高考数学-圆锥曲线(习题版).doc
《高考数学-圆锥曲线(习题版).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学-圆锥曲线(习题版).doc（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学圆锥曲线经典题型
椭圆
一、选择题：
1.已知椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为
A.B.C.2 D.3
2．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为，点P在第
一象限内且在上，若⊥PF1，//PF2，则双曲线的离心率是 （）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的左焦点，右焦点，渐近线，，因为点P在第一象限内且在上，所以设，因为⊥PF1，//PF2，所以，即，即，又，代入得，解得，即。
所以，的斜率为，因为⊥PF1，所以，即，所以，所以，解得，所以双曲线的离心率，所以选B.
3．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于
A． B． C．2 D．2
4.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是
A. B. C. D.0
5.抛物线的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为
A.B.C.2D.
【答案】D
【解析】抛物线的准线为，双曲线的两渐近线为和，令，分别解得，所以三角形的低为，高为3，所以三角形的面积为，选D.
6.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样的直线
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
7.已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于
A． B． C． D．
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）
A.（0，B.（）C.（0，）D.（，1）
9.过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题：
10.若圆以抛物线的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是；
11.设F是抛物线C1：
的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：
的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为
【答案】
【解析】抛物线的焦点为.双曲线的渐近线为，不妨取，因为，所以，所以，不妨取，又因为点也在上，所以，即，所以，即，所以，即，所以双曲线的离心率为。
12.已知双曲线的方程为，则双曲线的离心率是.
13.若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则=.
【答案】
【解析】因为焦点在轴上。
所以，所以。
椭圆的离心率为，所以，解得。
14.已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当时，的最小值是。
三、解答题：
15.（本小题满分13分）
已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，试证明：
直线过定点并求此定点.
（2）由题意设，设l方程为，
由知
∴，由题意，∴-----------------7分
同理由知
∵，∴（*）------8分
联立得
∴需（**）
且有（***）-------10分
（***）代入（*）得，∴，
由题意，∴（满足（**）），----12分
得l方程为,过定点（1,0）,即P为定点.---------------13分
16.（本大题满分13分）
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：
直线AE与x轴相交于定点。
（2）解：
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为
由得：
4分
由得：
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ① 6分
∴
17．若椭圆:
和椭圆:
满足,则称这两个椭圆相似，是相似比.
（Ⅰ）求过（且与椭圆相似的椭圆的方程；
（Ⅱ）设过原点的一条射线分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于、点（点在线段上）.
①若是线段上的一点，若，，成等比数列，求点的轨迹方程;
②求的最大值和最小值.
（Ⅱ）①当射线的斜率不存在时,
设点P坐标P（0,,则,.即P（0,）.………………5分
当射线的斜率存在时，设其方程,P（
由,则
得
同理………………………7分
又点P在上，则，且由,
即所求方程是.
又（0,）适合方程,
故所求椭圆的方程是.………………9分
②由①可知,当的斜率不存在时，,当的斜率存在时,,
………………11分
综上,的最大值是8,最小值是4.………………12分
18.（本小题满分12分）已知长方形ABCD，，BC=1。
以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.
（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为.
设M，N两点的坐标分别为.
联立方程：
消去整理得，
有………………7分
若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以，…………8分
所以，，
即
所以，
即，……………………9分
得.……………………10分
所以直线的方程为，或.………………11分
所在存在过P（0，2）的直线：
使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。
…12分
19.（本小题满分12分）
如图，直线l：
y=x+b与抛物线C：
x2=4y相切于点A。
（1）求实数b的值；
（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【解析】（I）由得（）
因为直线与抛物线C相切,所以,解得………………4分
双曲线
题组一
双曲线的定义及标准方程
1.（2010·汕头一模）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为 （ ）
A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2
C．x2－y2＝D．x2－y2＝
解析：
由题意，设双曲线方程为－＝1（a>0），
则c＝a，渐近线y＝x，∴＝，∴a2＝2.
∴双曲线方程为x2－y2＝2.
答案：
B
2．已知双曲线的两个焦点为F1（－，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是（ ）
A.－y2＝1B．x2－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析：
∵·＝0，∴⊥，∴MF1⊥MF2，
∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，
∴（|MF1|－|MF2|）2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36，
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，
又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，
∴双曲线方程为－y2＝1.
答案：
A
题组二
双曲线的几何性质
3.（2009·宁夏、海南高考）双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．2B．2C.D．1
解析：
双曲线－＝1的焦点为（4,0）或（－4,0）．渐近线方程为y＝x或y＝－x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝＝2.
答案：
A
4．（2010·普宁模拟）已知离心率为e的曲线－＝1，其右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则e的值为（ ）
A.B.C.D.
解析：
抛物线焦点坐标为（4,0），则a2＋7＝16，
∴a2＝9，∴e＝＝.
答案：
C
5．（2009·江西高考）设F1和F2为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A.B．2C.D．3
解析：
＝tan60°，
＝⇒4b2＝3c2⇒4（c2－a2）＝3c2⇒c2＝4a2⇒＝4⇒e＝2.
答案：
B
6．（2010·广州模拟）已知点F是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）B．（1,2）C．（1,1＋）D．（2,1＋）
解析：
如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF<45°.
又当x＝－c时，y＝，
∴tan∠AEF＝＝<1，
∴e2－e－2<0，
又e>1，∴1答案：
B
题组三
直线与双曲线的位置关系
7.（2010·西安调研）过点P（4,4）且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
解析：
如图所示，满足条件的直线共有3条．
答案：
C
8．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：
由题意知，A（3,0），F（5,0），渐近线斜率k＝±，
则直线方程为y＝（x－5），
代入－＝1，得x＝，
∴y＝－，即B（，－），
∴S△AFB＝×2×＝.
答案：
题组四
双曲线的综合问题
9.（2010·德州模拟）P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆（x＋4）2＋y2＝4和（x－4）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
解析：
双曲线的两个焦点为F1（－4,0）、F2（4,0），为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|
升级会员 