北京中考数学试题及答案.docx
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北京中考数学试题及答案
A．B．C．D．
7．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
8．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．分解因式：
5x2﹣5y2＝ ．
11．方程＝的解为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为 ．
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ ．
14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：
2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．
18．解不等式组：
．
19．已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．
20．《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：
日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：
在△ABC中，BA＝ ，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（ ）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：
该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
22．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：
四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．
23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：
∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
25．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：
百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：
6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.010.010.110.911.411.511.611.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
甲城市
10.8
m
乙城市
11.0
11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：
若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 ；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
参考答案：
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】B
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8.
【答案】A
9.
【答案】
【详解】解：
由题意得：
，
解得：
；
故答案为．
10.
【答案】
【详解】解：
；
故答案为．
11.
【答案】
【详解】解：
，
∴，
经检验：
是原方程解．
故答案为：
x=3．
12.
【答案】
【详解】解：
把点代入反比例函数得：
，
∴，解得：
，
故答案为-2．
13.
【答案】130°
【详解】解：
∵是的切线，
∴，
∴由四边形内角和可得：
，
∵，
∴；
故答案为130°．
14.
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为（答案不唯一）．
15.
【答案】＞
【详解】解：
由题意得：
，，
∴，
，
∴，
∴；
故答案为＞．
16.
【答案】①.2∶3②.
【详解】解：
设分配到生产线吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：
，解得：
，
∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），
∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，
∵加工时间相同，
∴，
解得：
，
∴；
故答案为，．
17.
【答案】
【详解】解：
原式=．
18.
【答案】
【详解】解：
由①可得：
，
由②可得：
，
∴原不等式组的解集为．
19.
【答案】1
【详解】解：
=
=，
∵，
∴，
代入原式得：
原式=．
20.
【答案】
（1）图见详解；
（2），等腰三角形的三线合一
【详解】解：
（1）如图所示：
（2）证明：
在中，，是的中点，
（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示的方向为南北方向；
故答案为，等腰三角形的三线合一．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．
21.
【答案】
（1）见详解；
（2）
【详解】
（1）证明：
由题意得：
，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：
设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：
，
∵，
∴，
解得：
，
∵，
∴．
22.
【答案】
（1）见详解；
（2），
【详解】
（1）证明：
∵，
∴AD∥CE，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：
由
（1）可得四边形是平行四边形，
∴，
∵，平分，，
∴，
∴EF=CE=AD，
∵，
∴，
∴，
∴．
23.
【答案】
（1）；
（2）
【详解】解：
（1）由一次函数图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：
一次函数的解析式为；
（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由
（1）可得：
，解得：
，
函数图象如图所示：
∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意，
综上所述：
．
24.
【答案】
（1）见详解；
（2），
【详解】
（1）证明：
∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：
由题意可得如图所示：
由
（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
25.
【答案】
（1）；
（2），理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．
【详解】解：
（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，
∵有3家，有7家，有8家，
∴中位数落在上，
∴；
（2）由
（1）可得：
甲城市中位数低于平均数，则最大12个；乙城市中位数高于平均数，则至少为13个，
∴；
（3）由题意得：
（百万元）；
答：
乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．
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