最新二次函数区间取最值问题专题练习含答案Word文档格式.docx
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当x>
50时,y=(16−12)x,即y=4x;
(3)当0<
x≤50时,y=−0.1x2+9x,
当x=
此时售价为20−0.1×
(45−10)=16.5(元),
当45<
x≤50时,y随着x的增大而减小,
∴最低价至少要提高到16.5元/只。
练习1:
某城市香菇上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存90天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式.
(2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?
(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)
(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?
最大利润是多少?
(1)根据等量关系“销售总金额=(市场价格+0.5×
存放天数)×
(原购入量-6×
存放天数)”列出函数关系式;
(2)按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数方程求解即可;
(3)根据等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数关系式并求最大值
解答:
(1)由题意y与x之间的函数关系式为y=(10+0.5x)(2000-6x),
=-3x2+940x+20000(1≤x≤90,且x为整数);
(2)由题意得:
-3x2+940x+20000-10×
2000-340x=22500
解方程得:
x1=50,x2=150(不合题意,舍去)
李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天后出售;
(3)设利润为w,由题意得
w=-3x2+940x+20000-10×
2000-340x=-3(x-100)2+30000
∵a=-3<
0,∴抛物线开口方向向下,在1≤x≤90时w随x的增大而增大
∴x=90时,w最大=29700
∴存放90天后出售这批香菇可获得最大利润29700元
例题2某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量
(件)与销售单价
(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).
(1)求
与
之间的函数关系式;
(2)设公司获得的总利润(总利润=总销售额
总成本)为P元,求P与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
根据题意判断:
当x取何值时,P的值最大?
最大值是多少?
(1)直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可;
(2)利用总利润=总销售额-总成本,进而得出P与x的函数关系式,进而得出最值;
(3)利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可.
(1)设y与x的函数关系式为:
y=kx+b,
∵函数图象经过点(60,40)和(70,30),
∴
解得:
故y与x之间的函数关系式为:
y=-10x+1000
(2)由题意可得出:
P=(x-50)(-10x+1000)=-10x2+1500x-50000,
自变量取值范围:
50≤x≤70.
∵-
,a=-10<
0.
∴函数P=-10x2+1500x-50000图象开口向下,对称轴是直线x=75.
∵50≤x≤70,此时y随x的增大而增大,∴当x=70时,P最大值=6000.
(3)由p≥4000,
当P=4000时,4000=-10x2+1500x-50000,解得:
x1=60,x2=90,
∵a=-10<
0,∴得60≤x≤90,又50≤x≤70;
故60≤x≤70.
练习2.为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下乡,国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴.规定每购买一台彩电,政府补贴若干元,经调查某商场销售彩电台数
(台)与补贴款额
(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系.随着补贴款额
的不断增大,销售量也不断增加,但每台彩电的收益
(元)会相应降低且
之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.
(1)在政府未出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元?
(2)在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数
和每台家电的收益
与政府补贴款额
(3)要使该商场销售彩电的总收益
(元)最大,政府应将每台补贴款额
定为多少?
并求出总收益
的最大值.
(1)总收益=每台收益×
总台数;
(2)结合图象信息分别利用待定系数法求解;
(3)把y与z的表达式代入进行整理,求函数最值
(1)该商场销售家电的总收益为800×
200=160000(元);
(2)根据题意设y=k1x+800,Z=k2x+200
∴400k1+800=1200,200k2+200=160解得k1=1,k2=−15,
∴y=x+800,Z=−15x+200;
(3)W=yZ=(x+800)⋅(−15x+200)=−15x2+40x+160000=−15(x−100)2+162000.
∵a=−15<
0,抛物线开口向下∴W有最大值。
当x=100时,W最大=162000
∴政府应将每台补贴款额x定为100元,总收益有最大值
其最大值为162000元。
练习3..“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量
(千克)与销售单价
(元)(
)存在如下图所示的一次函数关系式.
⑴试求出
的函数关系式;
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?
⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价
的范围(直接写出答案).
(1)由图象过点(30,400)和(40,200)利用待定系数法求直线解析式;
(2)每天利润=每千克的利润×
销售量.据此列出表达式,运用函数性质解答;
(3)画出函数图象,结合图形回答问题.
(1)设y=kx+b,由图象可知,
∴y=−20x+1000(30≤x≤50,)
(2)p=(x−20),y=(x−20)(−20x+1000)=−20x2+1400x−20000,
∵a=−20<
0,∴p有最大值。
当x=−
时,p最大值=4500.
