元函数的图形.docx
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元函数的图形
实验五 二元函数的图形
【实验目的】
1．了解二元函数图形的制作.
2．空间曲面等高线的制作.
3．了解多元函数插值的方法.
4．学习掌握MATLAB软件有关的命令.
【实验内容】
画出函数的图形,并画出其等高线.
【实验准备】
1．曲线绘图的MATLAB命令
MATLAB中主要用mesh,surf命令绘制二元函数图形.
mesh（x,y,z）画网格曲面，这里x,y,z是三个数据矩阵，分别表示数据点的横坐标，纵坐标和函数值，该命令将数据点在空间中描出,并连成网格.
surf（x,y,z）画完整曲面,这里x,y,z是三个数据矩阵，分别表示数据点的横坐标，纵坐标和函数值，该命令将数据点所表示曲面画出.
可以用helpmesh,helpsurf查阅有关这些命令的详细信息
【实验方法与步骤】
练习1画出函数的图形,不妨将区域限制在.用MATLAB作图的程序代码为：
>>clear;
>>x=-3:
0.1:
3;%x的范围为[-3,3]
>>y=-3:
0.1:
3;%y的范围为[-3,3]
>>[X,Y]=meshgrid（x,y）;%将向量x,y指定的区域转化为矩阵X,Y
>>Z=sqrt（X.^2+Y.^2）;%产生函数值Z
>>mesh（X,Y,Z）
结果如图5.1.图5.1是网格线图,如果要画完整的曲面图,只需将上述的MATLAB代码mesh（X,Y,Z）改为surf（X,Y,Z）,结果如图5.2
图5.1锥面图5.2锥面
要画等高线,需用contour,contour3命令.其中contour为二维等高线,contour3为三维等高线,如画图5.1的三维等高线,MATLAB代码为：
>>clear;
>>x=-3:
0.1:
3;
>>y=-3:
0.1:
3;
>>[X,Y]=meshgrid（x,y）;
>>Z=sqrt（X.^2+Y.^2）;
>>contour3（X,Y,Z,10）%画10条等高线
>>xlabel（'X-axis'）,ylabel（'Y-axis'）,zlabel（'Z-axis'）%三个坐标轴的标记
>>title（'Contour3ofSurface'）%标题
>>gridon%画网格线
结果如图5.3.
图5.3等高线
如画图5.1的二维等高线,MATLAB代码为：
>>clear;x=-3:
0.1:
3;y=-3:
0.1:
3;
>>[X,Y]=meshgrid（x,y）;Z=sqrt（X.^2+Y.^2）;
>>contour（X,Y,Z,10）
>>xlabel（'X-axis'）,ylabel（'Y-axis'）
>>title（'ContourofSurface'）
>>gridon
结果如图5.4.
图5.4等高线
如果要画的等高线，则用命令
>>clear;x=-3:
0.1:
3;y=-3:
0.1:
3;
>>[X,Y]=meshgrid（x,y）;Z=sqrt（X.^2+Y.^2）;
>>contour（X,Y,Z,[11]）
结果如图5.5.
图5.5等高线
练习1中，函数值可简单算出.在有些情况下，函数值不能简单算出.这是因为x和y的值可能是非均匀间隔的甚至是随机分布的，也可能使用了不同的坐标系，比如非长方形的网.出现这些情况时,MATLAB中的函数griddata就用来产生经查值后的均匀间隔数据以作图.
练习２二次曲面的方程如下
讨论参数对其形状的影响.
本练习的关键在于如何作出三维曲面图形，特别注意在给定值求时，若有开方运算，一是会出现虚数，二是对实数也有正负两个解.为了使虚数不出现在绘图中，采用了一种技巧，就是将虚数都换成非数（NaN）.MATLAB代码为：
>>a=input（'a='）;b=input（'b='）;c=input（'c='）;
>>d=input（'d='）;N=input（'N='）;%输入参数，N为网格线数目
>>xgrid=linspace（-abs（a）,abs（a）,N）;%建立x网格坐标
>>ygrid=linspace（-abs（b）,abs（b）,N）;%建立y网格坐标
>>[x,y]=meshgrid（xgrid,ygrid）;%确定个点的x,y网格坐标
>>z=c*sqrt（d-y.*y/b^2-x.*x/a^2）;u=1;%u=1，表示z要取正值
>>z1=real（z）;%取z的实部z1
>>fork=2:
N-1%一下7行程序的作用是取消z中含虚数的点
>>forj=2:
N-1
>>ifimag（z（k,j））~=0z1（k,j）=0;end
>>ifall（imag（z（[k-1:
k+1],[j-1:
j+1]）））~=0za（k,j）=NaN;end
>>end
>>end
>>surf（x,y,z1）,holdon%画空间曲面
>>ifu==1z2=-z1;surf（x,y,z2）;%u=1时加画负半面
>>axis（[-abs（a）,abs（a）,-abs（b）,abs（b）,-abs（c）,abs（c）]）;
>>end
>>xlabel（'x'）,ylabel（'y'）,zlabel（'z'）
>>holdoff
运行程序，当时的结果见图5.6,
当时的结果见图5.7,
当时的结果见图5.8,
图5.6椭球面
图5.7双曲面
图5.8椭球双曲面
练习3列出求空间两任意曲面的交线的程序.
