北师大版初中数学八年级上册知识讲解 第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固基础Word文件下载.docx

北师大版初中数学八年级上册知识讲解 第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固基础Word文件下载.docx

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三角形的内角和定理：

三角形的内角和等于180°

．

推论：

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

（2）推论可以当做定理使用.

【典型例题】

类型一、定义、命题及证明

1.我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?

试举例说明.

【答案与解析】

解：

是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.

【总结升华】如果将一个命题的条件与结论互换，则得到这个命题的逆命题，但原命题正确，逆命题不一定正确.

举一反三：

【变式】下列命题中,真命题有（）.

1若x＝a，则x2－（a+b）x+ab＝0

2直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离

3如果

＝0,那么x＝±

2

4如果a＝b,那么a3＝b3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

2.如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角．

【答案】

证明：

因为∠AOC+∠COB＝180°

（平角定义），

又因为∠AOC＝∠BOD（已知），

所以∠BOD+∠COB＝180°

，即∠COD＝180°

所以C、O、D三点在一条直线上（平角定义），

即直线AB、CD相交于点O，

所以∠AOC与∠BOD是对顶角（对顶角定义）．

【总结升华】证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°

类型二、平行线的性质与判定

3.（2019春•胶州市期中）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A=30°

，∠B=60°

，∠D=∠E=45°

（1）若∠BCD=150°

，求∠ACE的度数；

（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；

（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．

【思路点拨】

（1）由∠BCD=150°

，∠ACB=90°

，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE的度数；

（2）根据

（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD=∠ACB+∠ACD，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD可得出结论；

（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解．

【答案与解析】解：

（1）∵∠BCA=∠ECD=90°

，∠BCD=150°

，

∴∠DCA=∠BCD﹣∠BCA=150°

﹣90°

=60°

∴∠ACE=∠ECD﹣∠DCA=90°

﹣60°

=30°

；

（2）∠BCD+∠ACE=180°

，理由如下：

∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°

+∠ACD，

∠ACE=∠DCE﹣∠ACD=90°

﹣∠ACD，

∴∠BCD+∠ACE=180°

（3）当∠BCD=120°

或60°

时，CD∥AB．

如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，

当∠B+∠BCD=180°

时，CD∥AB，此时∠BCD=180°

﹣∠B=180°

=120°

如图③，根据内错角相等，两直线平行，

当∠B=∠BCD=60°

【总结升华】本题考查了平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．

4.（2018春•海珠区期末）如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，求证：

∠3+∠4=180°

【思路点拨】欲证∠3+∠4=180°

，需证BE∥DF，而由AD∥BC，易得∠1=∠3，又∠1=∠2，所以∠2=∠3，即可求证．

∵AD∥BC，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BE∥DF，

∴∠3+∠4=180°

【总结升华】此题考查平行线的判定和性质：

两直线平行，同旁内角互补．要灵活应用．

【变式1】

（2018春•大名）如图：

AD∥BC，∠DAC=60°

，∠ACF=25°

，∠EFC=145°

，则直线EF与BC的位置关系是　．

【答案】

平行．

∴∠ACB=∠DAC=60°

∵∠ACF=25°

∴∠FCB=35°

∴∠EFC+∠FCB=145°

+35°

=180°

∴EF∥BC，故答案为：

【变式2】已知：

如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3.

求证：

AB∥DC.

∵∠ABC＝∠ADC,

∴

（等式性质）.

又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,

∴∠1＝

，∠2＝

（角平分线的定义）.

∴∠1＝∠2　（等量代换）.

又∵∠1＝∠3（已知）,

∴∠2＝∠3（等量代换）.

∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）.

类型三、三角形的内角和定理及推论

5.如图，P是△ABC内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A和∠BPC的大小，再计算一下，∠ABP＋∠ACP＋∠A是多少度？

这三个角的和与∠BPC有什么关系？

你能用学到的知识来解释其中的道理吗？

你能判断∠BPC和∠A的大小吗？

∠ABP＋∠ACP＋∠A＝∠BPC，∠BPC＞∠A。

如下图，延长BP到D，

则∠PDC＝∠A＋∠∠ABP，∠PDC>

∠A.

