，此时，系统回复力为：
F=（M+m）g
所以弹簧在平衡位置时的弹力为：
kA=（M+m）g
k=
g
若弹簧处于压缩状态，则系统在最高点的回复力为：
F’<
（M+m）g
则弹簧在平衡位置时的弹力为：
F’=（M+m）g>
kA
则k<
所以k≤
〖点评〗关键是判断清楚木块与板脱离的临界条件：
相互之间无弹力，且加速度都等于g.还要注意最高点与平衡位置间的距离就是振幅。
2、双弹簧模型：
3、其它模型：
【例题1】如图所示，质量为m的密度计，上部粗细均匀，横截面积为S，漂浮在密度为ρ的液体中．现将密度计轻轻按下一段后放手，密度计上、下起伏．若不计液体的阻力，试证明密度计做的是简谐振动．
考查对简谐运动公式及特点的理解．
【解析】简谐振动的重要特征是回复力大小与位移大小成正比，与位移方向相反．若密度计的振动也具有此特征，即可证明密度计做的是简谐振动．
取向下为x正方向，液面为平衡位置．密度计静止时，受重力mg和浮力F0．F0=mg
∴mg=ρV0gV0——密度计静止时浸没在液体中的体积．
当密度计向下位移为x时，所受浮力为：
当密度计向上位移为－x时，所受浮力为：
∴密度计所受回复力
，其中K=ρgS．
∴密度计的振动是简谐振动．
〖点拔〗判定振动是否为简谐振动的最简便方法——利用回复力特征，即F=-K×
X．
⊙解题示范⊙
【例题1】弹簧振子从距平衡位置5cm处由静止释放，全振动10次所用的时间为8s，那么振子的振幅是m，周期是s，频率是Hz，8s内的位移大小是m，8s内的路程是m。
【例题2】弹簧振子的振幅取决于________，振幅的大小标志着_______。
【例题3】弹簧振子正在振动，振幅为A，周期为T，t1时刻运动到a点，t2时刻运动到b点，如果t2－t1＝T/4，则ab两点间的距离可能是〖ACD〗
A.0B.大于AC.等于AD.小于A
【例题4】已知弹簧振子的质量是2kg，当它运动到平衡位置左侧2cm时受到的回复力是4N，求：
当它运动到平衡位置右侧4cm时，受到的回复力的大小和方向以及加速度的大小和方向．
本题考查对回复力及简谐运动公式的掌握．
【解析】F=-K·
X，所以力F1的大小F1=K·
X1，由此可解得K=200N/m则：
F2=K·
X2=200×
4×
10-2=8NN，由于位移向右，回复力F2方向向左．根据牛顿第二定律：
a2=F2/m=8/2=4m/s2，方向向左．
【例题5】有一弹簧振子做简谐运动，则〖〗
A．加速度最大时，速度最大
B．速度最大时，位移最大
C．位移最大时，回复力最大
D．回复力最大时，加速度最大
解析：
振子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由F=-kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对．振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错．故正确选项为C、D
点评：
分析振动过程中各物理量如何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系：
位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；
位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大．各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向．
【例题6】如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。
（1）最大振幅A是多大？
（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？
该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；
在平衡位置以下，弹力大于重力，F-mg=ma，越往下弹力越大；
在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。
平衡位置和振动的振幅大小无关。
因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。
极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。
这时弹簧恰好为原长。
（1）最大振幅应满足：
kA=mg，A=
（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：
Fm-mg=mg，Fm=2mg。
