将数学文化融入概率统计课程教学的案例研究与设计.docx

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将数学文化融入概率统计课程教学的案例研究与设计

将数学文化融入概率统计课程教学的案例研究与设计

将数学文化融入《概率论与数理统计》课程教学的案例研究与设计

一、将数学文化融入《概率论与数理统计》课程教学的重要性

在《概率论与数理统计》的教学中，融入数学文化具有重要的意义。

首先，数学文化作为文化的一种表现形式，将数学文化融入《概率论与数理统计》教学过程中去，使得数学研究和学习的范围更加广泛，领域更加多样，这不仅仅丰富了数学知识，还实现了概率统计教学的结构调整和优化。

其次，数学文化融入《概率论与数理统计》教学过程中，将有利于实现数学文化修养的塑造，极好地规避了大学数学传统教学理论的教学方式，使得学生能够对于概率统计教学知识有更加全面的理解和判断，为学生创造力的发展打下基础。

最后，将数学文化融入《概率论与数理统计》教学过程中去，将有利于树立大学生正确的数学观念，养成良好的数学素养，能够以数学严谨的态度去探析问题，解决问题。

2、教学案例研究与设计

（一）概率论基本概念教学

在概率统计课堂教学中，给数学多一点儿人文色彩，激发学生灵感，将数学背景资料，如概率统计发展中的若干重要事件，重要人物或重要成果等融入教学内容中，帮助学生认识概率统计概念、思想方法发展过程，让学生对整门课程有一个清晰、连贯的认识，这也是体现数学文化价值的一种有效途径。

例如，在进行概率论的基础概念教学时，首先通过历史故事作为切入点，吸引学生的注意力。

概率论起源于有关赌博问题的研究，在17世纪中期的法国，贵族梅累曾经发现一个十分有趣的“分赌注”现象，同时与数学兼物理学学者帕斯卡进行分享。

这个著名的“分赌注”问题是这样的：

梅累喜爱赌博，曾经与赌友比赛掷骰子，而每人的赌注为32枚金币，同时制定规则，梅累首先掷出三次六点或者赌友先掷三次四点，则判定为赢，赌局结束。

而在赌局开始没多久，梅累就已经完成了两次掷出六点，而赌友仅仅完成一次掷出四点，而这时梅累突然接到国王召见，所以赌局只能被迫停止，那么问题是两人对于共计64枚金币的分配问题产生了分歧，问如何划分才是科学的？

而帕斯卡对于这个奇妙现象也是百思不得其解，通过长达三年的研究，直到165年，才有了点眉目，发现了其中的规律，于是他写信给他的好友费马，和他进行探讨，两人讨论并取得了一致的意见。

虽然表明看来，这就是相当于是现代的普通的棋盘游戏，但是其中风险的理念却推动了概率论的出现。

“分赌本”问题经历了长达一百多年的探究，才得到了正确的解决，在解决的过程中又孕育了一些概率论的基本概念。

当完成概率论产生史的介绍后，组织学生进行探讨，同时根据自身的思想和所学的知识去解答赌注的分配问题，而学生也会因为故事的趣味性进而开展自主思考，激发了探索随机世界的兴趣，最终深刻了解概率的思想理念。

（二）贝叶斯公式

贝叶斯公式是概率论中的一个极为有用的公式，在教学时可以通过引入有关贝叶斯公式的历史背景知识，同时结合生活中的实际素材，将数学文化融入课堂教学过程中，促进有效教学的进行。

18世纪英国业余数学家托马斯·贝叶斯提出过一种看上去似乎显而易见的观点：

“用客观的新信息更新我们最初关于某个事物的信念后，我们就会得到一个新的、改进了的信念。

”这个研究成果，因为简单而显得平淡无奇，直到他死后的两年才于1763年由他的朋友理查德·普莱斯帮助发表。

它的数学原理很容易理解，简单说就是，如果你看到一个人总是做一些好事，则会推断那个人多半会是一个好人。

这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。

用数学语言表达就是：

支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。

与其他统计学方法不同，贝叶斯方法建立在主观判断的基础上，你可以先估计一个值，然后根据客观事实不断修正。

1774年，法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯独立地再次发现了贝叶斯公式。

拉普拉斯关心的问题是：

当存在着大量数据，但数据又可能有各种各样的错误和遗漏的时候，我们如何才能从中找到真实的规律。

拉普拉斯研究了男孩和女孩的生育比例。

有人观察到，似乎男孩的出生数量比女孩更高。

这一假说到底成立不成立呢？

拉普拉斯不断地搜集新增的出生记录，并用之推断原有的概率是否准确。

每一个新的记录都减少了不确定性的范围。

拉普拉斯给出了我们现在所用的贝叶斯公式的表达：

该公式表示在A事件发生的条件下B事件发生的条件概率，等于B事件发生条件下A事件发生的条件概率乘以B事件的概率，再除以A事件发生的概率。

公式中，P（B）也叫做先验概率，P（B|A）叫做后验概率。

在讲解贝叶斯公式这节内容之前，学生们已经具备了有关条件概率、全概率公式的相关知识，条件概率的公式为：

；

即事件A和事件B同时发生的概率等于在发生A的条件下B发生的概率乘以A的概率。

由此也可以推导出贝叶斯公式:

