高考数学一轮复习第八章直线的倾斜角与斜率直线的Word文档下载推荐.docx
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点斜式
斜率k与点（x0，y0）
y－y0＝
k（x－x0）
不含直线x＝x0
斜截式
斜率k与截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点
（x1，y1），
（x2，y2）
不含直线x＝x1（x1＝x2）和直线y＝y1（y1＝y2）
截距式
截距a与b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）
平面直角坐标系内的直线都适用
[探究] 3.过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线是否一定可用两点式方程表示？
当x1＝x2，或y1＝y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．
[自测·
牛刀小试]
1．（教材习题改编）若直线x＝2的倾斜角为α，则α（ ）
A．等于0 B．等于
C．等于D．不存在
解析：
选C 因为直线x＝2垂直于x轴，故其倾斜角为.
2．（教材习题改编）过点M（－2，m），N（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A．1B．4
C．1或3D．1或4
选A 由题意知，＝1，解得m＝1.
3．过两点（0,3），（2,1）的直线方程为（ ）
A．x－y－3＝0B．x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝0
选B 直线斜率为＝－1，
其方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
4．直线l的倾斜角为30°
，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1＝________；
若直线l2⊥l，则直线l2的斜率k2＝__________.
∵l1∥l2，∴kl1＝tan30°
＝.
∵l2⊥l，∴kl2＝－＝－.
答案：
－
5．已知A（3,5），B（4,7），C（－1，x）三点共线，则x等于________．
因为kAB＝＝2，kAC＝＝－.
A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即－＝2，
解得x＝－3.
－3
直线的倾斜角和斜率
[例1]
（1）直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，π） B.∪
C.D.∪
（2）已知两点A（m，n），B（n，m）（m≠n），则直线AB的倾斜角为________；
（3）直线l过点P（1,0），且与以A（2,1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
[自主解答]
（1）设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]．又θ∈[0，π），所以0≤θ≤或≤θ<
π.
（2）设直线AB的倾斜角为θ，斜率为k，则
k＝tanθ＝＝－1.
又θ∈[0，π），
所以θ＝.
（3）如右图，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈（－∞，－]∪[1，＋∞）．
[答案]
（1）B
（2） （3）（－∞，－]∪[1，＋∞）
若将P（1,0）改为P（－1,0），其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围．
解：
∵P－1，0，A2，1，B0，，
∴kPA＝＝，kPB＝＝.
借助图形可知，直线l的斜率的取值范围为
.
—————
——————————————
斜率的求法
（1）定义法：
若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；
（2）公式法：
若已知直线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），一般根据斜率公式k＝（x1≠x2）求斜率．
1．直线l：
xsin30°
＋ycos150°
＋1＝0的斜率是（ ）
A.B.
C．－D．－
选A 设直线l的斜率为k，
则k＝－＝.
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜率为（ ）
A.B．－
C．－D.
选B 设P（x,1），Q（7，y），则x＋7＝2,1＋y＝－2，
解得x＝－5，y＝－3，从而kl＝＝－.
直线的平行与垂直的判断及应用
[例2] 若直线ax＋2y－6＝0与x＋（a－1）y＋a2－1＝0平行，则a＝________.
[自主解答] 因为两直线平行，
所以有a（a－1）＝2，
即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.
[答案] 2或－1
用一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：
A1x＋B1y＋C1＝0（A＋B≠0）
l2：
A2x＋B2y＋C2＝0（A＋B≠0）
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行
的充分条件
＝≠（A2B2C2≠0）
l1与l2相交
≠（A2B2≠0）
l1与l2重合
＝＝（A2B2C2≠0）
3．已知l1的倾斜角为45°
，l2经过点P（－2，－1），Q（3，m），若l1⊥l2，则实数m＝________.
k1＝tan45°
＝1，k2＝，
∵l1⊥l2，∴k2＝＝－1，解得m＝－6.
－6
4．已知过点A（－2，m），B（m,4）的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．
由题意知，kAB＝＝－2，
解得m＝－8.
－8
直线方程
[例3]
（1）在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O（0,0），A（1,3），点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为（ ）
A．y－1＝3（x－3） B．y－1＝－3（x－3）
C．y－3＝3（x－1）D．y－3＝－3（x－1）
（2）直线l经过点P（3,2）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．△OAB的面积为12，则直线l的方程是________________________________________________．
[自主解答]
（1）因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：
y－3＝－3（x－1）．
（2）法一：
设直线l的方程为＋＝1（a>
0，b>
0）．
则有＋＝1，且ab＝12.
解得a＝6，b＝4.