【例题7】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20cm．某时刻振子处于B点．经过0.5s，振子首次到达C点．求：
（1）振动的周期和频率；
（2）振子在5s内通过的路程及位移大小；
（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4cm处P点的加速度大小的比值．
（1）设振幅为A，由题意BC＝2A＝10cm，所以A＝10cm．振子从B到C所用时间t＝0．5s．为周期T的一半，所以T＝1．0s；
f＝1/T＝1．0Hz．
（2）振子在1个周期内通过的路程为4A。
故在t＝5s＝5T内通过的路程s＝t/T×
4A＝200cm．5s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm．
（3）振子加速度
．a∝x，所以aB：
aP＝xB：
xp＝10：
4＝5：
2．
【例题8】一弹簧振子做简谐运动．周期为T（）
A．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍
B．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍
C．若△t＝T/2，则在t时刻和（t－△t）时刻弹簧的长度一定相等
D．若△t＝T，则在t时刻和（t－△t）时刻振子运动的加速度一定相同
若△t＝T/2或△t＝nT－T/2，（n＝1，2，3．．．．），则在t和（t＋△t）两时刻振子必在关于干衡位置对称的两位置（包括平衡位置），这两时刻．振子的位移、回复力、加速度、速度等均大小相等，方向相反．但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等（只有当振子在t和（t－△t）两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等）．反过来．若在t和（t－△t），两时刻振子的位移（回复力、加速度）和速度（动量）均大小相等．方向相反，则△t一定等于△t＝T/2的奇数倍．即△t＝（2n－1）T/2（n＝1，2，3…）．如果仅仅是振子的速度在t和（t＋△t），两时刻大小相等方向相反，那么不能得出△t＝（2n一1）T/2，更不能得出△t＝nT/2（n＝1，2，3…）．根据以上分析．A、C选项均错．
若t和（t＋△t）时刻，振子的位移（回复力、加速度）、速度（动量）等均相同，则△t＝nT（n＝1，2，，3…），但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出△t＝nT．所以B这项错．若△t＝T，在t和（t＋△t）两时刻，振子的位移、回复力、加速度、速度等均大小相等方向相同，D选项正确。
〖点评〗做简谐运动的物体，经过一个周期，其速度、位移、加速度、回复力等都恢复原来的数值和方向。
而只经过半个周期，一些物理量大小恢复，但方向相反。
如果不从平衡位置或端点出开始，则一些物理量恢复原值未必需要半个或一个周期。
【例题9】弹簧振子做简谐运动，由a点第一次到达b点用了0.2s，它经过a、b两点时的速度相同．又经过0.4s时间，振子第二次到达b点，在这0.6s时间里振子通过的路程是10cm．求该弹簧振子的周期及振幅．
考查对简谐运动振动周期和振幅的掌握．
【解析】画出如图所示的示意图，
由于它经过a、b两点时的速度相同，说明a、b两点一定是关于平衡位置O对称的，又由于第一段时间较短而第二段时间较长，说明运动情况一定是如图所示，即从a先经过平衡位置O而到达b，再从b经过最大位移c点再回到b．不难看出，这0.6s时间恰好是半个周期，经过的路程恰是振幅的2倍，因此它的振动周期是1.2s，振幅是5cm．
【例题10】一个弹簧振子的振动频率为f=5Hz，如图，振子在BC间往复运动，BC间距为20cm。
从振子经过平衡位置向右运动开始计时，到t=3.25s时，振子的位移是多大？
（规定向右为正方向）振子通过的路程是多少？
【解析】由f=5HZ，可求出T=0.2s，由
cm，可知A=10cm。
由t=3.25s，可知在这段时间内振子完成全振动的次数为n=t/T=16.25，即振子从0开始振动了16个周期另加T/4，所以t=3.25s时振子的位移X=10cm，即振子在C位置。
振子通过的路程：
S=16.25×
4A=650cm=6.5m。
【例题11】如图所示，一个光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，滑块A的质量为M、弹簧的劲度系数为k。
现在振子上面放另一个质量为m的小物体B，它与振子一起做简谐运动，则小物体B受到的恢复力f跟位移x的关系式是〖〗
A、f=-kxB、f=-
C、f=-
kxD、f=-