同理，∠BPC＝∠PDC＋∠ACP，∠BPC>

∠PDC.

所以∠BPC＝∠ABP＋∠ACP＋∠A，∠BPC＞∠A.

【变式1】如图,△ABC的两外角平分线交于点P,易证∠P＝90°

-

∠A；

△ABC两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC＝90°

+

那么△ABC的内角平分线BM与外角平分CM的夹角

∠M＝_____∠A.

【变式2】如图,E是BC延长线上的点,∠1＝∠2.求证:

∠BAC＞∠B.

∵∠2＝∠B+∠D

∴∠B＝∠2-∠D

又∵∠BAC＝∠1+∠D∠1＝∠2

∴∠BAC>

∠B

类型四、实际应用

6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°

，你能说出∠EGF的度数吗？

【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°

，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°

，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°

，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC＝180°

－∠DEG，问题可解.

因为AD∥BC（已知），

所以∠DEF＝∠EFG＝30°

（两直线平行，内错角相等）.

因为∠GEF＝∠DEF＝30°

（对折后重合部分相等），

所以∠DEG＝2∠DEF＝60°

.

所以∠EGC＝180°

－∠DEG＝180°

－60°

＝120°

（两直线平行，同旁内角互补）.

【总结升华】本题利用了：

（1）折叠的性质：

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；

（2）平行线的性质．

【巩固练习】

一、选择题

1．下列命题中，真命题是（）.

A．任何数的绝对值都是正数B．任何数的零次幂都等于1

C．互为倒数的两个数的和为零D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大

2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）.

A．第一次向左拐30°

，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°

，第二次向左拐130°

C．第一次向左拐50°

D．第一次向左拐50°

，第二次向右拐130°

3．（2018春•通川区期末）如图，如果∠1=∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（　　）

（1）FG∥DC；

（2）∠AED=∠ACB；

（3）CD平分∠ACB；

（4）∠1+∠B=90°

（5）∠BFG=∠BDC．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（）.

　　A．同位角　　　B．同旁内角　　　C．内错角　　　D.同位角或内错角

5.（2019•南湖区一模）如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=98°

，则∠C的度数为（　　）

A．40°

B．41°

C．42°

D．43°

6.如图，已知∠A＝∠C，如果要判断AB∥CD，则需要补充的条件是（）．

A．∠ABD＝∠CEFB．∠CED＝∠ADB

C．∠CDB＝∠CEFD．∠ABD+∠CED＝180°

7.如图，

，则

AEB＝（）．

A．

B．

C．

D．

8.把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°

，则下列结论不正确的有（）．

A.

B.∠AEC＝148°

C.∠BGE＝64°

D.∠BFD＝116°

二、填空题

9．（荆州二模）如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ECD＝110°

，则∠ABE的度数为________．

10.如图，l∥m，∠1＝115°

，∠2＝95°

，则∠3＝．

11.如图所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是．

12．（2019春•南陵县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°

，∠2=20°

，则∠B=　　．

13．（2018春•苏州）如图所示，∠A=10°

，∠ABC=90°

，∠ACB=∠DCE，∠ADE=∠EDF，∠CED=∠FEG．则∠F=　　．

14.我们已经证明了“三角形的内角等于180°

”,易证“四边形的内角和等于360°

＝2×

180°

五边形的内角和等于540°

＝3×

180°

，……”试猜想十边形的内角和等于

度．

15.五角形的五个内角的和是________.

16.如图，下面四个条件：

（1）

，

（2）

，（3）

，（4）

请你以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题：

如果③④

，那么②

．（只填序号即可）

三、解答题

17．如图所示，在平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，

∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）

18.如图所示，已知∠1＝50°

，∠2＝130°

，∠4＝50°

，∠6＝130°

，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．

19.如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°

，∠2＝125°

，求∠x的大小．

20.（2018春•沛县期末）已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°

（1）∠ABC+∠ADC=　　；

（2）如图1，若DE平分∠ABC的外角，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明．

（3）如图2，若BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=

∠CDN，∠CBE=

∠CBM），试求∠E的度数．

1.【答案】D；

2.【答案】A；

【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.

