超详细同济大学高等数学公式大全Word格式文档下载.docx
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拉格朗日中值定理：
f（b）f（a）F（a）f（a）f（）（ba）f（b）F（b）fF（）拉格朗日中值定理。
柯西中值定理：
当F（x）曲率：
x时，柯西中值定理就是y2dx,其中y弧微分公式：
ds1tg平均曲率：
K:
从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；
s：
MM弧长。
.syddsM点的曲率：
Klims0.s2）3（1y直线：
K0;
1.a半径为a的圆：
K定积分的近似计算：
精品学习资料第3页，共12页精选名师资料b矩形法：
f（x）ab梯形法：
f（x）abba（y0y1yn1）nba1（y0yn）y1yn1n2ba抛物线法：
af（x）（y0yn）2（y2y4yn2）4（y1y3yn1）3n定积分应用相关公式：
功：
W水压力：
FFspAkm1m2引力：
k为引力系数F2rb1函数的平均值：
yf（x）dxbaab12均方根：
f（t）dtbaa空间解析几何和向量代数：
2）,2）2空间2点的距离：
dMM（xx（yy（zz）12212121向量在轴上的投影：
是AB与u轴的夹角。
PrjuABABcosPrju（a1a2）bcosPrja1axbxPrja2aybyazbz,是一个数量aba,axbxaybyazbz两向量之间的夹角：
cos222222axayazbxbybziaxbxjaybykaz,cbz.例：
线速度：
cababsinvwr.axbxcxaybycyazbzcz向量的混合积：
abc为锐角时，（ab）cabccos,代表平行六面体的体积。
精品学习资料第4页，共12页精选名师资料平面的方程：
1、点法式：
0，其中A（xx0）ByybB（yCzy0）C（zz0）nA,B,C,M0（x0,y0,z0）2、一般方程：
AxD0xazc3、截距世方程：
1Ax0By0Cz0D平面外任意一点到该平面的距离：
d222ABCxyzx0y0z0mtntptxx0myy0nzz0p空间直线的方程：
t,其中sm,n,p;
参数方程：
二次曲面：
222xaybzc1、椭球面：
1222222、抛物面：
xyz（,p,q同号）2p2q3、双曲面：
222xaybyzcz单叶双曲面：
1222222双叶双曲面：
x（1马鞍面）a2b2c2多元函数微分法及应用zdxzdyyudxudyudzz全微分：
dzduxxxy全微分的近似计算：
多元复合函数的求导法z：
dzfx（x,y）fy（x,y）ydzdtzuzxutzvuxvtzfu（t）,v（t）zuzvvxzfu（x,y）,v（x,y）当uu（x,y），vv（x,y）时，udxudyvdxxvdyydudvxy隐函数的求导公式：
2dydxzxFx，FydyFxFyFx）Fydydx隐函数F（x,y）0，）（2xFyFzydxzyFxFz隐函数F（x,y,z）0，精品学习资料第5页，共12页精选名师资料FuGuFvGvF（x,y,u,v）隐函数方程组：
G（x,y,u,v）00FuGuFvGv（F,G）（u,v）Juxuy1J1J（F,G）（x,v）（F,G）（y,v）vxvy1J1J（F,G）（u,x）（F,G）（u,y）微分法在几何上的应用：
xyz（t）（t）在点M（x（t）xx0（t0）yy0（t0）zz0（t0）空间曲线）处的切线方程：
y,z000在点M处的法平面方程：
（t0）（xx0）（t0）（yy0）FyGy（t0）（zz0）Fx0FzGzFyGyF（x,y,z）G（x,y,z）00FzGzFx若空间曲线方程为：
则切向量T,GxGx曲面F（x,y,z）0上一点M（x0,y0,z0），则：
Fx（x0,y0,z0）,Fy（x0,y0,z0）,Fz（x0,y0,z0）1、过此点的法向量：
2、过此点的切平面方程n：
Fx（x0,y0,z0）（xx0）Fy（x0,y0,z0）（yy0）Fz（x0,y0,z0）（zz0）0xx0yy0zz03、过此点的法线方程：
Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）Fz（x0,y0,z0）方向导数与梯度：
flfxfy函数zf（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为：
cossin其中为x轴到方向l的转角。
fxfy函数zf（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）ij：
fl它与方向导数的关系是e，其中ej，为l方向上的gradf（x,y）cosisin单位向量。
fl是gradf（x,y）在l上的投影。
多元函数的极值及其求法：
设fx（x0,y0）0，令：
fy（x0,y0）fxx（x0,y0）A,fxy（x0,y0）B,fyy（x0,y0）C,y0）为极大值,y0）为极小值AA0,（x00,（x020时，ACB2B2B则：
0时，无极不确定值ACAC0时,精品学习资料第6页，共12页精选名师资料重积分及其应用：
f（x,y）dxdyf（rcos,rsin）rdrdDD22zxzy曲面zf（x,y）的面积A1dxdyDx（x,y）dy（x,y）dMMMMyx平面薄片的重心：
DDx,y（x,y）d（x,y）dDD22平面薄片的转动惯量：
对于x轴I对于y轴Iy（x,y）d,x（x,y）dxyDD平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点0）的引力：
Fx,Fy,Fz，其中：
