人教课标版高中数学必修三《算法案例第3课时》教案新版Word格式文档下载.docx
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1.知识回顾
(1)生活中常见的进位制有哪些(例如时间、钱等)
(2)计算机中的2进制和通常的10进制怎么进行转换
(3)非10的两种不同进制之间怎么进行转换
2.问题探究
问题探究一认识进位制,将十进制数转化为
进制数
●活动一什么是
进位制?
我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?
不同的进位制之间又又什么联系呢?
进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数,基数为
,即可称
进位制,简称
进制.现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.
对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示.比如:
十进制数57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的.
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如
表示二进制数,
表示5进制数.
●活动二如何将10进制数转化为2进制数?
解:
根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.
具体的计算方法如下:
这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:
把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001
(2)
●活动三如何将10进制数转化为
进制数?
上述方法可以推广为把十进制化为
进制数的算法,这种算法成为除
取余法.
十进制数化为
进制数(除
取余法)的步骤:
1.除:
把十进制数连续去除以
,直到商为0为止,同时将各步的余数写出
2.取余:
将各步所得的余数倒叙写出,即为所求的
3.标基数:
写出
进制数后将基数
用括号括起来标在右下角
例1.将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
解:
算式如下图,
则458=13022(4)=2042(6)
问题探究二不同进制数相互转换
●活动一如何将10进制数与
进制数进行相互转换?
二进制数110011
(2)化为十进制数是什么数?
110011
(2)=1×
25+1×
24+0×
23+0×
22+1×
21+1×
20=32+16+2+1=51.
那么如何将一个k进制数转换为十进制数?
将k进制数anan-1…a1a0(k)化为十进制的方法:
把k进制数anan-1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式,然后计算出结果即为对应的十进制数.
这样我们就可以进行10进制数与k进制数进行相互转换
●活动二如何将非10的不同进制数进行相互转换?
十进制是连接其他进制的桥梁.把
进制的数转化为10进制数后再把10进制的数转化为
进制数,各个进制数之间就能实现互相转换.
例2.1011001
(2)=______(10)=______(5).
89,324首先将1011001
(2)化为十进制数为1×
26+0+1×
24+1×
23+0+0+1×
20=89,再将89化成五进制数:
89除以5的商是17,余数为4,17除以5的商是3,余数为2,所以五进制数为324.
3.课堂总结
【知识梳理】
(1)
进制化成十进制,幂积求和法
(2)十进制化成
进制,除
取余法
(3)不同进制之间转换:
把
【重难点突破】
(1)进位制之间的转换方法:
进制化成十进制,幂积求和法;
十进制化成
取余法.
(2)把一个非十进制数转化为另一种非十进制数,通常是把这个数先转化为十进制数,然后再利用除
取余法,把十进制数转化为
进制数.而在使用除
取余法时要注意以下几点:
1.必须除到所得的商是0为止;
2.各步所得的余数必须从下到上排列;
3.切记在所求数的右下角标明基数
4.随堂检测
1.下列各进制数中值最小的是()
A.85(9)B.210(6)
C.1000(4)D.111111
(2)
D由进位制的知识易得,故选D.
2.把189化为三进制数,则末位数是()
A.0B.1C.2D.3
A将189除以3得余数为0,所以189化为三进制数的末位数为0.故选A.
3.已知一个k进制的数132与十进制的数30相等,那么k等于()
A.7或4B.-7
C.4D.都不对
C132(k)=1×
k2+3×
k+2=k2+3k+2,∴k2+3k+2=30,即k2+3k-28=0,
解得k=4或k=-7(舍去).故选C.
4.四位二进制数能表示的最大十进制数是()
A.4B.64C.255D.15
D由二进制数化为十进制数的过程可知,当四位二进制数为1111时表示的十进制数最大,此时,1111
(2)=15.故选D
5.七进制数中各个数位上的数字只能是______中的一个.
0、1、2、3、4、5、6
“满几进一”就是几进制.
∵是七进制.∴满七进一,根本不可能出现7或比7大的数字,所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的一个.
6.已知三个数12(16),25(7),33(4),将它们按由小到大的顺序排列为________.
33(4)<
12(16)<
25(7)
将三个数都化为十进制数.12(16)=1×
16+2=18,25(7)=2×
7+5=19,
33(4)=3×
4+3=15,∴33(4)<
25(7).
(三)课后作业
基础型自主突破
1.二进制数111.11
(2)转换成十进制数是()
A.7.3B.7.5C.7.75D.7.125
C由题意知二进制对应的十进制是:
1×
20+1×
2-1+
2-2=4+2+1+0.5+0.25=7.75.故选A
2.将二进制110101
(2)转化为十进制为()
A.106B.53C.55D.108
B110101
(2)=1+1×
25=53.故选B
3.下列与二进制数1001101
(2)相等的是()
A.115(8)B.113(8)C.114(8)D.116(8)
A先化为十进制数:
1001101
(2)=1×
26+1×
23+1×
20=77,再化为八进制数.
