高考文科数学 刷题小卷练9 导数与函数的单调性极值最值Word文件下载.docx

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B

由题意可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝2（2x－1）lnx＋2（x2－x）·

－2x＋2＝（4x－2）·

lnx.由f′（x）<

0可得（4x－2）lnx<

0，所以

或

解得

<

x<

1，故函数f（x）的单调递减区间为

，选B.

4．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）

不存在选项D的图象所对应的函数，因在定义域内，若上面的曲线是y＝f′（x）的图象，则f′（x）≥0，f（x）是增函数，与图象不符；

反之若下面的曲线是y＝f′（x）的图象，则f′（x）≤0，f（x）是减函数，也与图象不符，故选D.

5．若幂函数f（x）的图象过点

，则函数g（x）＝exf（x）的单调递减区间为（　　）

A．（－∞，0）B．（－∞，－2）

C．（－2，－1）D．（－2,0）

设幂函数f（x）＝xα，因为图象过点

，所以

＝

α，α＝2，所以f（x）＝x2，故g（x）＝exx2，令g′（x）＝exx2＋2exx＝ex（x2＋2x）<

0，得－2<

0，故函数g（x）的单调递减区间为（－2,0）．

6．已知函数f（x）的定义域为（x1，x2），导函数f′（x）在（x1，x2）内的图象如图所示，则函数f（x）在（x1，x2）内极值点的个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

A

由f′（x）的图象可知，其与x轴有4个交点，但是只有2个满足由正变负或由负变正的条件，所以f（x）在（x1，x2）内极值点的个数为2.故选A.

7．[2019·

吉林模拟]函数y＝

在[0,2]上的最大值是（　　）

C．0D.

易知y′＝

，x∈[0,2]，令y′>

0，得0≤x<

1，令y′<

0，得1<

x≤2，所以函数y＝

在[0,1]上单调递增，在（1,2]上单调递减，所以y＝

在[0,2]上的最大值是y|x＝1＝

，故选A.

8．[2017·

全国卷Ⅱ理，11]若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）

A．－1B．－2e－3

C．5e－3D．1

f′（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）ex－1＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex－1.

∵x＝－2是f（x）的极值点，∴f′（－2）＝0，

即（4－2a－4＋a－1）·

e－3＝0，得a＝－1.

∴f（x）＝（x2－x－1）ex－1，f′（x）＝（x2＋x－2）ex－1.

由f′（x）>

0，得x<

－2或x>

1；

由f′（x）<

1.

∴f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，∴f（x）的极小值点为1，

∴f（x）的极小值为f

（1）＝－1.

二、非选择题

9．函数f（x）＝

x2－lnx的最小值为________．

易知函数f（x）＝

x2－lnx的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝x－

，令f′（x）<

0，得0<

1，令f′（x）>

0得x>

1，故函数f（x）＝

x2－lnx的最小值为f

（1）＝

.

10．[2019·

无锡模拟]若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．

由题意知，y′＝3x2＋2x＋m.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，则对于方程3x2＋2x＋m＝0，Δ＝4－12m≤0，即m≥

，故实数m的取值范围是

11．[2019·

河南南阳一中模拟]已知函数f（x）＝x2－5x＋2lnx，则函数f（x）的单调递增区间是________．

和（2，＋∞）

函数求导可得f′（x）＝2x－5＋

（x>

0），令f′（x）＝

>

0，即（2x－1）（x－2）>

0，解得x>

2或0<

，故函数f（x）的单调递增区间是

和（2，＋∞）．

12．[2018·

全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝2sinx＋sin2x，则f（x）的最小值是________．

－

f′（x）＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2（2cos2x－1）

＝2（2cos2x＋cosx－1）＝2（2cosx－1）（cosx＋1）．

∵cosx＋1≥0，

∴当cosx<

时，f′（x）<

0，f（x）单调递减；

当cosx>

时，f′（x）>

0，f（x）单调递增．

∴当cosx＝

，f（x）有最小值．

又f（x）＝2sinx＋sin2x＝2sinx（1＋cosx），

∴当sinx＝－

时，f（x）有最小值，

即f（x）min＝2×

×

＝－

课时增分练⑨

1．[2019·

太原模拟]函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．（－1,3）为函数y＝f（x）的单调递增区间

B．（3,5）为函数y＝f（x）的单调递减区间

C．函数y＝f（x）在x＝0处取得极大值

D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值

由函数y＝f（x）的导函数的图象可知，当x<

－1或3<

5时，f′（x）<

0，y＝f（x）单调递减；

当x>

5或－1<

3时，f′（x）>

0，y＝f（x）单调递增．所以函数y＝f（x）的单调递减区间为（－∞，－1），（3,5），单调递增区间为（－1,3），（5，＋∞）．函数y＝f（x）在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，选C.

江西临川一中模拟]若函数f（x）＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[0，＋∞）B．（－∞，0]

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

由题意知x>

0，f′（x）＝1＋

，要使函数f（x）＝x＋alnx不是单调函数，则方程1＋

＝0在x>

0上有解，即x＝－a，所以a<

0.故选C.

