高中数学教师备课必备系列函数的应用专题一《方程的根与函数的零点》说课稿Word文档格式.docx
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定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．
2.4教学难点
基于上述分析，确定本节的教学难点是：
对零点存在性定理的准确理解．
3.1知识与技能目标：
1、了解函数零点的概念：
能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；
2、理解函数零点存在性定理：
了解图象连续不断的意义及作用；
知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；
了解函数零点可能不止一个；
3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间．
3.2过程与方法目标：
1、经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．
2、初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．
3.3情感、态度和价值观目标：
1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．
2、体验规律发现的快乐．
4过程分析
4.1教学结构设
4.2教学过程设计：
（一）创设情境，感知概念
1、实例引入
解方程：
（1）2-x=4；
（2）2-x=x．
意图：
通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．
2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．
填空：
方程
x2-2x-3=0
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
根
x1=-1，x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
图象
图象与x轴的交点
两个交点：
（-1,0），（3,0）
一个交点：
（1,0）
没有交点
问题1：
从该表你可以得出什么结论？
归纳：
判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
方程ax2+bx+c=0（a>
0）的根
两个不相等的实数根x1、x2
有两个相等的
实数根x1=x2
没有实数根
函数y=ax2+bx+c（a>
0）的图象
函数的图象与x轴的交点
（x1,0），（x2,0）
（x1,0）
无交点
问题2：
一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？
学生讨论，得出结论：
一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．
通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．
3、一般函数的图象与方程根的关系．
问题3：
其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？
请举例！
师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：
y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln（x－2），y＝（x－1）（x＋2）（x－3）．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：
方程f（x）＝0有几个根，y＝f（x）的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．
通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．
（二）辨析讨论，深化概念．
4、函数零点．
概念：
对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
即兴练习：
函数f（x）=x（x2－16）的零点为（D）
A．（0，0），（4，0）B．0，4C．（–4，0），（0，0），（4，0）D．–4，0，4
设计意图：
及时矫正“零点是交点”这一误解．
说明：
①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
②求函数零点就是求方程f（x）＝0的根．
5、归纳函数的零点与方程的根的关系．
问题4：
函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？
（1）联系：
①数值上相等：
求函数的零点可以转化成求对应方程的根；
②存在性一致：
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．
（2）区别：
零点对于函数而言，根对于方程而言．
以上关系说明：
函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．
练习：
求下列函数的零点：
使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．
（三）实例探究，归纳定理．
6、零点存在性定理的探索．
问题5：
在怎样的条件下，函数y＝f（x）在区间a，b]上一定有零点？
探究：
（1）观察二次函数f（x）＝x2－2x－3的图象：
在区间-2，1]上有零点______；
f（-2）=_______，f
（1）=_______，f（-2）·
f
（1）_____0（“＜”或“＞”）．
在区间（2，4）上有零点______；
f
（2）·
f（4）____0（“＜”或“＞”）．
（2）观察函数的图象：
①在区间（a，b）上___（有/无）零点；
f（a）·
f（b）___0（“＜”或“＞”）．
②在区间（b，c）上___（有/无）零点；
f（b）·
f（c）___0（“＜”或“＞”）．
③在区间（c，d）上___（有/无）零点；
f（c）·
f（d）___0（“＜”或“＞”）．
通过归纳得出零点存在性定理．
7、零点存在性定理：
如果函数y＝f（x）在区间a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f（a）·
f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点．即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
下列函数在相应区间内是否存在零点？
（1）f（x）=log2x，x∈，2]；
（2）f（x）=ex-1+4x-4，x∈0，1]．
通过简单的练习适应定理的使用．
（四）正反例证，熟悉定理．
8．定理辨析与灵活运用
例1判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f（x）在区间a，b]上连续，且f（a）·
f（b）<
0，则f（x）在区间（a，b）内有且仅有一个零点．（×
）
（2）已知函数y=f（x）在区间a，b]上连续，且f（a）·
f（b）≥0，则f（x）在区间（a，b）内没有零点．（×
（3）已知函数y=f（x）在区间a，b]满足f（a）·
0，则f（x）在区间（a，b）内存在零点．
（×
请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：
定理不能确零点的个数；
定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
不满足定理条件时依然可能有零点．
通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解．
9、练习：
（1）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f（x）
23
9
－7
11
－5
－12
－26
那么函数在区间1，6]上的零点至少有（C）
A．5个B．4个C．3个D．2个
（2）方程–x3–3x+5=0的零点所在的大致区间为（）
A．（–2，0）B．（0，1）C．（0，1）D．（1，2）
一方面促进对定理的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶．
（六）总结整理，提高认识．
（1）一个关系：
函数零点与方程根的关系：
（2）两种思想：
函数方程思想；
数形结合思想．
（3）三种题型：
求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．
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