所以所求直线l的方程为＋＝1，
即2x＋3y－12＝0.
法二：
设直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k<
0），
令x＝0，得y＝2－3k>
0；
令y＝0，得x＝3－>
0.
所以S△OAB＝（2－3k）＝12，解得k＝－，
故所求直线方程为y－2＝－（x－3），即2x＋3y－12＝0.
[答案]
（1）D
（2）2x＋3y－12＝0
求直线方程的常用方法
（1）直接法：
根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程．
（2）待定系数法：
先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程．
5．△ABC的三个顶点为A（－3,0），B（2,1），C（－2,3），求：
（1）BC所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
（3）BC边的垂直平分线DE的方程．
（1）因为直线BC经过B（2,1）和C（－2,3）两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
（2）设BC中点D的坐标（x，y），则
x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过点A（－3,0），D（0,2）两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
（3）BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2（x－0），即2x－y＋2＝0.
1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系
（1）任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．
（2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
<
α<
90°
180°
k
k>
不存在
k<
3个注意点——与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点
（1）明确直线方程各种形式的适用条件
点斜式斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；
两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；
截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式．
（2）截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．
（3）求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论.
易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点
[典例] （2013·
常州模拟）过点P（－2,3）且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_______________________________．
[解析] 当截距不为0时，设所求直线方程为
＋＝1，即x＋y－a＝0.
∵点P（－2,3）在直线l上，∴－2＋3－a＝0，
∴a＝1，所求直线l的方程为x＋y－1＝0.
当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，则有
3＝－2k，即k＝－，
此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.
[答案] x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
1．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x＋2y＝0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．
2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：
（1）选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；
（2）选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况．
已知直线l过（2,1），（m,3）两点，则直线l的方程为________________．
当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
当m≠2时，直线l的方程为＝，
即2x－（m－2）y＋m－6＝0.
因为m＝2时，方程2x－（m－2）y＋m－6＝0，
即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－（m－2）y＋m－6＝0.
2x－（m－2）y＋m－6＝0
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．（2013·
秦皇岛模拟）直线x＋y＋1＝0的倾斜角是（ ）
A. B.
C.D.
选D 由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，所以α＝.
2．已知点A（1，－2），B（m,2），且线段AB垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是（ ）
A．－2B．－7
C．3D．1
选C 由已知kAB＝2，即＝2，解得m＝3.
3．若直线经过点（1,1），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有（ ）
A．4条B．3条
C．2条D．1条
选B 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个．
4．（2013·
银川模拟）已知直线l1：
x＋ay＋6＝0和l2：
（a－2）x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于（ ）
A．3B．1
C．－1D．3或－1
选C 由题意知，l1∥l2⇔＝≠，
即a＝－1.
5．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点（ ）
选D 原方程可化为（2x＋1）－m（y＋3）＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点.
6．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与直线bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
选C 由已知得a≠0，sinB≠0，所以两条直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1·
k2＝－·
＝－1，所以两条直线垂直．
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________________．
当α∈时，k＝tanα∈；
当α∈时，k＝tanα∈[－，0）．
综上k∈[－，0）∪.
[－，0）∪
8．已知直线x－ky＋1＝0与直线y＝kx－1平行，则k的值为________．
若两直线平行，则k＝，解得k＝±
1.
±
1
9．（2013·
皖南八校联考）已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－（a2＋1）y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为________．
∵两直线互相垂直，∴a2b－（a2＋1）＝0且a≠0，
∴a2b＝a2＋1，
∴ab＝＝a＋，
∴|ab|＝＝|a|＋≥2（当且仅当a＝±
1时取等号）．
2
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
10．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：
（1）直线l的斜率为1；
（2）直线l在x轴上的截距为－3.
（1）因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－x＋.由题意得－＝1，解得m＝－1.
令y＝0，得x＝2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
11．已知两点A（－1,2），B（m,3）．
（1）求直线AB的方程；
（2）已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
（1）当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝（x＋1）．
（2）①当m＝－1时，α＝.
②当m≠－1时，m＋1∈∪，
即k＝∈（－∞，－]∪，
所以α∈∪.
综合①②知，直线AB的倾斜角α的取值范围为.
12．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°
和30°
角，过点P（1,0）作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
由题意可得kOA＝tan45°
＝1，
kOB＝tan（180°
－30°
）＝－，
所以直线lOA：
y＝x，lOB：
y＝－x.
设A（m，m），B（－n，n），
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A（，）．
又P（1,0），所以kAB＝kAP＝＝.