河南漯河模拟]正项等比数列{an}中的a2，a4034是函数f（x）＝

x3－mx2＋x＋1（m<

－1）的极值点，则lna2018的值为（　　）

A．1B．－1

C．0D．与m的值有关

函数f（x）＝

－1）的导数为f′（x）＝x2－2mx＋1（m<

－1），由题意a2，a4034是函数f（x）的极值点，所以a2·

a4034＝1，则a2018＝1（负值舍去），则lna2018＝0.故选C.

4．[2016·

四川卷]已知a为函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（　　）

A．－4B．－2

C．4D．2

根据导数求解．

由题意得f′（x）＝3x2－12，令f′（x）＝0得x＝±

2，∴当x＜－2或x＞2时，f′（x）＞0；

当－2＜x＜2时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（－∞，－2）上为增函数，在（－2,2）上为减函数，在（2，＋∞）上为增函数．

∴f（x）在x＝2处取得极小值，∴a＝2.

5．[2019·

合肥调研]若函数f（x）＝2x2＋lnx－ax在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

A．（4，＋∞）B．[4，＋∞）

C．（－∞，4）D．（－∞，4]

由已知得f′（x）＝4x＋

－a（x>

0），因为函数f（x）是定义域上的单调递增函数，所以当x>

0时，4x＋

－a≥0恒成立．因为当x>

0时，函数g（x）＝4x＋

≥4，当且仅当x＝

时取等号，所以g（x）∈[4，＋∞），所以a≤4，即实数a的取值范围是（－∞，4]，故选D.

6．[2019·

广东广州海珠区质检]已知函数f（x）＝x（lnx－ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）

B．（0,1）

C．（－∞，0）D.

∵f（x）＝x（lnx－ax），∴f′（x）＝lnx－2ax＋1，∴f′（x）在（0，＋∞）上有两个不同的零点．令f′（x）＝0，得2a＝

.设g（x）＝

，则g′（x）＝

，∴g（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．

∵当x→0时，g（x）→－∞，当x→＋∞时，g（x）→0，

∴g（x）max＝g

（1）＝1，∴0<

2a<

1，∴0<

a<

.故选A.

河南鹤壁高级中学基础训练]若函数f（x）＝

x3－

x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则f（x）在R上的极小值为（　　）

A．2b－

b－

C．0D．b2－

b3

由题意得f′（x）＝（x－b）（x－2）．因为f（x）在区间[－3,1]上不是单调函数，所以－3<

b<

1.由f′（x）>

2或x<

b；

0，解得b<

2.所以f（x）的极小值f

（2）＝2b－

8．若函数y＝x3－2ax＋a在（0,1）内无极值，则正整数a的最小值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

由题意知，y′＝3x2－2a，因为a>

0，令y′＝0，即3x2－2a＝0，解得x＝±

，当x∈

∪

时，y′>

0，当x∈

时，y′<

0.所以y＝x3－2ax＋a的单调递增区间为

，

，单调递减区间为

，当x＝－

时原函数取得极大值，当x＝

时，原函数取得极小值，要满足原函数在（0,1）内无极值，需满足

≥1，解得a≥

.所以正整数a的最小值为2，故选B.

9．[2019·

河北大名一中月考]若函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上为单调函数，则k的取值范围是________．

（－∞，0]∪[1，＋∞）

在区间（1，＋∞）上，0<

1，f′（x）＝k－

.当函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上为单调增函数时，k≥

恒成立，则k≥1；

当函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上为单调减函数时，k≤

恒成立，则k≤0，所以k≥1或k≤0.

贵州遵义四中月考]已知函数f（x）＝

x3＋x2＋（1－a2）x在（0,1）内存在最小值，则a的取值范围为________．

（－2，－1）∪（1,2）

由题知f′（x）＝x2＋2x＋（1－a2），令f′（x）＝0可得x＝a－1或x＝－a－1.

当a＝0时，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增，在（0,1）内不存在最小值；

当a>

0时，f（x）在（－∞，－a－1）和（a－1，＋∞）上单调递增，在（－a－1，a－1）上单调递减，根据题意此时0<

a－1<

1，得到1<

2；

当a<

0时，f（x）在（－a－1，＋∞）和（－∞，a－1）上单调递增，在（a－1，－a－1）上单调递减，根据题意此时0<

－a－1<

1，得到－2<

－1.

综上，a的取值范围为（－2，－1）∪（1,2）．

11．[2018·

全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝aex－lnx－1.

（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；

（2）证明：

当a≥

时，f（x）≥0.

（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝aex－

由题设知，f′

（2）＝0，所以a＝

从而f（x）＝

ex－lnx－1，f′（x）＝

ex－

当0<

2时，f′（x）<

0；

2时，f′（x）>

0.

所以f（x）在（0,2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增．

时，f（x）≥

－lnx－1.

设g（x）＝

－lnx－1，则g′（x）＝

1时，g′（x）<

1时，g′（x）>

所以x＝1是g（x）的最小值点．

故当x>

0时，g（x）≥g

（1）＝0.

因此，当a≥