两空间曲面方程连立起来，就形成一个空间曲线的方程.这个曲线能满足两个曲面的方程，因而也就是这两个空间曲面的交线.显示这两个曲面并不难，用两次mesh语句即可,但要显示其交线，必须先找到各个交点，因为数值计算得到的是离散点，难以找到两个曲面上完全重合的点，本程序采用了设置门限的方法，只要在同一网格点处，两曲面的z之之差小于设定门限，就认为它是交点，门限值设定几次要才能定的好.
下面MATLAB程序给出两个空间曲面的交线（当然是空间曲线），给出不同的z1,z2方程可绘出不同的空间曲线和其交线.
>>[x,y]=meshgrid（-2:
0.1:
2,-2:
0.1:
2）;%设定计算和绘图的定义域网格
>>z1=x.^2-2*y.^2;%第一个曲面方程
>>z2=2*x-3*y;%第二个曲面方程
>>mesh（x,y,z1）;hold;mesh（x,y,z2）;%再一个图上同时画出两个曲面
>>r0=（abs（z1-z2）<=0.1）;%求两曲面z坐标差小于0.1的网格矩阵
>>zz=r0.*z1;yy=r0.*y;xx=r0.*x;%求这些网格上的坐标值，即交线坐标
>>plot3（xx（r0~=0）,yy（r0~=0）,yy（r0~=0）,'*'）;%画出这些点
>>colormap（gray）,holdoff%不用彩色而用灰度表示曲面
执行此程序得出的曲面见图5.9.
图5.9两曲面的交线
如果想改表曲面方程，可以在程序中改动第二行和第三行.但这样的程序还不是通用的，最好程序运行时能向用户提问，允许用户输入曲面方程.此时就要用到字符串功能和eval命令.
s1=input（‘输入第一个方程’,’s’）;
在原来的z1方程语句处改为z1=eval（s1）;类似地输入第二个方程.此外，应使用户能给出定义域和间隔.这实现起来比较简单，只要把第一句改为
[x,y]=meshgrid（xmin:
dx:
xmax,ymin:
dy:
ymax）;
其中，xmin，dx，xmax，ymin，dy，ymax可由程序给出屏幕提问，让用户用键盘输入.当然，这样又增加了运行时的麻烦，所以编程时要找一个折衷的选择，要有一定的灵活性又不能太麻烦，应恰到好处.
练习4用平行界面法讨论由方程构成的马鞍面形状.
我们只需对练习3种的程序作如下修改：
定义域网格改为[x,y]=meshgrid（-10:
0.2:
10,-10:
0.2:
10）;
第一个曲面方程改为z1=（x.^2-2*y.^2）+eps;
第二个曲面（平面）方程改为与z州正交的水平面，z2=a;
为了画z2的曲面图，应使得z2与x,y有同样的维数，故写为z2=a*ones（size（x））;
a可由用户输入,另外用subplot把曲面和交线分别画在两张图上,并注意把两个分图取成同样比例,便于比较.因为z的范围增大,必须把两曲面交点处z1和z2的容差放大到1.
>>[x,y]=meshgrid（-10:
0.2:
10,-10:
0.2:
10）;%设定计算和绘图的定义域网格
>>z1=（x.^2-2*y.^2）+eps;%第一个曲面方程
>>a=input（'a=（-50>>subplot（1,2,1）,mesh（x,y,z1）;holdon;mesh（x,y,z2）;%分别划出两个曲面
>>v=[-10,10,-10,10,-100,100];axis（v）,grid%确定第一个分图的坐标系
>>colormap（gray）,holdoff,%取消彩色,改为灰度
>>r0=abs（z1-z2）<=1;%求两曲面z坐标差小于1的网格
>>zz=r0.*z2;yy=r0.*y;xx=r0.*x;%求这些网格上的坐标值，即交线坐标
>>subplot（1,2,2）,plot3（xx（r0~=0）,yy（r0~=0）,zz（r0~=0）,'x'）;%画出交线
>>axis（v）,grid%使得第二个分图取第一个分图的坐标系
执行此程序,并输入a=8,得到的三维图形及交线见图5.10,当a=-20,得到的三维图形及交线见图5.11,可见从上而下,其横切面交线发生了很大的变化.
图5.10按兴面的水平截面（a=8）
图5.11按兴面的水平截面（a=-20）
练习5已经知道曲面上一些点的数据（2,2,80）,（3,2,82）,（4,2,84）,（0,3,79）,（2,3,61）,（3,3,65）,（0,4,84）,（1,4,84）,（4,4,86）,将这些数据用二元函数插值的方法画出完整的曲面.
首先看这些原始数据的柄图，相应的MATLAB程序代码为：
>>clear;
>>x=[2,3,4,0,2,3,0,1,4];
>>y=[2,2,2,3,3,3,4,4,4];
>>z=[80,82,84,79,61,65,84,84,86];
>>stem3（x,y,z）;%画柄图命令
>>title（'Rawdata'）;
>>xlabel（'x'）,ylabel（'y'）,zlabel（'z'）
结果如图5.12.
图5.12柄图
显然上面数据是残缺不全的，下面用插值的方法画出完整的曲面，相应的MATLAB程序代码为：
>>xi=0:
0.2:
3;yi=2:
0.2:
4;%选定x,y的范围
>>[X,Y]=meshgrid（xi,yi）;%产生网格向量X,Y
>>Z=griddata（x,y,z,X,Y,'cubic'）;%’cubic’采用三角形三次插值
>>mesh（X,Y,Z）;title（'Griddata'）;
>>xlabel（'x'）,ylabel（'y'）,zlabel（'z'）
结果如图5.13.
图5.13插值曲面
练习6（海底测量）表5-1给出水面直角坐标（x,y）处水深z,这时在低潮时测
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