人教课标版高中数学必修三《算法案例第3课时》教案新版Word格式文档下载.docx

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1．知识回顾

（1）生活中常见的进位制有哪些（例如时间、钱等）

（2）计算机中的2进制和通常的10进制怎么进行转换

（3）非10的两种不同进制之间怎么进行转换

2．问题探究

问题探究一认识进位制，将十进制数转化为

进制数

●活动一什么是

进位制？

我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制，电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?

不同的进位制之间又又什么联系呢？

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为

，即可称

进位制，简称

进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：

十进制数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.

表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如

表示二进制数,

表示5进制数.

●活动二如何将10进制数转化为2进制数？

解:

根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.

具体的计算方法如下:

这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:

把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001

（2）

●活动三如何将10进制数转化为

进制数？

上述方法可以推广为把十进制化为

进制数的算法,这种算法成为除

取余法.

十进制数化为

进制数（除

取余法）的步骤：

1.除：

把十进制数连续去除以

，直到商为0为止，同时将各步的余数写出

2.取余：

将各步所得的余数倒叙写出，即为所求的

3.标基数：

写出

进制数后将基数

用括号括起来标在右下角

例1.将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.

解：

算式如下图，

则458＝13022（4）＝2042（6）

问题探究二不同进制数相互转换

●活动一如何将10进制数与

进制数进行相互转换？

二进制数110011

（2）化为十进制数是什么数？

110011

（2）＝1×

25＋1×

24＋0×

23＋0×

22＋1×

21＋1×

20＝32＋16＋2＋1＝51.

那么如何将一个k进制数转换为十进制数？

将k进制数anan－1…a1a0（k）化为十进制的方法：

把k进制数anan－1…a1a0（k）写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数.

这样我们就可以进行10进制数与k进制数进行相互转换

●活动二如何将非10的不同进制数进行相互转换？

十进制是连接其他进制的桥梁.把

进制的数转化为10进制数后再把10进制的数转化为

进制数，各个进制数之间就能实现互相转换.

例2.1011001

（2）＝______（10）＝______（5）.

89，324首先将1011001

（2）化为十进制数为1×

26＋0＋1×

24＋1×

23＋0＋0＋1×

20＝89，再将89化成五进制数：

89除以5的商是17，余数为4,17除以5的商是3，余数为2，所以五进制数为324.

3．课堂总结

【知识梳理】

（1）

进制化成十进制，幂积求和法

（2）十进制化成

进制，除

取余法

（3）不同进制之间转换：

把

【重难点突破】

（1）进位制之间的转换方法：

进制化成十进制，幂积求和法；

十进制化成

取余法．

（2）把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除

取余法，把十进制数转化为

进制数．而在使用除

取余法时要注意以下几点：

1.必须除到所得的商是0为止；

2.各步所得的余数必须从下到上排列；

3.切记在所求数的右下角标明基数

4．随堂检测

1．下列各进制数中值最小的是（）

A．85（9）B．210（6）

C．1000（4）D．111111

（2）

D由进位制的知识易得，故选D.

2．把189化为三进制数，则末位数是（）

A．0B．1C．2D．3

A将189除以3得余数为0，所以189化为三进制数的末位数为0.故选A.

3．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于（）

A．7或4B．－7

C．4D．都不对

C132（k）＝1×

k2＋3×

k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，

解得k＝4或k＝－7（舍去）．故选C.

4．四位二进制数能表示的最大十进制数是（）

A．4B．64C．255D．15

D由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1111时表示的十进制数最大，此时，1111

（2）＝15.故选D

5．七进制数中各个数位上的数字只能是______中的一个．

0、1、2、3、4、5、6

“满几进一”就是几进制．

∵是七进制．∴满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的一个．

6．已知三个数12（16），25（7），33（4），将它们按由小到大的顺序排列为________．

33（4）<

12（16）<

25（7）

将三个数都化为十进制数.12（16）＝1×

16＋2＝18，25（7）＝2×

7＋5＝19，

33（4）＝3×

4＋3＝15，∴33（4）<

25（7）．

（三）课后作业

基础型自主突破

1.二进制数111.11

（2）转换成十进制数是（）

A．7.3B．7.5C．7.75D．7.125

C由题意知二进制对应的十进制是：

1×

20＋1×

2－1＋

2－2＝4＋2＋1＋0.5＋0.25＝7.75.故选A

2.将二进制110101

（2）转化为十进制为（）

A．106B．53C．55D．108

B110101

（2）＝1＋1×

25＝53.故选B

3.下列与二进制数1001101

（2）相等的是（）

A．115（8）B．113（8）C．114（8）D．116（8）

A先化为十进制数：

1001101

（2）＝1×

26＋1×

23＋1×

20＝77，再化为八进制数．

所以77＝115（8），1001101

（2）＝115（8）．故选A

4.下列各数中，与1010（4）相等的数是（）

A．76（9）B．103（8）C．2111（3）D．1000100

（2）

D1010（4）＝1×

43＋1×

4＝68.因为76（9）＝7×

9＋6＝69；

103（8）＝1×

82＋3＝67；

2111（3）＝2×

33＋1×

32＋1×

3＋1＝67；

1000100

（2）＝1×

22＝68，所以1010（4）＝1000100

（2）．故选D.

