专题20 利用函数增减性解决实际问题题型解析版Word文件下载.docx
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河南开封二模）2018年4月8日﹣11日，博鳌亚洲论坛2018年年会在海南省博鳌镇召开．本届博鳌亚洲论坛的主题为“开放创新的亚洲，繁荣发展的世界”．围绕这一主题，年会设置了“全球化与一带一路”“开放的亚洲”“创新”“改革再出发”四大板块，展开60多场正式讨论．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为y元
根据题意，得
，
解得
．
答：
甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元
（2）设销售甲种商品m万件，则销售甲种商品（8﹣m）万件
根据题意，得900m+600（8﹣m）≥5400
解得m≥2
至少销售甲种商品2万件．
3.（2019·
河南平顶山一模）（10分）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：
信息一：
工人工作时间：
每天上午8：
00﹣12：
00，下午14：
00﹣18：
00，每月工作25天；
信息二：
小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：
生产甲产品数（件）
生产乙产品数（件）
所用时间（分钟）
10
350
30
20
850
信息三：
按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．
信息四：
该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；
（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？
此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？
（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．
由题意得：
解这个方程组得：
生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．
（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×
8×
60﹣x）分．
则生产甲种产品
件，生产乙种产品
件．
∴w总额＝1.5×
+2.8×
＝﹣0.04x+1680，
由
≥60，得x≥900，
由一次函数的增减性，当x＝900时w取得最大值，此时w＝﹣0.04×
900+1680＝1644（元），
则小王该月收入最多是1644+1900＝3544（元），
此时甲有60（件），
乙有：
555（件），
小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．
4.（2019·
洛阳月考）某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元．
（1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？
（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？
可获得最大利润为多少元？
（1）解法一：
设A种商品销售x
件，
则B种商品销售（100-x）件．
依题意，得
10x+15（100-x）=1350
解得x=30．∴100-x=70．
A种商品销售30件，B种商品销售70件．
（2）设A种商品购进a件，则B种商品购进（200-a）件．
依题意，得0≤200-a≤3a，
解得：
50≤a≤200
设所获利润为w元，则有：
w=10a+15（200-a）=-5a+3000
∵-5＜0，∴w随a的增大而减小．
∴当a=50时，所获利润最大W最大=-5×
50+3000=2750元．
200-a=150．
应购进A种商品50件，B种商品150件，可获得最大利润为2750元．
5.（2019·
开封一模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品每件售价为60元，乙种商品每件售价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：
甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原售价的七折销售；
乙种商品售价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原售价至少销售多少件？
（1）
设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为x+8元．
x=40．
经检验，x=40是原方程的解．
甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60-40）a+（60×
0.7-40）（50-a）+（88-48）×
50≥2460，
a≥20．
甲种商品按原销售单价至少销售20件．
6.（2019·
南阳一模）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（
1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购进A种树苗a棵，所需费用为W，求W与x的函数关系式；
（3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得：
80x+60（17﹣x）＝1220，
x＝10，
∴17﹣x＝7，
购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
（2）W与a的函数关系式：
W＝80a+60（17﹣a）＝20a+1020；
（3）由题意得：
购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，
W＝80×
9+60×
8＝1200，
购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，需要1200元．
7.（2019·
三门峡一模）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
港口
运费（元/吨）
甲库
乙库
A港
14
B港
8
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．
（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80-x）吨，从乙仓库运往A港口的有（100-x）吨，运往B港口的有50-（80-x）=（x-30）吨，
费用分别为14x元，10（80-x）元，20（100-x）元，8（x-30）元．
∴y=14x+20（100-x）+10（80-x）+8（x-30）
=-8x+2560，x的取值范围是：
30≤x≤80．
（Ⅱ）y=-8x+2560，x的取值范围是30≤x≤80．
∵-8<
0，
∴y随x增大而减少，当x=80时总运费最小，
当x=80时，y=-8×
80+2560=1920，
此时方案为：
把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．
8.（2019·
三门峡二模）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？
最大利润是多少？
（利润＝销售收入﹣进货金额）
（1）设现在实际购进这种水果每千克a元，则原来购进这种水果每千克（a+2）元，
由题意，得：
80（a+2）＝88a，
a＝20．
现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（25，165），（35，55）代入，
得：
25k+b=165，35k+b=55，
k=－11，b=440，
y与x之间的函数关系式为y＝﹣11x+440；
②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣11x+440）＝﹣11x2+660x﹣8800＝﹣11（x﹣30）2+1100，
所以当x＝30时，w有最大值1100．
将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．
9.（2019·
河南实验中学一模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
销售量y（千克）
100
80
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明
（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
50k+b=100，60k+b=80，
k=－2，b=200，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+200；
（2）由题意可得，
W＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000，
即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+280x﹣8000；
（3）∵W＝﹣2x2+280x﹣8000
＝﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80，
∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，
当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800，
当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
10.（2019·
新乡一模）某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元．
（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？
（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部，这110部手机的销售总利润为y元．
①求y关于n的函数关系式；
②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及
（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．
（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，
根据题意，得：
每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；
（2）①设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，
则y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500，
其中，110﹣n≤2n，即n≥36
∴y关于n的函数关系式为y＝﹣50n+16500（n≥36
）；
②∵﹣50＜0，
∴y随n的增大而减小，
∵n≥36
，且n为整数，
∴当n＝37时，y取得最大值，最大值为﹣50×
37+16500＝14650（元），
购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大；
（3）根据题意，得：
y＝150（110﹣n）+（100+m）n
＝（m﹣50）n+16500，
其中，36
≤n≤80（n为整数），
①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，
∴当n＝37时，y取得最大值，
即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；
②当m＝50时，m﹣50＝0，y＝16500，
即商店购进B型电脑数量满足36
≤n≤80的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，y随n的增大而增大，
∴当n＝80时，y取得最大值，
即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．
11.（2019·
河南实验二模）某学校计划购买排球、篮球，已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；
3个排球与2个篮球的总费用为420元．
（1）求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？
（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60个，并且篮球的数量不超过排球数量的2倍．求至少需要购买多少个排球？
并求出购买排球、篮球总费用的最大值？
（1）设每个排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，
根据题意得：
所以每个排球的价格是60元，每个篮球的价格是120元；
（2）设购买排球m个，则购买篮球（60﹣m）个．
60﹣m≤2m，
解得m≥20，
又∵排球的单价小于蓝球的单价，
∴m＝20时，购买排球、篮球的总费用最大，
购买排球、篮球总费用的最大值＝20×
60+40×
120＝6000元．
12.（2019·
河南二模）为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；
若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元．
（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？
（2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩，求w关于m的函数关系式；
（3）在
（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
（1）设种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入x，y万元，
种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入0.6，0.8万元
（2）由题意得
w＝0.8m+1.2×
＝﹣0.1m+150
（3）由
（2）
m≥2×
解得m≥100
∵w＝﹣0.1m+150
k＝﹣0.1＜0
∴w随m的增大而减小
∴当m＝100时，w最大＝140
＝50
∴当种A蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，获得最大利润为140万元．
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