222导数的几何意义 学案北师大版选修22Word格式.docx

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求简单函数在某点出的切线方程

三、教学方法：

探析归纳，讲练结合

四、教学过程

复习回顾

1.平均变化率

2.瞬时变化率

3.导数的定义

4.点斜式直线方程：

y-y0=k（x-x0）

曲线的切线

y=f（x）y0=f（x0），y1=f（x1）

当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f（x0）变化到f（x1）

自变量的增量△x=x1-x0

函数值的增量△y=f（x1）-f（x0）

Q（x0+△x,y0+△y）

△y=f（x0+△x）-f（x0）

曲线在某一点处的切线的定义

设曲线C是函数y=f（x）的图象，在曲线C上取一点（x0,y0）及邻近一点（x0+△x,y0+△y）

过P,Q两点作割线当点Q沿着曲线无限接近于点P即△x→0时,如果割线PQ有一个极

限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。

曲线在某一点处的切线的斜率公式

设割线PQ的倾斜角为β，切线PT的倾斜角为α

tanβ=

当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P

处的切线的斜率，即

tanα=

切线斜率

求曲线L：

y=f（x）在点M（x0,y0）处切线的斜率。

割线MN的斜率为：

割线MN的极限位置MT称

为曲线L在点M处的切线

切线MT的斜率为：

说明：

（1）割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.

（2）曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点.

（3）这个概念:

①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

（4）若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的导数f'

（x0）不存在，就是切线与y轴平行.

导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数f（x0）就

是曲线y=f（x）在点M（x0,y0）处的切线的斜率，即：

由直线的点斜式方程可知，曲线y=f（x）在点M（x0,y0）处的切线方程与法线方程分别为：

当

时，切线方程

时，切线方程为

或

.

例1:

求抛物线y=f（x）=x2在点P（1,1）处的切线的斜率.

求函数图象切线需要注意的问题

（1）已知切点（x0,f（x0）），求切线：

①求切线的斜率:

k=f'

（x0）；

②确定切点（x0,f（x0））；

③写切线方程：

y-f（x0）=f'

（x0）（x-x0）.

（2）已知切线过点（a，b），求切线方程

点（a，b）可以在曲线上，也可以不再曲线上

A、设切点（x0，f（x0））；

B、求斜率k=f'

C、写切线方程y-f（x0）=f'

（x0）（x-x0）；

D、代入已知点（a,b），列方程组求得x0；

E、代入求得切线方程.

例4.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，根据图像，请描述、比较曲线h（t）在t0，t1，t2附近的变化情况.

小结:

求切线方程的步骤：

无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。

2.2.2导数的几何意义答案

例1：

例2：

例3：

例4：

解：

如图各处的切线，我们用此来刻画此三个时刻附近的变化情况

（1）当t=t0时，曲线h（t）在t0处的切线l0平行于x轴

∴在t=t0附近曲线h（t）比较平坦，几乎没有升降.

（2）当t=t1时，曲线h（t）在t1处的切线l1的斜率h'

（t1）<

0，

∴在t=t1附近曲线h（t）下降，即函数h（t）在t=t1附近单调递减.

（3）当t=t2时，曲线h（t）在t2处的切线l2的斜率h'

（t2）<

∴在t=t2附近曲线h（t）下降，即函数h（t）在t=t2附近单调递减.

由图形可知，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线h（t）在t1附近比在t2附近下降缓慢.

练习1：

在点P处的切线方程是

12x-3y-16=0

练习2：

练习3：