M（0,0,a）,（a（x,y）ydF（x,y）xd（x,y）xd，3，3FxfFyfFzfa3a2）2（x2y2a2）2（x2y2a2）2（x2y2DDD柱面坐标和球面坐标：
xrcosyrsin柱面坐标：
f（x,y,z）dxdydzF（r,z）rdrddz,z,z）zf（rcos其中：
F（r,rsin,z）xyrsinrsincossinr2sin球面坐标：
，dvrdrsinddrdrddzrcos2r（,）F（r,022f（x,y,z）dxdydzF（r,）rsindrdddd,）rsindr001M1Mdv，1M重心：
zdv，其中xxdv,yydv,zMxdv222222转动惯量：
dv，I（yz）I（xz）Iz（xy）dvxy曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
xy（t）（t）设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：
）,则：
（txt（t）2（t）2（t）dt特殊情况：
f（x,y）dsf（t）,（t）（）yL精品学习资料第7页，共12页精选名师资料第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
（t），则：
（t）xy设的参数方程为LP（x,y）dxQ（x,y）dyP（t）,（t）（t）Q（t）,（t）（t）dtL两类曲线积分之间的关系：
）ds，其中和分别为PdxQdy（PcosQcosL的方向角。
LL上积分起止点处切向量QxPyQxPy格林公式：
格林公式：
（）dxdyPdxQdy（）dxdyPdxQdyDLDLQxPy1当x，即：
2时，得到的面积：
Py,QDAdxdyxdyydx2DL平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；
无关的条件：
QxPy2、P（x,y），Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且。
注意奇点，如（0,0），应减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积注意方向相反！
：
QxPy在时，才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：
PdxQdy（x,y）P（x,y）dx（x0,y0）y）dy，通常设0。
u（x,y）Q（x,x0y0曲面积分：
22对面积的曲面积分：
f（x,y,z）dsfx,y,z（x,y）1zx（x,y）zy（x,y）dxdyDxy对坐标的曲面积分：
R（x,y,z）dxdy，其中：
P（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxRx,y,z（x,y）dxdy，取曲面的上侧时取正号；
R（x,y,z）dxdyDxyPx（y,z）,y,zdydz，取曲面的前侧时取正号；
P（x,y,z）dydzDyzQx,y（z,x）,zdzdx，取曲面的右侧时取正号。
Q（x,y,z）dzdxDzx两类曲面积分之间的关系：
PdydzQdzdxRdxdy（PcosQcosRcos）ds高斯公式：
PxQyR）dv（PdydzQdzdxRdxdy（PcosQcosRcos）dsz高斯公式的物理意义通量与散度：
PxQyAndsR,即：
单位体积内所产生z散度：
的流体质量，若0,则为消失divdiv.通量：
）ds，Ands（PcosQcosRcos因此，高斯公式又可写成：
divAdvAnds精品学习资料第8页，共12页精选名师资料斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：
RyQ）dydzzPzR）dzdxxQxP）dxdyycos（PdxQdyRdzdydzdzdxdxdycoscos上式左端又可写成：
xPyQzRxPPzyQR，xzRRyQ，zQxPy空间曲线积分与路径无关的条件：
ijk旋度：
rotAxPyQzR的环流量：
向量场A沿有向闭曲线PdxQdyRdzAtds常数项级数：
n1q2qn1q等比数列：
1q11）n2q（n等差数列：
123n12131是发散的n调和级数：
1级数审敛法：
1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判1时，级数收敛1时，级数发散1时，不确定别法）：
设：
，则nlimunn2、比值审敛法：
1时，级数收敛1时，级数发散1时，不确定U设：
n1，则limnUn3、定义法：
sn存在，则收敛；
否则发散。
snu1u2un;
limn交错级数u1（或0）的审敛法莱布尼兹定理：
u2u3u4unu1u2u3,unun1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和u1,其余项rn的绝对值1。
srnunlimun0n绝对收敛与条件收敛：
精品学习资料第9页，共12页精选名师资料，其中un为任意实数；
un
（1）肯定收敛，且称为绝对
（1）u1
（2）u1u2u2unu3如果
（2）收敛，则如果
（2）发散，而收敛级数；
（1）收敛，则称
（1）为条件收敛级数。
n1发散，而n1
（1）n调和级数：
收敛；
级数：
2np时发散1时收敛1p级数：
pn幂级数：
11时，收敛于x23n1xxxx1x1时，发散x2n对于级数，如果它不是仅在原点R时收敛收敛，也不是在全（3）a0a1xa2xanxxxx数轴上都收敛，则必存在R，使R时发散，其中R称为收敛半径。
R时不定10时，Ranan求收敛半径的方法：
设1，其中an，an1是（3）的系数，则0时，limnR时，R0函数展开成幂级数：
（n）f（x0）（x2!
