平移与旋转压轴题.docx

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平移与旋转压轴题

平移与旋转压轴题

1.正方形ABCD中，点E、F分别是边ADAB的中点，连接EF.

（1）如图1,若点G是边BC的中点，连接FG贝UEF与FG关系为：

；

（2）如图2,若点P为BC延长线上一动点，连接FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转900，得到线段FQ,连接EQ请猜想EF、EQBP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P为CB延长线上一动点，按照

（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出EF、EQBP三者之间的数量关系：

2）中的作法，请在图3中补全图形，并直

2.在Rt△ABC中，/ACB=90，/A=30°,点D是AB的中点，DELBC,垂足为点E,连接CD

（1）如图1

（2）如图2

D逆时针旋转

明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照

接写出DEBF、BP三者之间的数量关系.

DE与BC的数量关系是;

若P是线段CB上一动点（点P不与点BC重合），连接DP,将线段DP绕点60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DEBF、BP三者之间的数量关系，并证

【）

3.如图1,在厶ABC中，/A=36°,AB=AC/ABC的平分线BE交AC于E.

（备用图）

（1）

（2）

144°

（3）

求证：

AE=BC

如图

（2）,过点

）得到△AE'F'在

（2）的旋转过程中是否存在

E作EF//BC交AB于卩，将厶AEF绕点A逆时针旋转角，连结CE，BF',求证：

CE=BF;

CE//AB?

若存在，求出相应的旋转角

（O°VaV

；若不存在,

请说明理由.

（1）他将正方形ODEF绕0点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？

说明你的理由；

（2）他将正方形ODEF绕0点逆时针旋转，使点E旋转至直线I上，如图3,请你求出CF的长.

ABC

5•某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板

与AFE按如图

（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角a（O°VaV90°

如图

（2）,AE与BC交于点MAC与EF交于点NBC与EF交于点P.

（1）求证：

AM=AN

（2）当旋转角a=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？

并说明理由.

6.如图，在Rt△ABC中，/C=90，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P'）,当AP旋转至AP丄AB时，点B、P、P恰好在同一直线上，此时作PE丄AC于点E.

CP3l

（3）（相似）当--,B—5时，求线段AB的长.

7（三角函数）•如图1在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0,

4）,点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD

J

A

J」

—1

y

<■-«■!

0

圉1

A

圍2

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（.3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

P的坐标；若

（3）是否存在点卩，使厶OPD的面积等于—?

若存在，请求出符合条件的点不存在，请说明理由.

&操作发现，将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.

问题解决

（1）求证：

△CDO是等腰三角形;

（2）若DF=8求AD的长.

ABC的斜边与含30

BF上,AC与BD交于点

将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在

9.如图〔，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，DF分别在ABAC边上,

ADB

AS

此时BD=CFBD丄CF成立。

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转0（0°<0<90°）时，如图2,BD=CF成立吗?

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G。

求证：

BD丄CF。

（3）在

（2）小题的条件下，AC与BG的交点为M当AB=4,AD时，求线段CM的长。

10、已知：

正方形ABCDh/MAN45°,ZMAt绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB

D（或它们的延长线）于点MN.当/MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证BM+DN=MN

（1）当/MAN绕点A旋转到B昨DN时（如图2）,线段BMDN和MN之间有怎样的数量

关系？

写出猜想，并加以证明.

图1

（2）当/MAt绕点A旋转到如图3的位置时，线段关系？

并说明理由.

BMDN和MN之间又有怎样的数量

A顺时针旋转90°后得到矩形

11、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点

AMEF（如图甲），连结BDMF若此时他测得BD=8cm/ADE=30°.

⑴试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；

⑵小红同学用剪刀将△BCDM^MEF剪去，与小亮同学继续探究•他们将厶ABD绕点A

E

F

顺时针旋转得△ABD,AD交FM于点K（如图乙），设旋转角为卩（0°v卩v90°）,当厶AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角卩的度数；

图乙

12、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，

BD90°,ADCD。

思考一段时间后，一位木工师傅说：

“我可以把两块木板拼

成一个正方形。

”另一位木工师傅说：

“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成

两个正方形。

”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？

画出图

形，并说明理由。

13.如图14-1,△ABC的边BC在直线I上，ACBC，且ACBC；△EFP的边FP

也在直线I上，边EF与边AC重合，且EFFP.

