高考数学理科一轮复习任意角的三角函数学案Word文件下载.docx
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设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么①____叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；
②____叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
③________叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx（x≠0）．
（1）三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
（2）三角函数线
下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和____________．
自我检测
1．“α＝π6”是“cos2α＝12”的
（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2.（2011•济宁模拟）点P（tan2009°
，cos2009°
）位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（2010•山东青岛高三教学质量检测）已知sinα<
0且tanα>
0，则角α是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．已知角α的终边上一点的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为
（ ）
A.5π6
B.2π3
C.5π3
D.11π6
探究点一 角的概念
例1
（1）如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限；
（2）写出终边落在直线y＝3x上的角的集合；
（3）若θ＝168°
＋k•360°
（k∈Z），求在[0°
，360°
）内终边与θ3角的终边相同的角．
变式迁移1 若α是第二象限的角，试分别确定2α，α2的终边所在位置．
探究点二 弧长与扇形面积
例2 （2011•金华模拟）已知一个扇形的圆心角是α，0<
α<
2π，其所在圆的半径是R.
（1）若α＝60°
，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C（C>
0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
变式迁移2
（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？
最大面积是多少？
探究点三 三角函数的定义
例3 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
变式迁移3 已知角α的终边经过点P（－4a,3a）（a≠0），求sinα，cosα，tanα的值．
1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．
2．三角函数都是以角为自变量（用弧度表示），以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．
（满分：
75分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．（2011•宣城模拟）点P从（1,0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q，则Q的坐标为
A．（－12，32）
B．（－32，－12）
C．（－12，－32）
D．（－32，12）
2．若0<
x<
π，则使sinx>
12和cosx<
12同时成立的x的取值范围是
A.π3<
π2
B.π3<
56π
C.π6<
56π
D.π3<
23π
3．已知α为第三象限的角，则α2所在的象限是
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于
A．sin12
B.π6
C.1sin12
D．2sin12
5．已知θ∈－π2，π2且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈（0,1），则关于tanθ的值，以下四个答案中，可能正确的是
A．－3
B．3或13
C．－13
D．－3或－13
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题（每小题4分，共12分）
6．已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________________．
7．（2011•龙岩模拟）已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为________．
8．阅读下列命题：
①若点P（a,2a）（a≠0）为角α终边上一点，则sinα＝255；
②同时满足sinα＝12，cosα＝32的角有且只有一个；
③设tanα＝12且π<
3π2，则sinα＝－55；
④设cos（sinθ）•tan（cosθ）>
0（θ为象限角），则θ在第一象限．其中正确命题为________．（将正确命题的序号填在横线上）
三、解答题（共38分）
9．（12分）已知扇形OAB的圆心角α为120°
，半径长为6，
（1）求AB的弧长；
（2）求弓形OAB的面积．
10．（12分）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
（1）sinα≥32；
（2）cosα≤－12.
11．（14分）（2011•舟山月考）已知角α终边经过点P（x，－2）（x≠0），且cosα＝36x.求sinα＋1tanα的值．
答案
自主梳理
1．始边 顶点 终边 逆 顺 零
（1）第几象限
（2）{α|α＝kπ，k∈Z} α|α＝kπ＋π2，k∈Z α|α＝kπ2，k∈Z （3）{β|β＝α＋k•360°
，k∈Z} {β|β＝α＋2kπ，k∈Z} （4）半径 圆心角 弧度制 rad 弧度 （5）2π π π180 180π°
（6）|α|•r 弧所对的圆心角（弧度数）的绝对值与半径的积 12lr 12|α|r2 2.①y ②x ③yx
（2）α的正弦线 α的余弦线 α的正切线
1．A 2.D 3.C 4.D
课堂活动区
例1 解题导引
（1）一般地，角α与－α终边关于x轴对称；
角α与π－α终边关于y轴对称；
角α与π＋α终边关于原点对称．
（2）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π）范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．
（3）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角．
解
（1）π＋2kπ<
3π2＋2kπ（k∈Z），
∴－3π2－2kπ<
－α<
－π－2kπ（k∈Z），
即π2＋2kπ<
π＋2kπ（k∈Z）．①
∴－α角终边在第二象限．
又由①各边都加上π，得3π2＋2kπ<
π－α<
2π＋2kπ（k∈Z）．
∴π－α是第四象限角．
同理可知，π＋α是第一象限角．
（2）在（0，π）内终边在直线y＝3x上的角是π3，
∴终边在直线y＝3x上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
（3）∵θ＝168°
（k∈Z），
∴θ3＝56°
＋k•120°
（k∈Z）．
∵0°
≤56°
<
，
∴k＝0,1,2时，θ3∈[0°
）．
故在[0°
）内终边与θ3角的终边相同的角是56°
，176°
，296°
变式迁移1 解 ∵α是第二象限的角，
∴k•360°
＋90°
k•360°
＋180°
（1）∵2k•360°
2α<
2k•360°
＋360°
∴2α的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上．
（2）∵k•180°
＋45°
α2<
k•180°
当k＝2n（n∈Z）时，
n•360°
；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，
＋225°
＋270°
∴α2是第一或第三象限的角．
∴α2的终边在第一或第三象限．
例2 解题导引 本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起．确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解．
解
（1）设扇形的弧长为l，该弧所在弓形的面积为S，如图所示，
当α＝60°
＝π3，
R＝10cm时，
可知l＝αR＝10π3cm.