f（x0）n!
）2）n函数展开成泰勒级数：
f（x）f（x）（xx）x（xx0000（n1）f
（1）!
）n1余项：
）可以展开成泰勒级数的充要条件是：
Rn（xx0）,f（xlimnRn0（n（n）f（0）2!
f（0）n!
2n0时即为麦克劳林公式：
x0f（x）f（0）f（0）xxx一些函数展开成幂级数：
m（m2!
1）m（m1）（mn!
n1）m（1x）2xnx1mx（1x1）352n1xxxn1sinxx
（1）（x）3!
5!
（2n1）!
欧拉公式：
ixixeecosx2e2ixe或cosxisinxixixesinx三角级数：
精品学习资料第10页，共12页精选名师资料a02n，bnf（t）A0Ansin（ntn）（ancosnxbnsinnx）n1n1其中，aA0，ann，x。
a0AnsinAncost正交性：
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x任意两个不同项的乘积在sinnx,cosnx,上的积分傅立叶级数：
0。
a02nx），周期f（x）（acosnxbsin2nnn11anf（x）cosnxdx（n0,1,2）其中1bnf（x）sinnxdx（n1,2,3）22（相加）111111122222358234622（相减）121111111222222246242342正弦级数：
0，nx是奇函数anbnf（x）sinnxdxn1,2,3f（x）bnsin02a02余弦级数：
0，nx是偶函数bnanf（x）cosnxdxn0,1,2f（x）ancos02l周期为的周期函数的傅立叶级数：
a02nxlnxlnxl），周期f（x）（ancosbnsin2ln1l1l1lanf（x）cosdx（n0,1,2）l其中lnxbnf（x）sindx（n1,2,3）ll微分方程的相关概念：
一阶微分方程：
或yf（x,y）P（x,y）dxQ（x,y）dy为g（y）dy0可分离变量的微分方程：
一阶微分方程可以化f（x）dx的形式，解法：
得：
C称为隐式通解。
g（y）dyf（x）dxG（y）F（x）dydxy的函数，解法：
x齐次方程：
一阶微分方程可以写成（x,y），即写成f（x,y）设uy，则dydxdudxdudxdxxdu（u）yx，u（u），分离变量，积分后将代替u，uxxu即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dydx1、一阶线性微分方程：
P（x）yQ（x）P（x）dx当0时,为齐次方程，0时，为非齐次方程，Q（x）yCeP（x）dxP（x）dx当Q（x）y（Q（x）edxC）edydxn2、贝努力方程：
Q（x）y，（nP（x）y0,1）精品学习资料第11页，共12页精选名师资料全微分方程：
如果0中左端是某函数的全微分方程，即：
P（x,y）dxQ（x,y）dyuxuy0，其中：
P（x,y），du（x,y）P（x,y）dxQ（x,y）dyQ（x,y）C应该是该全微分方程的通解。
u（x,y）二阶微分方程：
d2y0时为齐次0时为非齐次f（x）f（x）dydxQ（x）yf（x），P（x）2dx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
0，其中p,q为常数；
（*）ypyqy求解步骤：
1、写出特征方程：
220，其中，r的系数及常数项恰好是式中,y的系数；
（）rprqr（*）y,y2、求出）式的两个根（r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出（*）式的通解：
（*）式的通解，的形式r1r22rxrx12e两个不相等实根（p4q0）ycec12rx2x）e1（p4qy（cc0）两个相等实根122x一对共轭复根（p4q0）ye（c1cosxc2sinx），r2r1iip24q2p2，二阶常系数非齐次线性微分方程qyf（x），p,q为常数yf（x）f（x）pyxePm（x）型，ePl（x）cos为常数；
xx型xPn（x）sin精品学习资料第12页，共12页
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