初三数学第二十二章《一元二次方程》全章教案Word文档下载推荐.docx
《初三数学第二十二章《一元二次方程》全章教案Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学第二十二章《一元二次方程》全章教案Word文档下载推荐.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
学生活动：
请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？
还是与多项式一样只有式子？
老师点评：
（1）都只含一个未知数x；
（2）它们的最高次数都是2次的；
（3）都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项．
例1．将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5（x+2）必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：
略
注意:
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
例2．（学生活动：
请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；
一次项、一次项系数；
常数项．
分析：
通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：
三、巩固练习
教材P32练习1、2
补充练习:
判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x+2=5y-3
（2）x2=4（3）3x2-
=0（4）x2-4=（x+2）2（5）ax2+bx+c=0
四、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
五、布置作业
1．教材P34习题22．11
（2）（4）（6）、2．
22．1一元二次方程
1．一元二次方程根的概念；
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；
由解给出根的概念；
再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．
1．重点：
判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
教学过程
一、复习引入
请同学独立完成下列问题．
问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0
列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
x2-8x+20
问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44
x2+7x
老师点评（略）
提问：
（1）问题1中一元二次方程的解是多少？
问题2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？
（1）问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.
（2）如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
回过头来看：
x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；
但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2007（a+b+c）的值
练习:
关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
点拨:
如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.
例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0
（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0
要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．
教材P33思考题练习1、2．
四、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
（1）一元二次方程根的概念；
（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．（“夹逼”方法;
平方根的意义）
1．教材P34复习巩固3、4综合运用5、6、7拓广探索8、9．
22.2.1直接开平方法
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：
通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
一、复习引入
请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题1：
根据完全平方公式可得：
（1）164；
（2）42；
（3）（
）2
．
问题2：
目前我们都学过哪些方程?
二元怎样转化成一元？
一元二次方程于一元一次方程有什么不同？
二次如何转化成一次？
怎样降次？
以前学过哪些降次的方法？
上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±
3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=--2
例1：
解方程：
（1）（2x-1）2=5
（2）x2+6x+9=2（3）x2-2x+4=-1
分析：
很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
（2）由已知，得：
（x+3）2=2
直接开平方，得：
x+3=±
即x+3=
，x+3=-
所以，方程的两根x1=-3+
，x2=-3-
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；
二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
设每年人均住房面积增长率为x，
则：
10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±
1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：
解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
教材P36练习．
四、归纳小结
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±
，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解
1．教材P45复习巩固1、2．
22.2.2配方法
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
2．难点与关键：
不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5
（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9（4）4x2+16x=-7
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±
或mx+n=±
（p≥0）．
如：
4x2+16x+16=（2x+4）2,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?
列出下面问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题2：
要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：
前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．
（2）不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式→（x+3）2=25降次→x+3=±
5即x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2，x2=-8
可以验证：
x1=2，x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1．用配方法解下列关于x的方程
（1）x2-8x+1=0
（2）x2-2x-
=0
（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；
（2）同上．
教材P38讨论改为课堂练习，并说明理由．
教材P39练习12．
（1）、
（2）．
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
1．教材P45复习巩固2．3
（1）
（2）
22.2.3公式法
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
求根公式的推导和公式法的应用．
一元二次方程求根公式法的推导．
一、复习引入
1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
（1）x2=4
（2）（x-2）2=7
提问1这种解法的（理论）依据是什么？
提问2这种解法的局限性是什么？
（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。
）
2．面对这种局限性，怎么办？
（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。
（学生活动）用配方法解方程2x2+3=7x
（老师点评）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）现将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±
√q；
如果q＜0,方程无实根．
二、探索新知
用配方法解方程
（1）ax2－7x+3=0
（2）ax2+bx+3=0
（3）如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：
已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=
，x2=
（这个方程一定有解吗?
什么情况下有解？
因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
移项，得：
ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+
x=-
配方，得：
x2+
x+（
）2=-
+（
）2
即（x+
）2=
∵4a2>
0，4a2＞0,当b2-4ac≥0时
≥0
∴（x+
）2=（
x+
=±
即x=
∴x1=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根．（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0
（2）x2+1.5=-3x（3）x2-
x+
=0（4）4x2-3x+2=0
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
补:
（5）（x-2）（3x-5）=0
教材P42练习1．
（1）、（3）、（5）或
（2）、（4）、（6）
五、归纳小结
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:
1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>
0.2）找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。
3）计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P45复习巩固4．
22.2.5因式分解法
用因式分解法解一元二次方程．
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
用因式分解法解一元二次方程．
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
（学生活动）解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为
，
的一半应为
，因此，应加上（
）2，同时减去（
）2．
（2）直接用公式求解．
（学生活动）请同学们口答下面各题．
（老师提问）
（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；
左边都可以因式分解:
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0
（2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是
（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1．解方程
（1）10x-4.9x2=0
（2）x（x-2）+x-2=0（3）5x2-2x-
=x2-2x+
（4）（x-1）2=（3-2x）2思考：
使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？
略（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。
练习：
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．
A．（x-3）（x-5）=10×
2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=
，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x两边同除以x，得x=1
三、巩固练习
教材P45练习1、2．
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式
的值．
要求
的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-
b或a=
b
当a=-
b时，原式=-
=3
当a=
b时，原式=-3．
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
教材P46复习巩固5综合运用8、10
一元二次方程的解法复习课
教学内容习题课
教学目标
能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。
会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法。
重难点关键
1．重点：
会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。
2．难点：
通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。
1．用不同的方法解一元二次方程3x2-5x-2=0（配方法，公式法，因式分解发）
教师点评：
三种不同的解法体现了同样的解题思路——把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求解。
2把下列方程的最简洁法选填在括号内。
（A）直接开平方法（B）配方法（C）公式法（D）因式分解法
（1）7x-3=2x2（）
（2）4（9x-1）2=25（）（3）（x+2）（x-1）=20（）
（4）4x2+7x=2（）（5）2（0.2t+3）2-12.5=0（）（6）x2+2
x-4=0（）
说明:
一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。
其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。
3．将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。
（1）3x2=x+4
（2）（2x+1）（4x-2）=（2x-1）2+2（3）（x+3）（x-4）=-6（4）（x+1）2-2（x-1）2=6x-5
说明：
将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而节能为揭发的选择提供基础。
4.阅读材料，解答问题：
材料：
为解方程（x2-1）2-5（x2-1）2+4
升级会员 