完整word版高等数学练习题附答案docxWord格式文档下载.docx
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2x
2.
,则lim
2x
x0
3.
设单调可微函数f(x)的反函数为g(x),f
(1)
3,f
(1)
2,f
(3)
6
g(3)
4.
设u
x
则du
xy
y
5.
曲线x2
6y
y3在(
2
2)点切线的斜率为
6.
设f(x)为可导函数,
1,F(x)
f
(1)f(x2),则F
(1)
(x)
x2(1
x),则f
(2)
7.
若
t2dt
8.
f(x)x2
x在[0,4]上的最大值为
9.
广义积分
e2xdx
10.
设D为圆形区域x2
y2
1,y
x5dxdy
D
三、计算题(每题5分,共
40分)
计算lim(12
2).
n
(n
(2n)
求y
(x
1)(x
2)2(x
3)3
(x
10)10在(0,+
)内的导数.
3.求不定积分dx.
x(1x)
计算定积分
sin3x
sin5xdx.
求函数f(x,y)
x3
4x2
2xyy2的极值.
设平面区域D是由y
x,yx围成,计算
siny
dxdy.
7.计算由曲线
8.求微分方程
1,xy
2,yx,y3x围成的平面图形在第一象限的面积.
的通解.
四、证明题(每题10
分,共20分)
1.证明:
arctanx
(x).
arcsin
x2
2.设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)0,
F(x)f(t)dt
dt
b
f(t)
证明:
方程F(x)
0在区间(a,b)内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题.将√或×
填入相应的括号内(每题2分,共20分)
1.√;
2.×
;
3.×
;
4.×
5.×
6.×
7.×
8.×
9.√;
10.√.
二、填空题.(每题2分,共20分)
1.x24x4;
2.1;
3.1/2;
4.(y1/y)dx(xx/y2)dy;
5.2/3;
6.1;
7.336;
8.8;
9.1/2;
10.0.
三、计算题(每题
5分,共40分)
1.解:
因为
n1
L
(2n)2
n2
1)2
且
lim
0,lim
2=0
(2n)
由迫敛性定理知:
lim(12
2)=0
2.解:
先求对数lny
ln(x
2ln(x
2)
10ln(x
10)
1y
10
y(x
10)(
)
3.解:
原式=2
d
=2
1(x)2
3
=2arcsin
c
4.解:
原式=
sin3xcos2xdx
=
2cosxsin2
xdx
cosxsin2
2sin2
xdsinx
sin2
5
x]02
[sin
2x]
[sin2
=4/5
5.解:
fx
3x2
8x2y0
fy
2x2y0
故
或
当
时fxx
(0,0)
8,fyy(0,0)
,fxy(0,0)
(8)
(2)22
0且A=80
(0,0)为极大值点
且f(0,0)
(2,2)
4,
fyy(2,2)
,fxy(2,2)
4
22
无法判断
6.解:
D=(x,y)0
1,y2
sinydxdy
dy
Dy
1siny
dx=
[x]
=(sinyysiny)dy
=[
cosy]10
ydcosy
=1
cos1
[ycosy]10
cosydy
=1sin1
7.解:
令u
xy,v
y;
则1u
2,1v
xu
xv
u
J
uv
2v
v
yu
yv
A
ln
du
dv
8.解:
令
u,知(u)
2u
4x
由微分公式知:
u
y2
2dx
2dx
dx
c)
e(
4xe
e2x(
4xe2xdx
e2x(2xe2x
e2x
四.证明题(每题10分,共20分)
设
f(x)
arctanx
1x2
1x
x2
=0
f(x)
令x0
即:
原式成立。
F(x)在[a,b]上连续
a
F(b)
F(a)
dt<
0,
f(t)
f(t)dt>
故方程F(x)
0在(a,b)上至少有一个实根.
又
f(x)0
F(x)f(x)
F(x)2
即
F(x)在区间[a,b]上单调递增
F(x)在区间(a,b)上有且仅有一个实根.
专业学号姓名
一、判断题(对的打√,错的打×
每题2分,共10分)
1.f(x)在点x0处有定义是f(x)在点x0处连续的必要条件.
若y
f(x)在点x0不可导,则曲线y
f(x)在(x0,f(x0))处一定没有切线.
若f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上不可积,则f(x)g(x)在[a,b]上必不可
积.
方程xyz0和x2
z2
0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
设y*
是一阶线性非齐次微分方程的一个特解,
y是其所对应的齐次方程的通解,则
yyy*为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题(每题2分,共20分)
设f(3x)2x
1,f(a)5,则a
ln(1
2x)
时,f(x)在点x
0连续.
设f(x)
,当f(0)
arcsin3x
limx(11)2xt,则f
(x)
t
已知
在
a处可导,且f(a)
,则
limf(a
2h)
f(a
3h)
h0
h
2f(x)cosx
d[f(x)]2,并且f(0)
1,则f(x)
若f(x),
g(x)在点b左连续,且f(b)
g(b),f(x)g(x)(a
b),
则f(x)与g(x)大小比较为
g(x).
若ysinx2,则
dy
d(x2)
(1)
2lntdt,则f
设zex2y,则dz(1,1)
R
R2
y2)dy化为极坐标下的累次积分为
累次积分
f(x2
三、计算题(前6题每题5分,后两题每题
6分,共42分)
sinx
(1t)tdt
;
设
0sint
x2dx;
yln
e2x
,求y;
cosxdx;
e2x1
sin2x
求
z,
2z.
xy
求由方程2yx
y)ln(x
y)所确定的函数
y(x)的微分dy.
x,y
x围成,计算
sinydxdy.
求方程ylnydx
lny)dy
0在初始条件yx
e下的特解.
四、(7分)
已知f(x)x3ax2bx在x1处有极值2,试确定系数a、b,并求出所有的极
大值与极小值.
7
五、应用题(每题7分,共14分)
一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比
.已知当速度为10(km/h)时,燃
料费为每小时
6元,而其它与速度无关的费用为每小时
96元.问轮船的速度为多少时
每航
行1km所消耗的费用最小?
过点
(1,0)
向曲线y
x2作切线,求:
()切线与曲线所围成图形的面积;
图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积.
六、证明题(7分)
设函数f(x)在0
xa上的二阶导数存在,且f(0)
0,f(x)0.证明
g(x)
a上单调增加.
在0x
高等数学参考答案
一、判断题1.√;
2.×
3.√;
4.×
5.√.
二、填空题
36
2.
3.
4(1
x)e2x
4.
5A;
5.
sinx;
cosx2,
2xcosx2
ln2
2d
)rdr
f(rcos2
三、计算题
8
(1
sinx)sinxcosx
原式lim
e
2e2x(e2x
e2x2e2x
(e2x
1)2
e2x
2e2x
1e2x
3.原式=
cosx
(sinx
cosx)2
d(sinx
cosx)
C
4.设x2sint
则dx
2costdt
原式=24sin2t
2cost
2costdt
16
2sin2t
cos2tdt
2sin22tdt
2(1cos4t)dt
2(t
1sin4t)02
2y
5.
(x2