即当销售单价为35元/千克时,每天可获得最大利润4500元。
(3)令p=4480得:
4480=-20x2+1400x-20000
x1=34,x2=36
令p=4180得:
4180=-20x2+1400x-20000
x1=31,x2=39
如图所示:
∵每天可获利润不超过4480元,不得低于4180元,
∴31≤x≤34或36≤x≤39.
练习4.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?
当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
(1)根据每月的利润z=(x-18)y,再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式,
(2)把z=350代入z=-2x2+136x-1800,解这个方程即可,把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值;
(3)根据销售单价不能高于32元,厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围,进而解决问题
(1)z=(x−18)y=(x−18)(−2x+100)=−2x2+136x−1800,
∴z与x之间的函数解析式为z=−2x2+136x−1800;
(2)由z=350,得350=−2x2+136x−1800,解这个方程得x1=25,x2=43,
所以,销售单价定为25元或43元,
将z═−2x2+136x−1800配方,得z=−2(x−34)2+512,
因此,当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元;
(3)结合
(2)及函数z=−2x2+136x−1800的图象(如图所示)可知,
当25≤x≤43时z≥350,又由限价32元,得25≤x≤32,
根据一次函数的性质,得y=−2x+100中y随x的增大而减小,
∴当x=32时,每月制造成本最低。
最低成本是18×
(−2×
32+100)=648(万元),
因此,所求每月最低制造成本为648万元。
例题3:
某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎,每年可在国内、国外市场上全部售完,该公司的年产量为6千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润y1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为:
[来源:
Zxxk.Com]
若在国外销售,平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为:
[ww#w.zzs^tep.~*com%]
[www.z%#z&
ste*@]
(1)用x的代数式表示t为:
t=;
当0<x≤4时,
y2与x的函数关系为y2=;
当4≤x<时,y2=100;
(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式,并指出x的取值范围;
(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时,可使公司每年的总利润最大?
最大值为多少?
(1)由该公司的年产量为6千件,每年可在国内、国外市场上全部售完,可得国内销售量+国外销售量=6千件,即x+t=6,变形即为t=6-x;
根据平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系y2=
及t=6-x即可求出y2与x的函数关系:
当0<
x≤4时,y2=5x+80;
当4≤x<
6时,y2=100;
(2)根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润,结合函数解析式,分三种情况讨论:
①0<
x≤2;
②2<
x≤4;
③4<
x<
6;
(3)先利用配方法将各解析式写成顶点式,再根据二次函数的性质,求出三种情况下的最大值,再比较即可
(1)由题意,得x+t=6,∴t=6-x;
∵y2=
∴当0<
x≤4时,2≤6-x<
6,即2≤t<
6,
此时y2与x的函数关系为:
y2=-5(6-x)+110=5x+80;
6时,0<
6-x≤2,即0<
t≤2,
此时y2=100.
故答案为:
6-x;
5x+80;
4,6;
(2)分三种情况:
①当0<
x≤2时,W=(15x+90)x+(5x+80)(6-x)=10x2+40x+480;
②当2<
x≤4时,W=(-5x+130)x+(5x+80)(6-x)=-10x2+80x+480;
③当4<
6时,W=(-5x+130)x+100(6-x)=-5x2+30x+600;
综上可知,
x≤2时,W=10x2+40x+480=10(x+2)2+440,此时x=2时,W最大=600;
当2<
x≤4时,W=-10x2+80x+480=-10(x-4)2+640,此时x=4时,W最大=640;
当4<
6时,W=-5x2+30x+600=-5(x-3)2+645,4<
6时,W<
640;
∵a=-5<0,
∴当x>
3时,W随x的增大而减小,
∴x=4时,W最大=640.
故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件,可使公司每年的总利润最大,最大值为64万元.
练习5.某公司营销A、B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:
信息1:
销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时,y=1.4;
当x=3时,y=3.6.
信息2:
销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.
根据以上信息,解答下列问题;
(1)求二次函数解析式;
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?
(1)把两组数据代入二次函数解析式,然后利用待定系数法求解即可;
(2)
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10-m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式,再根据二次函数的最值问题解答
(1)∵当x=1时,y=1.4;
当x=3时,y=3.6,
解得
所以,二次函数解析式为y=−0.1x2+1.5x;
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10−m)吨,销售A.
B两种产品获得的利润之和为W元,
则W=−0.1m2+1.5m+0.3(10−m)=−0.1m2+1.2m+3=−0.1(m−6)2+6.6,
∵a=−0.1<
0,
∴当m=6时,W有最大值6.6,
∴购进A产品6吨,购进B产品4吨,销售A.
B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6万元。