圆锥曲线几何问题地转换Word格式.docx
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、典型例题：
例1：
如图：
A,B分别是椭圆
22xyC:
22ab
1ab0的左右顶点，
AF,FB的等差中项，3是AF,FB的等比中项
（1）求椭圆C的方程
（2）已知P是椭圆C上异于A,B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQAP，并交直线l于点Q。
证明：
F为其右焦点，2是
Q,P,B三点共线
解：
（1）依题意可得：
Aa,0,Ba,0,Fc,0
AFca,BFac
2是AF,FB的等差中项a2
3是AF,FB的等比中项
b23
4AFFBacac2a
3AFFBacaca2c2b2
22
椭圆方程为：
xy1
43
2）由
（1）可得：
A2,0,B2,0,F1,0
设AP:
ykx2，设Px1,y1，联立直线与椭圆方程可得：
3x24y212
ykx2
4k2
222
3x216k2x16k2120
xAx1
16k212
4k23
x1
68k2
4k23
y1kx12
12k
P68k2,12k
P4k23,4k23
另一方面，因为FQAP
FQ:
y1x1，联立方程：
k
1
xy2k1x1Q2,
k3
B2,0
03
k
3
4k
kBP
04k2312k3
68k216k24k
B,Q,P三点共线
2x例2：
已知椭圆x2a2
2
y21（ab0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若b2
△OMF的面积为1，且椭圆的离心率为2
1）求椭圆的方程；
2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心？
若存在，求出
直线l的方程；
若不存在，请说明理由．
（1）SOMF
1OMOF1bc1
a:
b:
c2:
1:
c2
e
a2
bc2
y21
2）设P（x1,y1），Q（x2,y2）,由
（1）可得：
M0,1,F1,0
11
kMF1F为△PQM的垂心
MFPQ
设PQ:
yxm
由F为△PQM的垂心可得：
MPFQ
MPx1,y11,
FQ
x21,y2
MPFQx1x21y11y20
因为P,Q在直线yxm上
y1x1my2x2m
代入①可得：
x1x21x1m1x2m0
即2x1x2（x1x2）（m1）m2m0②
考虑联立方程：
yxm22
22得3x24mx2m220．
x22y22
16m2122m220m23
x1x2
4m
x1x2
2m22
．代入②可得：
2m224m2
2m1mm033
4
解得：
m或m1
当m1时，△PQM不存在，故舍去
44
当m时，所求直线l存在，直线l的方程为yx33
小炼有话说：
在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，
所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）
例3：
如图，椭圆x2y21（ab0）的一个焦点是a2b2
F1,0，O为坐标原点.
（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，
椭圆的方程；
2）设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于A,B两点，若直线l绕点F任意转动，恒有
OAOBAB,
求a的取值范围.
（1）由图可得：
M
0,13b
由正三角形性质可得：
MFO,kMF
6
kMF
3b0
01
b3
b2c24
22xy43
2）设l:
ykx1，
Ax1,y1,Bx2,y2
OAOB2AB
cosAOB
OA2OB2AB
2OAOB
AOB为钝角
ykx1联立直线与椭圆方程：
22222
bxayab
OAOBx1x2y1y20
22b2x2a2k2x1a2b2，整理可得：
2a2k2
a2k2b2x22a2k2xa2k2a2b20
x1x2a2k2b2,x1x2a2k2b2
2222y1y2kx11x21kx1x2kx1x2k
2222222akab22akkk
a2k2b2
a2k2b2
k2
22222k2b2a2b2k2
a2k2a2b2k2b2a2b2k2x1x2y1y2
即k2a2b2a2b2a2b2恒成立
222222
abab0ba1
2a21a2a210解得：
15
a
（1）依题意可得a2c，且到
右焦点距离的最小值为ac1
a的取值范围是,
x2y2
例4：
设A,B分别为椭圆221ab0的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，ab
且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为直线x4上不同于点4,0的任意一点，若
直线AP,BP分别与椭圆相交于异于
A,B的点M,N，证明：
点B在以MN为直径的圆内
可解得：
a2,c1b3
椭圆方程为xy1
（2）思路：