而S＝S扇－S△OAB＝12lR－12R2sinπ3
＝12×
10π3×
10－12×
100×
32
＝50π3－253cm2.
（2）已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，
S扇＝12αR2＝12•αR•R＝14•αR•2R
≤14•αR＋2R22＝14•C22＝C216.
当且仅当αR＝2R，即α＝2时，等号成立，即当α为2弧度时，该扇形有最大面积116C2.
变式迁移2 解 设扇形半径为R，圆心角为θ，所对的弧长为l.
（1）依题意，得12θR2＝4，θR＋2R＝10，
∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.
∵8>
2π，舍去，∴θ＝12.
（2）扇形的周长为40，即θR＋2R＝40，
S＝12lR＝12θR2＝14θR•2R≤14θR＋2R22＝100.
当且仅当θR＝2R，即R＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.
例3 解题导引 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解．
解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P（4t，－3t）（t≠0），
则x＝4t，y＝－3t，
r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，
当t>
0时，r＝5t，
sinα＝yr＝－3t5t＝－35，
cosα＝xr＝4t5t＝45，
tanα＝yx＝－3t4t＝－34；
当t<
0时，r＝－5t，
sinα＝yr＝－3t－5t＝35，
cosα＝xr＝4t－5t＝－45，
tanα＝yx＝－3t4t＝－34.
综上可知，t>
0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；
t<
0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.
变式迁移3 解 r＝－4a2＋3a2＝5|a|.
若a>
0，则r＝5a，α角在第二象限，
sinα＝yr＝3a5a＝35，
cosα＝xr＝－4a5a＝－45，
tanα＝yx＝3a－4a＝－34.
若a<
0，则r＝－5a，α角在第四象限，
sinα＝yr＝3a－5a＝－35，cosα＝xr＝－4a－5a＝45，
课后练习区
1．A 2.B 3.D 4.C 5.C
6.π4，π2∪π，5π4
解析 由已知得sinα>
cosα，tanα>
0，
∴π4＋2kπ<
π2＋2kπ或π＋2kπ<
5π4＋2kπ，k∈Z.
∵0≤α≤2π，∴当k＝0时，π4<
π2或π<
5π4.
7.74π
解析 由三角函数的定义，tanθ＝yx＝cos3π4sin3π4＝－1.
又∵sin3π4>
0，cos3π4<
0，∴P在第四象限，∴θ＝7π4.
8．③
解析 ①中，当α在第三象限时，
sinα＝－255，故①错．
②中，同时满足sinα＝12，cosα＝32的角为α＝2kπ＋π6（k∈Z），不只有一个，故②错．③正确．④θ可能在第一象限或第四象限，故④错．综上选③.
9．解
（1）∵α＝120°
＝2π3，r＝6，
∴AB的弧长为l＝αr＝2π3×
6＝4π.……………………………………………………（4分）
（2）∵S扇形OAB＝12lr＝12×
4π×
6＝12π，……………………………………………………（7分）
S△ABO＝12r2•sin2π3＝12×
62×
＝93，……………………………………………………………………………………（10分）
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－93.………………………………………………（12分）
10．解
（1）
作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的集合为α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.…………………………………………………（6分）
（2）
作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为
α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z.……………………………………………………（12分）
11．解 ∵P（x，－2）（x≠0），
∴点P到原点的距离r＝x2＋2.…………………………………………………………（2分）
又cosα＝36x，
∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±
10，
∴r＝23.…………………………………………………………………………………（6分）
当x＝10时，P点坐标为（10，－2），
由三角函数的定义，
有sinα＝－66，1tanα＝－5，
∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；
……………………………………………（10分）
当x＝－10时，
同样可求得sinα＋1tanα＝65－66.………………………………………………（14分）
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