5.一个k进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k不可能是（）

A．3B．4C．5D．7

Dk进制的最小三位数为k2，六进制的最大二位数为5×

6＋5＝35，由k2≤35得0<

k≤，故k不可能是7.故选D.

6.记anan－1…a1a0（k）表示一个k进制数，若21（k）＝9，则321（k）在十进制中所表示的数为（）

A．86B．57C．34D．17

B由已知中21（k）＝9，求出k值，进而利用累加权重法，可得答案．

若21（k）＝9，则2k＋1＝9，解得k＝4，

故321（k）＝321（4）在＋进制中所表示的数为：

3×

42＋2×

4＋1＝57.故选B

能力型师生共研

7.已知10b1

（2）＝a02（3），求数字a，b的值．

a＝1，b＝1∵10b1

（2）＝1×

23＋b×

2＋1＝2b＋9，

a02（3）＝a×

32＋2＝9a＋2，

∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1，2}，b∈{0，1}，

∴当a＝1时，b＝1符合题意，当a＝2时，b＝

不合题意，

∴a＝1，b＝1.

8.已知44（k）＝36，把67（k）转化为十进制数为（）

A．8B．55C．56D．62

B由题意得，36＝4×

k1＋4×

k0，所以k＝8.

则67（k）＝67（8）＝6×

81＋7×

80＝55.故选B

9.古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？

27000由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11011，改写为十进制为：

11011

（2）＝1×

20＝16＋8＋2＋1＝27（10）．

又27×

1000＝27000，

所以这组烽火台表示边境约有27000个敌人来犯．

探究型多维突破

10.分别用算法步骤、程序框图、程序语句表示把k进制数a（共有n位数）转化成十进制数b.

算法步骤：

第一步，输入a，k，n的值.

第二步，赋值b＝0，i＝1.

第三步，b＝b＋ai·

ki－1，i＝i＋1.

第四步，判断i>

n是否成立.若是，则执行第五步；

否则，返回第三步.

第五步，输出b的值.

程序框图：

程序语句：

11.若10y1

（2）＝x02（3），求数字x，y的值及与此两数等值的十进制数．

x＝y＝1，11

∵10y1

（2）＝x02（3），∴1×

22＋y×

2＋1＝x×

32＋0×

3＋2，

将上式整理得9x－2y＝7，由进位制的性质知，x∈{1，2}，y∈{0，1}，

当y＝0时，x＝（舍），

当y＝1时，x＝1.

∴x＝y＝1，已知数为102（3）＝1011

（2），与它们相等的十进制数为1×

3＋2＝11.

自助餐

1.在什么进位制中，十进位制数71记为47（）

A．17B．16C．8D．12

B设为k进制，有：

4k＋7＝71，从而可解得k＝16.因此是16进制．故选B.

2.把十进制数20化为二进制数为（）

A．10000

（2）B．10100

（2）C．11001

（2）D．10001

（2）

B利用除2取余数可得．故选B

3.在八进制中12（8）＋7（8）＝21（8），则12（8）×

7（8）的值为（）

A．104（8）B．106（8）C．70（8）D．74（8）

B12（8）＝1×

81＋2×

80＝10（10），7（8）＝7×

80＝7（10），12（8）×

7（8）＝70（10）．

故70（10）＝106（8）．即12（8）×

7（8）＝106（8）．故选B

4.将四位八进制数中的最小数转化为六进制数为（）

A．2120B．3120C．2212D．4212

C四位八进制中的最小数为1000（8）．

所以1000（8）＝1×

83＝512.再将512除以6取余得512＝2212（6）．故选C

5.两个二进制数101

（2）与110

（2）的和用十进制数表示为（）

A．12B．11C．10D．9

B101

（2）＝1×

22＋0×

20＝5，110

（2）＝1×

21＋0×

20＝6，5+6=11.故选B

6.在计算机的运行过程中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与计算．如十进制数8转换成二进制数是1000，记作8（10）＝1000

（2）；

二进制数111转换成十进制数是7，记作111

（2）＝7（10）等．二进制的四则运算，如11

（2）＋101

（2）＝1000

（2）．请计算：

11

（2）×

111

（2）＝________，10101

（2）＋1111

（2）＝________.

10101

（2），100100

（2）

由题可知，在二进制数中的运算规律是“满二进一”，

∴11

（2）×

111

（2）＝10101

（2），

10101

（2）＋1111

（2）＝100100

（2）．

7.1101

（2）＋1011

（2）＝__________（用二进制数表示）．

11000

（2）

1101

（2）＝1×

22＋1＝13；

1011

（2）＝1×

2＋1＝11，则1101

（2）＋1011

（2）＝24.

即24＝11000

（2）．