，

即已知P（A|B）,P（A）和P（B）可以计算出P（B|A）。

我们给出贝叶斯公式的定理形式：

若为一列互不相容的事件，且

则对任一事件A，有

概率统计来源于生活，日常生活中随处可见它的身影，反过来，概率统计也应用于生产、生活、及科学技术的各个领域。

因此，概率统计的教学要注重紧密联系实际，从实际生活中多寻找素材，展示概率统计的活力与魅力，切不可脱离实际，仅仅教给学生理论知识。

下面通过一个典型的医学普查的例子，加深学生们对贝叶斯公式的理解和应用：

用甲胎蛋白法普查肝癌。

令

C={被检验者患肝癌}；A={甲胎蛋白检验结果为阳性}

则={被检验者患肝癌}；={甲胎蛋白检验结果为阳性}

由过去的资料已知

又已知某地居民的肝癌发病率为。

在普查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性的人，求这批人中真正患有肝癌的概率。

解：

由贝叶斯公式可得

由此可知，经甲胎蛋白法检验为阳性的人群中，其中真正患有肝癌的人还是很少的（只占0.38%）。

把和已知的及对比一下是很有意思的。

当已知病人患肝癌或为患肝癌时，甲胎蛋白检验的准确性应该说是比较高的，这从和可以肯定这一点。

但如果未知病人是否患肝癌，而要从甲胎蛋白检验结果为阳性这一事实出发，来判断病人是否患肝癌，那么它的准确性还是很低的，因为只有0.0038。

这个事实看来似乎有点矛盾，一种检验方法“准确性”很高，在实际使用时准确性却又很低，到底是怎么一回事呢？

这从上述计算中用到的贝叶斯公式可以得到解释。

已知是不大的（这时被检验者为患肝癌，但甲胎蛋白检验结果为阳性，即检验结果是错误的），但是患肝癌的人毕竟很少（在本例中为），于是为患肝癌的人占了绝大多数（）,这就使得检验结果是错误的部分相对很大。

从而造成很小。

那么，上述结果是不是说明甲胎蛋白检验法不能用了呢？

完全不是。

通常医生总是先采取一些其他简单易行的辅助方法进行检查，当他怀疑某个对象有可能患有肝癌时，才建议使用甲胎蛋白法检验。

这时，在被怀疑的对象中，肝癌的发病率已经显著地增加了。

比方说，在被怀疑的对象中，这时按上述方法计算可以得到，这就有相当高的准确性了。

在贝叶斯公式的教学过程中，首先教给学生公式，在很好地阐述它的思想的基础上，再配合现实生活中生动有趣的例子，学生会很好的领会贝叶斯公式的内涵，能够大大地提高教学效果。

（三）数学美

概率统计课程学习不仅有利于学生逻辑思维能力发展，与其他数学课程一样也有利于学生创造性才能包括审美直觉的发展。

例如：

1.对称美：

比如正态分布图象展现的就是一副对称的美丽图案；条件概率公式与乘法公式的“对称性”，连续型随机变量的分布函数与密度函数的表达式“对称性”，学生在解决概率问题时可以充分运用这个对称特征，提升解题效率。

2.简洁美：

追求简洁美不仅能激发学生学习兴趣，往往还可以促进学生独辟蹊径，找到优美而简洁的解法。

如正态分布、分布可加性表达式结构简单、整齐。

从概率统计知识讲述过程中，让学生体会到其中的美，体会到数学也是赏心悦目的，让追求其中的美成为学生的学习动力，利用美陶冶情操，实现数学文化的教育功能，真正将数学文化融入《概率论与数理统计》的教学中。

3、总结

数学不仅仅是一种“工具”或者解决问题的“方法”，也是一种“思维方式”；数学不仅仅是一门科学，更是一种文化；学习数学也是在培养一种数学素质。

尽管数学是一门具有抽象性和应用性的学科，但是并不影响其教学的多样性，特别是在概率统计教学中渗透数学文化，往往会让数学的人文性和思想价值充分体现，同时能够对学生形成积极的引导，进而提升其数学文化素养以及逻辑思维能力。

对教师来说，应当从根本上转变传统的教学观念，从学科基本概念、定理和解题中跳出来，走向数学文化，转变这门课程在学生心目中的印象，让学生更贴近数学，更加了解概率论与数理统计课程。

概率统计课堂也应当是数学文化传承的地方，教师在概率统计知识与技能的教学中，适时介绍概率统计知识产生的背景；在过程与方法的教学中，有意提炼数学的思想方法；在情感态度价值观的教学中，让学生意会数学中的美，感受数学文化的良好氛围。

这样，学生就可以在获得概率统计较为系统的基础理论知识与方法的同时，培养良好思维方式，提升数学文化素养。