第九章回归旋转试验设计.doc
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9回归旋转试验设计
本章要点：
主要介绍了回归旋转设计的基本原理、实现条件、组合设计的步骤和统计分析方法，并给出二次回归正交旋转试验设计的计算案例。
重点：
回归正交旋转设计的实现条件、组合设计的方法、方程的建立及显著性检验。
难点：
回归正交旋转设计正交和旋转的实现条件及其统计分析。
9.1回归旋转试验设计的基本原理
前面所介绍的“回归正交设计”，具有试验处理数比较少，计算简便、消除回归系数之间的相关性等优点。
但它也存在一定的缺点，即二次回归预测值的方差随试验点在因子空间的位置不同而呈现较大的差异。
由于误差的干扰，就不易根据预测值寻找最优区域。
为了克服这个缺点，人们通过进一步研究，提出了回归旋转设计（whirlydesign）。
所谓旋转性是指试验因素空间中与试验中心距离相等的球面上各处理组合的预测值的方差具有几乎相等的特性，具有这种性质的回归设计称回归旋转设计。
这种设计的意
义在于可以直接比较各处理组合预测值的好坏，从而找出预测值相对优良的区域。
9.1.1回归设计旋转性条件
旋转设计包括一次、二次和三次旋转设计，但研究中最常见的设计是二次回归旋转设计。
下面以三元二次回归方程来讨论回归正交的旋转性问题。
二次正交多项式方程的估计值为：
如果以三因素二次回归正交设计的数学模型为例：
因此其信息矩阵为：
上述信息矩阵中的各个元素可用一般形式表达为：
，其中x的指数、、分别可取0、1、2、3、4等非负整数。
但这些指数之和不能超过4。
即：
例如，当时，就是信息矩阵中的第1行、第1列元素。
又如，当时，就是信息矩阵中的第10行、第10列元素。
信息矩阵A中的元素可分为两类：
一类是元素的所有指数都是偶数或零，另一类是元素的所有指数中至少有一个是奇数。
这一规律在任何因素和次数的回归设计信息矩阵中都可以发现。
一般，在个因素次回归方程中，共有项，对应的信息矩阵是阶对称方阵，矩阵中的元素一般形式为：
其中指数分别可取等非负整数，且满足
为了使旋转设计成为可能，元次回归设计必须满足旋转条件和非退化条件，具体要求如下。
1）回归设计旋转条件
在因素次回归旋转设计中，对应的信息矩阵中的元素应有：
（9-1）
式中为试验次数，为待定参数，它的下标，为偶数，且。
这个条件说明了旋转设计下信息矩阵的具体结构，也是旋转设计的基本要求，故称旋转条件。
下面以三因素二次回归旋转设计为例介绍旋转条件的实现。
按旋转条件定理，可计算出都为偶数或零时，各元素值有下列三种：
（1）
（2）
（3）（i，j＝1，2，3）
其他元素皆为0，这时，三因素二次旋转设计的信息矩阵有如下形式：
这种旋转设计的信息矩阵虽然具有旋转性，但是否存在其逆矩阵？
因为逆矩阵
的存在，回归系数才有唯一解，这是回归系数存在的条件，即非退化条件。
2）回归设计非退化条件
我们知道，对信息矩阵取行列式，只要，必然存在。
这就是二次旋转设计的非退化条件。
如前述的因素二次旋转设计的信息矩阵取行列式，经计算得：
由最后结果看出，欲使，即保持矩阵是非退化的，必须要有
，即
（9-2）
上式即为二次旋转设计的非退化条件。
进行旋转设计时必须使待定参数λQ满足此条件。
已经证明，只要使个试验点不在同一个球面上，就能满足非退化条件。
最简单的情况是把个试验点分布在2个或3个半径不等的球面上。
综上所述，旋转性条件是旋转设计的必要条件，非退化条件是使旋转设计成为可能的充分条件。
二者结合起来才能构成一项旋转设计方案。
实际操作上主要借助于组合设计来实现。
通常的组合设计试验处理由、和三部分组成，它们都有固定的组合搭配，每种组合中三个部分的处理分别分布在三个半径不等的球面上。
即
个析因点分布在半径为的球面上；
个析因点分布在半径为的球面上；
个析因点分布在半径为的球面上。
因此，采用组合设计选取的试验点，完全能够满足非退化条件（式9-2），即信息矩阵不会退化。
此外，采用组合设计，其信息矩阵的元素中
而它的偶次方元素
均不等于零，完全符合式（9－1）的要求。
为了获得旋转设计方案，还必须根据旋转条件式（9-1）确定值，事实上只要由就可以求出值。
在组合设计下，当（全实施）时，前式变
为，解方程得
（9-3）
同理，当（1/2实施）时，；当（1/4实施）时，；
（1/8实施）时，，为了便于设计，现将个因素不同实施情况下的值列于表9-1。