3.【答案】C；

【解析】解：

∵DE∥BC，∴∠DCB=∠1，∠AED=∠ACB，

（2）正确；

∵∠1=∠2，∴∠2=∠DCB，∴FG∥DC，

（1）正确；

∴∠BFG=∠BDC，（5）正确；

正确的个数有3个，故选：

C．

4.【答案】D；

【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角.

5.【答案】B；

如图，连接AO、BO．

由题意EA=EB=EO，

∴∠AOB=90°

，∠OAB+∠OBA=90°

∵DO=DA，FO=FB，

∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，

∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，

∵∠CDO+∠CFO=98°

∴2∠DAO+2∠FBO=98°

∴∠DAO+∠FBO=49°

∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°

∴∠C=180°

﹣（∠CAB+∠CBA）=180°

﹣139°

=41°

，故选B．

6.【答案】B；

7.【答案】B；

【解析】

∠EAB＝75°

－25°

＝50°

8.【答案】B；

【解析】选项B中，∠AEC＝180°

－32°

×

2＝116°

，所以选项B错误.

9.【答案】70°

【解析】因AB∥CD，所以∠ABC＝∠ECD＝110°

，所以∠ABE＝180°

-110°

＝70°

10.【答案】150°

【解析】∠1＋∠2＋∠3＝360°

，所以∠3＝360°

－（115°

＋95°

）＝150°

11.【答案】垂直；

解：

EG⊥FG，理由如下：

∵AB∥CD，∴∠BEN+∠MFD＝180°

∵EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，

∴∠GEN+∠GFM＝

（∠BEN+∠MFD）＝

＝90°

∴∠EGF＝180°

-∠GEN-∠GFM＝90°

∴EG⊥FG．

12.【答案】50°

【解析】∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°

﹣20°

=10°

Rt△ABD中，∠B=90°

﹣∠BAD=90°

﹣30°

﹣10°

=50°

13.【答案】70°

14.【答案】1440°

【解析】十边形的内角和:

（10-2）×

＝1440°

由此得n边形的内角和:

（n-2）×

15.【答案】180°

【解析】如下图，∠A＋∠C＝∠2，∠B＋∠D＝∠1，而∠1＋∠2＋∠E＝180°

，从而得答案．

16.【答案】

（2）（4），

（1）；

（答案不唯一，只要答案合理即可）

【解析】通过证明全等可得答案．

17.【解析】

四边形PQMN为长方形．

在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°

又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD，

∴∠N＝90°

同理∠CMD＝∠Q＝∠APB＝90°

又∵∠CMD＝∠NMQ，∠APB＝∠NPQ，

∴四边形PQMN为长方形．

18.【解析】

因为∠1＝50°

（已知），

所以∠1+∠2＝180°

所以a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．

所以∠3＝∠1＝50°

（两直线平行，同位角相等）．

又因为∠4＝50°

所以∠3＝∠4（等量代换）．

所以d∥e（同位角相等，两直线平行）．

因为∠5+∠6＝180°

（平角定义），∠6＝130°

所以∠5＝50°

（等式的性质）．

所以∠4＝∠5（等量代换）．

所以b∥c（内错角相等，两直线平行）．

因为a∥b，b∥c（已知），

所以a∥c（平行于同一直线的两直线平行）．

19.【解析】

过E点作EF∥AB，则∠3＝180°

-∠1＝70°

因为EF∥AB，AB∥CD，

所以EF∥CD．

所以∠4＝180°

-∠2＝55°

所以∠x＝180°

-∠3-∠4＝55°

20.【解析】

（1）解：

∵∠A=∠C=90°

∴∠ABC+∠ADC=360°

2=180°

故答案为：

（2）解：

延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=

∠ADC，∠CBF=

∠CBM，

又∵∠CBM=180°

﹣∠ABC=180°

﹣（180°

﹣∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°

∴DG⊥BF，

即DE⊥BF；

（3）解：

由

（1）得：

∠CDN+∠CBM=180°

∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE=

45°

延长DC交BE于H，

由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°

﹣45°

=45°