若要证B在以MN为直径的圆内，只需证明MBN为钝角，即MBP为锐角，从而只需证明BMBP0，因为A,B坐标可求，所以只要设出AM直线（斜率为k），
BM
联立方程利用韦达定理即可用
k表示出M的坐标，从而
BP可用k1表示。
即可判断
BMBP的符号
进而完成证明
由
（1）可得A2,0,B2,0，设直线AM,BN的斜率分别为k，Mx1,y1，则
AM:
ykx2联立AM与椭圆方程可得：
消去
y可得：
4k23x216k2x16k2120
16k2124k23
y1kx12k122k，即M
114k23
68k2,12k
4k23,4k23
设P4,y0，因为P在直线AM上，所以y0k426k，即P4,6k
2,6k,BM
16k2,12k
BPBM
32k2
6k
40k2
MBP为锐角，MBN为钝角M在以MN为直径的圆内
例5：
如图所示，已知过抛物线x
线相交于A,B两点，与椭圆y2
存在直线l使得AFCFBF
程，若不存在，请说明理由
依题意可知抛物线焦点F0,1，设l:
ykx1
AFCF
BFDF
AF
BF
则AFFB,DFFC
DF
，不妨设
CF，不妨设
CF
设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4
AFx1,1y1,FBx2,y21
CFx3,1y3,FDx4,y41
12考虑联立直线与抛物线方程：
x3x4
ykx1x24y
x24kx40
x1x21x24k
1222，消去x2可得：
x1x2x224
14k2①
ykx122
联立直线与椭圆方程：
226x23kx124，整理可得：
6x23y24
3k26x26kx10
x3x41x42
3443k26
21
x3x4x42
3443k26
136k2
3k26
由①②可得：
36k2
3k26
，解得：
所以存在满足条件的直线，其方程为：
yx121例6：
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x22pyp0的准线方程为y，过
点M4,0作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O），直线l过点M与抛物线交于两点P,Q，与直线OA交于点N
MN
MP
MQ
2）试问
的值是否为定值？
若是，求出定值；
若不
1）求抛物线的方程
是，请说明理由
（1）由准线方程可得：
p1p1
抛物线方程：
x22y
12
（2）设切点Ax0,y0，抛物线为yx2
002
y'
x切线斜率为kx0
切线方程为：
12
yy0x0xx0，代入M4,0及y02x02
可得：
1x02x04x0，解得：
x00（舍）或x08
200000
A8,32OA:
y4x
xmy4
MNMNyNyN
MPMQyPyQ
M,P,N,Q共线且M在x轴上
联立PQ和抛物线方程：
x2ymy422y，整理可得：
xmy4
11yPyQ
yNyN
yPyQyPyQ
m2y28m2y160
28m16yPyQ2,yPyQ2
mm
再联立OA,PQ直线方程：
y4x
yN
16
14m
28mMNMNyPyQ16m2
yN2MPMQNyPyQ14m16
m
例7：
在ABC中，A,B的坐标分别是2,0,2,0，点G是ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且MCMB
（1）求ABC的顶点C的轨迹E的方程
（2）直线l:
ykxm与轨迹E相交于P,Q两点，若在轨迹E上存在点R，使得四边形
OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围
G3x,3y
（1）设Cx,y由G是ABC的重心可得：
由y轴上一点M满足平行关系，可得M0,y3
由MC
MB可得：
x2
y13y02
y2
化简可得：
xy
1y0
26
3m26k2
k23
C的轨迹E的方程为：
1y0
2）
四边形OPRQ为平行四边形
OROPOQ
设Px1,y1,Qx2,y2Rx1x2,y1y2
R在椭圆上
3x1x2y1y26
2222
3x1y13x2y26x1x22y1y26①
3x12y126因为P,Q在椭圆上，所以11，代入①可得：
3x2y26
6x1x22y1y21263x1x2y1y23②联立方程可得：
ykxm222
22k23x22kmxm2603x2y26
22kmm26x1x22,x1x22
123k212k23
y1y2kx1mkx2mkx1x2kmx1x2m
代入②可得：
m63m6k22
32232m2k23
另一方面：
2m23k20m2
3m6或m6
k23k23
例8：
已知椭圆
C:
x2y21ab0的离心率为ab
1，直线l过点A4,0,B0,2，
且与椭圆C相切于点P
2）是否存在过点A4,0的直线m与椭圆交于不同的两点M,N，使得
36AP35AMAN？
若存在，求出直线m的方程；
若不存在，请说明理由解
（1）ec1a:
b:
c2:
3:
xy222
椭圆方程化为：
2213x24y212c2
4c3c
l过A4,0,B0,2
xy1
设直线l:
1yx2422
3x24y212c212
1消去y可得：
3x241x212c2yx22