（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将厶EFP沿直线I向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP,BQ•猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想;

A（E）

图14-2

图14-3

（3）将厶EFP沿直线I向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ•你认为

（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

14.如图23-127所示，在平面内直线I上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中

较小直角边的长为6cm，较小锐角的度数为30°.

（1）将厶ECD沿着直线AC翻折到如图23—128

（1）所示的位置，ED'与AB相交于点F,求证AF=FD；

⑵将厶ECD沿直线I向左平移到如图23—128

（2）所示的位置，使E点落在AB上，记为E',求出平移的距离；

⑶将厶ECD绕点C逆时针方向旋转到如图23—128（3）所示的位置，使得点E落在AB上，记为点E',求出旋转角的度数.

平移与旋转压轴题答案

1解：

（1垂直且相等。

（2）EF、EQBP三者之间的数量关系为：

EFJ2BPEQ

证明如下:

如图，取BC的中点G,连接FG

由

（1）得EF=FGEF丄FG根据旋转的性质，FP=FQ/PFQ=90。

•••/GFP玄GFE-ZEFP=90—/EFP,

/EFQ=ZPFQ-/EFP=90—ZEFP。

•••/GFP玄EFQ

在厶FQE和厶FPG中，TEF=GFZEFQZGFP

•△FQE^AFPG（SAS。

•-EQ=GP

•••EFGF2BG2BPGP2BP

FQ=FP,

EQ。

CD

（3）补图如下，F、EQBP三者之间的数量关系为：

D

MD

2、解：

（1）DE=「kBCo

B・叭F

（2）根据旋转的性质得到ZPDF=60,DP=DF易得ZCDPZBDF,根据“SAS可判断△DCPDBF,贝UCP=BF禾U用CP=BGBP,DE二BC可得至UBF+BP^^-3DE;

23

（3）补全图形如图，DEBF、BP三者之间的数量关系为BF-BP^^-3DE=

3

3、解：

（1）证明：

TAB=BCZA=36°,ABC*C=72。

又•••BE平分ZABC•••/ABE玄CBE=36。

•ZBEC=180-ZC-ZCBE=72o「.ZABE=/A,ZBEC玄C

•AE=BEBE=BC•AE=BC

（2）证明：

tAC=AB且EF//BC,•AE=AF

由旋转的性质可知：

ZE'AC=ZF'ABAE'=AF',

ABAC

t在△。

人匚和厶BAF中，FABEAC,

AFAE

•△CAE◎△BAFo•CE=BF'。

（3）存在CE//AB

由

（1）可知AE=BC所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,过点C且与AB平行的直线I交于MN两点，

E点经过的路径（圆弧）与

如图：

①当点E的像E'与点M重合时，则四边形

•ZBAMZABC=72，又/BAC=36。

•a=ZCAM=36o

②当点E的像E'与点N重合时，

ABCM为等腰梯形,

由AB//l得，/AMNMBAM=72,

•/AM=AN「・/ANMNAMN=7°。

•••/MAN=18°-2X72°=36°。

•••a=/CAN/CAM#MAN=7°。

•当旋转角为36°或72°时，CE//ABo

4、解：

（1）AD=CF理由如下：

在正方形ABC和正方形ODEF中，TAO=CQOD=OF/AOC#DOF=90,•••/AOC#COD#DOF#COD即/AOD#COF

在厶AOD和厶COF中，TAO=CO#AOD#COFOD=OF

•△AOD^ACOF（SAS。

AD=CF

（2）与

（1）同理求出CF=AD

如图，连接DF交OE于G,贝UDF丄OEDG=OG=OE

2

•••正方形ODEF的边长为.2,•OE=「2X2=2。

11

•DG=OG=OE=—X2=1o

22

•AG=AO+OG=3+1=4

在Rt△ADG中，AD.AG2―DG^.4212.17,

•CF=AD=17o

5、解：

（1）证明：

•••用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图

（1）

所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角a（0°VaV90°）,

•AB=AF,/BAM#FAN

FANBAM

A

•••在△ABM和厶AFN中，ABAF,

BF

•△ABM^AAFN（ASA。

•AM=AN

（2）当旋转角a=30°时，四边形ABPF是菱形。

理由如下:

连接AP,

T/a=30°,•/FAN=30o•/FAB=120。

•//B=60°,「.AF/BP。

•/F=/FPC=60。

•/FPC=/B=60°