所以77=115(8),1001101
(2)=115(8).故选A
4.下列各数中,与1010(4)相等的数是()
A.76(9)B.103(8)C.2111(3)D.1000100
(2)
D1010(4)=1×
43+1×
4=68.因为76(9)=7×
9+6=69;
103(8)=1×
82+3=67;
2111(3)=2×
33+1×
32+1×
3+1=67;
1000100
(2)=1×
22=68,所以1010(4)=1000100
(2).故选D.
5.一个k进制的三位数与某六进制的二位数等值,则k不可能是()
A.3B.4C.5D.7
Dk进制的最小三位数为k2,六进制的最大二位数为5×
6+5=35,由k2≤35得0<
k≤,故k不可能是7.故选D.
6.记anan-1…a1a0(k)表示一个k进制数,若21(k)=9,则321(k)在十进制中所表示的数为()
A.86B.57C.34D.17
B由已知中21(k)=9,求出k值,进而利用累加权重法,可得答案.
若21(k)=9,则2k+1=9,解得k=4,
故321(k)=321(4)在+进制中所表示的数为:
3×
42+2×
4+1=57.故选B
能力型师生共研
7.已知10b1
(2)=a02(3),求数字a,b的值.
a=1,b=1∵10b1
(2)=1×
23+b×
2+1=2b+9,
a02(3)=a×
32+2=9a+2,
∴2b+9=9a+2,即9a-2b=7.∵a∈{1,2},b∈{0,1},
∴当a=1时,b=1符合题意,当a=2时,b=
不合题意,
∴a=1,b=1.
8.已知44(k)=36,把67(k)转化为十进制数为()
A.8B.55C.56D.62
B由题意得,36=4×
k1+4×
k0,所以k=8.
则67(k)=67(8)=6×
81+7×
80=55.故选B
9.古时候,当边境有敌人来犯时,守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告,如图,烽火台上点火,表示数字1,不点火表示数字0,约定二进制数对应的十进制的单位是1000,请你计算一下,这组烽火台表示约有多少敌人入侵?
27000由图可知从左到右的五个烽火台,表示二进制数的自左到右五个数位,依题意知这组烽火台表示的二进制数是11011,改写为十进制为:
11011
(2)=1×
20=16+8+2+1=27(10).
又27×
1000=27000,
所以这组烽火台表示边境约有27000个敌人来犯.
探究型多维突破
10.分别用算法步骤、程序框图、程序语句表示把k进制数a(共有n位数)转化成十进制数b.
算法步骤:
第一步,输入a,k,n的值.
第二步,赋值b=0,i=1.
第三步,b=b+ai·
ki-1,i=i+1.
第四步,判断i>
n是否成立.若是,则执行第五步;
否则,返回第三步.
第五步,输出b的值.
程序框图:
程序语句:
11.若10y1
(2)=x02(3),求数字x,y的值及与此两数等值的十进制数.
x=y=1,11
∵10y1
(2)=x02(3),∴1×
22+y×
2+1=x×
32+0×
3+2,
将上式整理得9x-2y=7,由进位制的性质知,x∈{1,2},y∈{0,1},
当y=0时,x=(舍),
当y=1时,x=1.
∴x=y=1,已知数为102(3)=1011
(2),与它们相等的十进制数为1×
3+2=11.
自助餐
1.在什么进位制中,十进位制数71记为47()
A.17B.16C.8D.12
B设为k进制,有:
4k+7=71,从而可解得k=16.因此是16进制.故选B.
2.把十进制数20化为二进制数为()
A.10000
(2)B.10100
(2)C.11001
(2)D.10001
(2)
B利用除2取余数可得.故选B
3.在八进制中12(8)+7(8)=21(8),则12(8)×
7(8)的值为()
A.104(8)B.106(8)C.70(8)D.74(8)
B12(8)=1×
81+2×
80=10(10),7(8)=7×
80=7(10),12(8)×
7(8)=70(10).
故70(10)=106(8).即12(8)×
7(8)=106(8).故选B
4.将四位八进制数中的最小数转化为六进制数为()
A.2120B.3120C.2212D.4212
C四位八进制中的最小数为1000(8).
所以1000(8)=1×
83=512.再将512除以6取余得512=2212(6).故选C
5.两个二进制数101
(2)与110
(2)的和用十进制数表示为()
A.12B.11C.10D.9
B101
(2)=1×
22+0×
20=5,110
(2)=1×
21+0×
20=6,5+6=11.故选B
6.在计算机的运行过程中,常常要进行二进制数与十进制数的转换与计算.如十进制数8转换成二进制数是1000,记作8(10)=1000
(2);
二进制数111转换成十进制数是7,记作111
(2)=7(10)等.二进制的四则运算,如11
(2)+101
(2)=1000
(2).请计算:
11
(2)×
111
(2)=________,10101
(2)+1111
(2)=________.
10101
(2),100100
(2)
由题可知,在二进制数中的运算规律是“满二进一”,
∴11
(2)×
111
(2)=10101
(2),
10101
(2)+1111
(2)=100100
(2).
7.1101
(2)+1011
(2)=__________(用二进制数表示).
11000
(2)
1101
(2)=1×
22+1=13;
1011
(2)=1×
2+1=11,则1101
(2)+1011
(2)=24.
即24=11000
(2).