整理可得：
x22x43c20
l与椭圆相切于P
4443c20c1
1，且可解得
P1,34
P1,2
（2）思路：
设直线m为ykx4，Mx1,y1,Nx2,y2，由
（1）可得：
P1,
用向量数量积表示线段的乘积。
因为
AM,AN同向，所以
AMANAMAN。
写出
11222
AM,AN的坐标即可进行坐标运算，然后再联立
m与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即
可得到关于k的方程，求解即可
由题意可知直线m斜率存在，所以设直线
m:
ykx4,Mx1,y1,Nx2,y2
由
（1）可得：
P1,32
223
140
A,M,N共线且AM,AN
AP
同向
45
AM
AN
AMAN
AMx14,y1,ANx24,y2
AMANx14x24y1y2
x1x2y1y24x1x216
联立直线m与椭圆方程：
3x4y消去y并整理可得：
4k23x232k2x64k2120ykx4
x1x243k22k3,x1x2
64k212
4k23
y1y2kx14x2
443k62k3
AMAN64k212
36AP235AMAN，代入AP
245，AMAN36k21可得：
4536k21
3635
k2
11解得:
k2符合题意
直线m的方程为：
42x4，即：
y2x2或y
例9：
设椭圆C:
2y21ab0的左，右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，过点Aab
与AF2垂直的直线交x轴负半轴与点Q，且2F1F2F2Q0
1）求椭圆C的离心率
2）若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l:
x3y30相切，求椭圆C的方程
（3）在
（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点，在x轴上是否存在点Pm,0使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形？
如果存在，求出m的取值范围；
如果不存在，请说明理由解：
（1）依题意设A0,b,F1c,0,F2c,0,Qx0,0
F1F22c,0,F2Qx0c,02F1F2F2Q0
4cx0c0x03c
Q3c,0
kAQb,kAF2b由AQAF2可得：
3c2c
kAQkAF2
b21b23c2
3c2
22ac
3ca
4c
（2）由
（1）可得：
a:
3:
AQAF2
A,Q,F2的外接圆的直径为QF2，半径设为r
Q3c,0,F2c,0
rQF22c，圆心c,0
c3由圆与直线相切可得：
d2cc34c
c1a2,b3
3）由
（2）得F11,0,F21,0：
设直线l:
ykx1
设Mx1,y1,Nx2,y2，若PM,PN为邻边的平行四边形是菱形则P为MN垂直平分线上的点
3x14y1122222
12123x12x224y12y220
3x224y2212
3x1x2x1x24y1y2y1y20
设M,N中点x0,y0
3x04ky00y00
8k2
4k32
MN的中垂线方程为：
yy0xx0，即xkyky0x00k
代入Pm,0可得：
1x1x2
mky0x00mx012
00408
联立方程：
3x4y124k23x28k2x4k2120
ykx1
所以存在满足题意的P，且m的取值范围是0,14
例10：
已知抛物线C：
y22pxp0的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与
5抛物线的交点为Q，且QFPQ
（1）求抛物线C的方程
l的方程
2）过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点，若AB垂直平分线l'
与C相交于M,N两
点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求
（1）设Qx0,4，可的4
2px0
8x0
p
Q8,4
P0,4
PQ8p
QFx02p2
x0
5
且QFPQ
8p2p54
8
解得p2p
抛物线C:
y24x
（2）由
（1）可得F1,0可设直线l:
xmy1
联立方程y4xy24my40
xmy1
设Ax1,y1,Bx2,y2，则有y1y24m,y1y24
x1x2my1y224m22
AB的中点D2m21,2m
且ABm21y1y24m21
由直线l:
xmy1可得l'
的斜率为m
设l'
:
y2mmx2m21整理可得：
x1y2m23
与y24x联立消去x可得：
y24y42m230
设Mx3,y3,Nx4,y4
42
y3y4,y3y442m3
1242
x3x4y3y44m624m6
MN的中点E22m23,
m2m
m212m21
2，因为A,M,B,N共圆，m
所以DE2AD
2r2ME
DE
21AB
21MN
2m
2224
m2
24m2
12m21
整理后可得：
l的方程为：
xy10或xy10
再由A4,0可知AP2，若
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