考查简谐运动关系式的理解和推导．
【解析】由于A、B一起做简谐运动，恢复力F=-kx，
根据牛顿第二定律，F=（M+m）a，
对于物体B来说，它做简谐运动的恢复力f=-k′x=ma，
两式相比较，得k′=
k，因此f=-
kx．
所以正确选项是（B）．
【例题12】1995·
年高考题一弹簧振子做简谐运动，周期为T〖C〗
A．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动位移大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍
B．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍
C．若Δt=T，则在t时刻和（t+△t）时刻振子运动的加速度一定相等
D．若△t=T/2，则在t时刻和（t+△t）时刻弹簧的长度一定相等
考察对简谐运动周期的理解．
【解析】如图所示，设弹簧振子以O为平衡位置，在A、B之间做简谐运动，只要t时刻与（t+Δt）时刻振子经过同一点，则振子运动的位移（相对于平衡位置O）的大小相等、方向相同，不一定需要Δt和t的整数倍，比如振子从C→A→C，所需时间△t<
T/2，A错，同理，振子从C→A→C，先后经过点时速度大小相等、方向相反，△t可以小于T/2，B错．若Δt=T，则在t时刻和（t+△t）时刻，振子离开平衡位置的位移一定相同，因而加速度一定相同，C对，弹簧长度相等时即振子位于同一点，振子对平衡位置位移相同．△t=T/2时，不一定能满足，比如从A→O→B，△t=T/2，但弹簧长度并不相等，D错．当然也有相等的时候，比如从O→A→O，△t=T/2，弹簧长度恰好相等．所以本题正确选项是C．
〖点评〗弹簧振子做简谐运动过程中，一个周期内在平衡位置同侧有两个时刻在同一位置，即位移大小相等、方向相同的点有两个．所以经过Δt时间不一定就在整个周期或半个周期．
为了形象直观，做此类题时最好画出其示意图，以便更好地分析．
【例题13】如图所示，质量为m的木块放在竖直的弹簧上，m在竖直方向做简谐振动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最小值为物体自重的0.5倍，则物体对弹簧压力的最大值为，欲使物体在振动中不离开弹簧，其振幅不能超过．
考察回复力与振幅的理解
【解析】物体m放在弹簧上让其缓慢下落，当重力mg与弹簧力kx相等时，物体处于平衡．在此位置对物体施加向下的压力，使物体下移位移A时，撤去外力F，物体m将在竖直方向做简谐振动．在振动过程中物体受重力和弹力作用，当压缩最小时，物体和弹簧的相互作用最小，应在平衡位置上方；
当压缩量最大时，物体和弹簧的相互作用力最大，此位置应在平衡位置下方，且最小作用力和最大作用力的位置关于O点对称，离开平衡位置的距离均为A．
如图所示，物体m在最高点时弹力为，最低点时弹力为，则：
A=mg-N1①K·
A=N2-mg②
由①、②式联立解得：
N2=2mg-N1=1.5mg
由牛顿第三定律知：
N2′=N2=1.5mg
即物体对弹簧的最大压力为1.5mg．
若要m在振动过程中不脱离弹簧，则物体m与弹簧的相互作用力达最小，即N=0，所以最大振幅即为物体m平衡时的压缩量．
设m能达到的最大振幅为Aˊ，则KAˊ=mg③
由①、③式联立得：
Aˊ=2A
【例题14】在水平方向做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速率为v，则下列说法正确的是（）
A、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力做功一定为零
B、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力做的功可能是0到
mv2之间的某一个值
C、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力的冲量一定为零
D、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力的冲量可能是0到2mv之间的某一个值
〖解析〗做简谐运动的物体，半个周期后的速率一定与半个周期前相等，动能变化量为零，故弹力做功为零，所以A选项正确，B选项错误；
从端点到端点，速度由零到零，冲量为0，从平衡位置到平衡位置，速度由v变到-v，冲量为2mv，起点为其他位置时，冲量介于两者之间，所以C选项错误，D选项正确。
所以酸AD.
〖点评〗要注意动能和功是标量，而速度、动量和冲量是矢量。
【例题15】
（２）若小环Ｃ带电量为q，将小环拉离平
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