所以lAB：
y＝（x－1），
即直线AB的方程为（3＋）x－2y－3－＝0.
1．直线l过点（－1,2）且与直线3y＝2x＋1垂直，则l的方程是（ ）
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0
选A 法一：
设所求直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，则3×
（－1）＋2×
2＋C＝0，得C＝－1，即l的方程为3x＋2y－1＝0.
由题意知，l的斜率是k＝－，则直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即3x＋2y－1＝0.
2．直线l经过点A（1,2），在x轴上的截距的取值范围是（－3,3），则其斜率的取值范围是（ ）
A．－1<
B．k>
1或k<
C．k>
或k<
1D．k>
－1
选D 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，
则－3<
1－<
3，解得k>
－1.
3．已知A（3,0），B（0,4），动点P（x，y）在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．
∵线段AB的方程为＋＝1（0≤x≤3），
∴y＝4－x，代入xy得xy＝－x2＋4x＝－·
2＋3，∴由二次函数性质知，当x＝时，xy的最大值等于3.
3
4．已知直线l过点P（3,2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
法一：
设A（a,0），B（0，b）（a>
0），则直线l的方程为＋＝1，
∵l过点P（3,2），∴＋＝1，b＝.
从而S△ABO＝a·
b＝a·
故有S△ABO＝
＝（a－3）＋＋6
≥2＋6＝12，
当且仅当a－3＝，
即a＝6时，（S△ABO）min＝12，
此时b＝＝4.
故所求直线l的方程为＋＝1，
设直线方程为＋＝1（a>
代入P（3,2），得＋＝1≥2，
得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，
当且仅当＝时，等号成立，此时k＝－＝－，
故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
法三：
依题意知，直线l的斜率存在．
则有A，B（0,2－3k），
则S△AOB＝（2－3k）
＝
≥＝（12＋12）＝12，
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．
法四：
如右图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N.
设θ＝∠PAM＝∠BPN，
则S△AOB＝S△PBN＋S四边形NPMO＋S△PMA
＝×
3×
tanθ＋6＋×
2×
＝6＋tanθ＋
≥6＋2＝12，
当且仅当tanθ＝，
即tanθ＝时，S△AOB＝12，此时直线l的斜率为－，其方程为2x＋3y－12＝0.
[备考方向要明了]
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出现在相关的位置关系中．
2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考查.
1．两条直线的交点
设两条直线的方程为l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组
的解，
（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；
（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．
[探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？
当两条直线有一个交点时，两直线相交；
没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．
2．距离
点P1（x1，y1），
P2（x2，y2）之间的距离
|P1P2|＝
点P0（x0，y0）到直线l：
Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？
使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．
1．（教材习题改编）原点到直线x＋2y－5＝0的距离是（ ）
A．1 B.
C．2D.
选D d＝＝.
2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是（3,4），则AB的长为（ ）
A．10B．5
C．8D．6
选A 设A（a,0），B（0，b），则a＝6，b＝8，即A（6,0），B（0,8）．所以|AB|＝＝＝10.
3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝（ ）
A．－1B．－
选B 由得
将其代入x＋by＝0，得b＝－.
4．已知直线l1与l2：
x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________．
设直线l1的方程为x＋y＋λ＝0，则
＝＝，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
5．点（2,3）关于直线x＋y＋1＝0的对称点是________．
设对称点为（a，b），则
解得
（－4，－3）
两条直线的交点问题
[例1]
（1）经过直线l1：
x＋y＋1＝0与直线l2：
x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：
2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是________________．
（2）已知两直线l1：
mx＋8y＋n＝0与l2：
2x＋my－1＝0，若l1与l2相交，则实数m，n满足的条件是__________．
[自主解答]
（1）法一：
由方程组
解得即点P（－2,1），
∵l3⊥l，∴k＝－，
∴直线l的方程为y－1＝－（x＋2），即x＋2y＝0.
∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ（x－y＋3）＝0，
即（1＋λ）x＋（1－λ）y＋1＋3λ＝0.
∵l与l3垂直，∴2（1＋λ）－（1－λ）＝0，解得λ＝－.
∴直线l的方程为x＋y＝0，即x＋2y＝0.
（2）因为两直线l1与l2相交，所以当m＝0时，l1的方程为y＝－，l2的方程为x＝，两直线相交，此时m，n满足条件m＝0，n∈R；
当m≠0时，由两直线相交．
所以≠，解得m≠±
4，此时，m，n满足条件m≠±
4，n∈R.
[答案]
（1）x＋2y＝0
（2）m≠±
4，n∈R
若将本例
（1）中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程．
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