表9-1二次正交旋转组合设计参数表
2（全实施）
3（全实施）
4（全实施）
5（全实施）
5（1/2实施）
6（1/2实施）
6（1/4实施）
7（1/2实施）
7（1/4实施）
8（1/2实施）
8（1/4实施）
8（1/8实施）
4
8
16
32
16
32
16
64
32
128
64
32
4
6
8
10
10
12
12
14
14
16
16
16
8
9
12
17
10
15
8
22
13
33
20
11
16
23
36
59
36
59
36
100
59
177
100
59
1.414
1.682
2.000
2.378
2.000
2.378
2.000
2.828
2.378
3.364
2.828
2.374
9.1.2旋转组合设计正交性的实现
二次旋转组合设计具有同一球面上各试验点的预测值的方差相等的优点，但回归统计数的计算较繁琐。
如果使它获得正交性就能大大简化计算手续。
在二次旋转组合设计中，一次项和交互项的回归系数和仍保持正交，但与之间以及与之间都存在相关，即不具正交性，因此，要使二次回归旋转组合设计获得正交性，就必须消除常数项与平方项之间以及平方项与之间的相关性，方法如下：
1）常数项与平方项间相关性的消除：
与两者间相关性的消除比较简单，只要对平方项施行中心化变换即可实现，即：
（9-4）
2）平方项与间相关性的消除：
平方项之间相关性的消除，必须使或，如何才能满足该要求呢？
在组合设计中它的值为：
（9-5）
对于个因素的二次旋转组合设计，式（9－5）中的、和都是固定的。
因此，只有适当地调整才能使，而试验处理数
中和也是固定的，这样就只能通过调整中心点的试验处理数使。
由此可见，适当地选取，就能使二次旋转组合设计具有一定的正交性。
为了方便设计，已将元不同实施的和列入表9－1中。
综上所述，只要对平方项施行中心化变换，并适当调整就能获得二次正交旋转组合设计方案。
9.1.3旋转组合设计的通用性
二次回归旋转组合设计，具有同一球面上各试验点的预测值的方差相等的优点，但它还存在不同半径球面上各试验点的预测值的方差不等的缺点。
为了解决这一问题，于是提出了旋转设计的通用性问题。
所谓“通用性”，就是试验除了仍保持其旋转性外，还具有各试验点与中心的距离在因子空间编码值区间的范围内，其预测值的方差基本相等的性质，即同时具有旋转性与通用性。
这种设计称为通用旋转组合设计。
首先来看预测值的方差，已知在个因素情况下，其预测值的方差
（9-6）
上式是在的约定下得到的，这种约定并非本质的，只是为了讨论简单起见。
由此可知，只有恰当确定λ4，才能满足通用性的要求。
那么，对λ4有什么要求呢？
总的来说，它必须使式中在诸（内插点）处的值与处的值之差的平方和为最小，即：
（9-7）
式中：
于是，对于不同的，均可计算出满足式（9－7）的λ4。
当λ4确定后，由关系式（见9－5）可以计算出不同的试验处理数。
当计算结果不是整数时，可取与其最靠近的整数。
然后再由计算出不同值的，上述计算结果列于表9－2。
表9-2二次通用旋转组合设计参数表
2
3
4
5（1/2实施）
6（1/2实施）
7（1/2实施）
8（1/2实施）
8（1/4实施）
4
8
16
16
32
64
128
64
4
6
8
10
12
14
16
18
1.414
1.682
2.000
2.000
2.378
2.828
3.364
3.828
0.81
0.86
0.86
0.89
0.90
0.92
0.93
0.93
13
20
31
32
53
92
165
93
5
6
7
6
9
14
21
13
从上述讨论结果看出，为了满足通用性要求，主要在于确定出适当的。
因此，只要在中心点安排如表9－2所列的次试验，旋转组合设计便获得通用性。
综上可以看出，正交旋转的好处在于正交性，它是通过增加中心点的试验次数换来的，但有时并不合算。
在某些实际问题中，反倒不如选用通用旋转设计。
因为通用旋转设计，既能在的较实用区域使方差基本不变，又在一定程度上减少了试验次数。
9.2二次回归正交旋转组合设计及统计分析
9.2.1二次正交旋转组合设计的基本步骤
设研究因素为个，以表示。
在进行设计时，首先确定每个因素的上、下水平，进而计算零水平，以及变化间距。
因素零水平的计算式为
（9-8）
变化间距为：
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