关于行列式的一般定义和计算方法.docx
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关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法
n阶行列式的定义
n阶行列式=
2N阶行列式是N!
项的代数和;
3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;
特点:
（1）（项数）它是3!
项的代数和;
（2）（项的构成）展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:
（3）（符号规律）三个正项的列标构成的排列为123,231,312.
它们都是偶排列;
三个负项的列标构成的排列为321,213,132,
它们都是奇排列.
§行列式的性质
性质1：
行列式和它的转置行列式的值相同。
即=；
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如:
D==ad-bc,=bc-ad=-D
以r表第i行，C表第j列。
交换i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。
性质3：
如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：
把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。
（第i行乘以k，记作r）
推论1：
一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：
如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
推论3：
如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。
性质5：
如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。
=+
性质6：
把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。
推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和（m>2），则此行列式等于m个行列式之和。
一个n阶行列式，如果它的元素满足：
；试证：
当n为奇数时，此行列式为零。
每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD
性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：
按列：
将性质7与Laplace定理合并为下列结论：
（1）
和
（2）
行列式的计算
1．利用行列式定义直接计算
例1计算行列式
解Dn中不为零的项用一般形式表示为
.
该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于，故
2．利用行列式的性质计算
例2一个n阶行列式的元素满足
则称Dn为反对称行列式，证明：
奇数阶反对称行列式为零.
证明：
由知，即
故行列式Dn可表示为
由行列式的性质
当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3计算n阶行列式
解：
这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4计算n阶行列式
解将Dn按第1行展开
.
5．逆推公式法
逆推公式法：
对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn,Dn－1,Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。
例5证明
证明：
将Dn按第1列展开得
由此得递推公式：
，利用此递推公式可得
6．利用范德蒙行列式
例6计算行列式
解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7计算n阶行列式
解：
（箭形行列式）
8．数学归纳法
例8计算n阶行列式
解：
用数学归纳法.当n=2时
假设n=k时，有
则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得
由此，对任意的正整数n，有
9．拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
例9计算行列式
解：
……
上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。
学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
（1）;
证明
关于行列式的消项（其中C代表列··R代表行）
（2）（ab）3;
证明
（ab）3
（3）
（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）;
证明
（c2,c3,c4减数字去第一列的）
=（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）
（4）xna1xn1an1xan
证明用数学归纳法证明.
当n2时命题成立
假设对于（n1）阶行列式命题成立即
Dn1xn1a1xn2an2xan1
则Dn按第一列展开,有
xDn1anxna1xn1an1xan
因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式Ddet（aij）,把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得
证明D3D
证明 因为Ddet（aij）所以
.
同理可证
7计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）
（1）,其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0
解
（按第n行展开）
anan2an2（a21）
（2）;
解将第一行乘
（1）分别加到其余各行得
再将各列都加到第一列上得
[x（n1）a]（xa）n1
（3）;
解根据第6题结果,有
此行列式为范德蒙德行列式.
例3
练习3：
证明:
.
证明：
左边
从最后一行开始，每行减去上一行，得到：
123...n-1n
111...11-n
............
11-n1...11
然后做列变换，从各列中减去第一列，得到：
112...n-2n-1
100...0-n
............
1-n0...00
再把各列乘以（1/n），加回到第一列，得到：
（n+1）/212...n-2n-1
000...0-n
............
0-n0...00
最后沿第一列展开得到结果是（1/2）*（n+1）*n^{n-1}*（-1）^{（n-1）（n-2）/2}
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