完整word版高等数学练习题附答案docxWord格式文档下载.docx
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2x
2.
，则lim
2x
x0
3.
设单调可微函数f（x）的反函数为g（x）,f
（1）
3,f
（1）
2,f
（3）
6
g（3）
4.
设u
x
则du
xy
y
5.
曲线x2
6y
y3在（
2
2）点切线的斜率为
6.
设f（x）为可导函数,
1,F（x）
f
（1）f（x2）,则F
（1）
（x）
x2（1
x）,则f
（2）
7.
若
t2dt
8.
f（x）x2
x在[0,4]上的最大值为
9.
广义积分
e2xdx
10.
设D为圆形区域x2
y2
1,y
x5dxdy
D
三、计算题（每题5分，共
40分）
计算lim（12
2）.
n
（n
（2n）
求y
（x
1）（x
2）2（x
3）3
（x
10）10在（0，+
）内的导数.
3.求不定积分dx.
x（1x）
计算定积分
sin3x
sin5xdx.
求函数f（x,y）
x3
4x2
2xyy2的极值.
设平面区域D是由y
x,yx围成，计算
siny
dxdy.
7.计算由曲线
8.求微分方程
1,xy
2,yx,y3x围成的平面图形在第一象限的面积.
的通解.
四、证明题（每题10
分，共20分）
1.证明：
arctanx
（x）.
arcsin
x2
2.设f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（x）0,
F（x）f（t）dt
dt
b
f（t）
证明：
方程F（x）
0在区间（a,b）内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题.将√或×
填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√；
2.×
；
3.×
；
4.×
5.×
6.×
7.×
8.×
9.√；
10.√.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1.x24x4；
2.1；
3.1/2；
4.（y1/y）dx（xx/y2）dy；
5.2/3；
6.1；
7.336；
8.8；
9.1/2；
10.0.
三、计算题（每题
5分，共40分）
1.解：
因为
n1
L
（2n）2
n2
1）2
且
lim
0，lim
2=0
（2n）
由迫敛性定理知：
lim（12
2）=0
2.解：
先求对数lny
ln（x
2ln（x
2）
10ln（x
10）
1y
10
y（x
10）（
）
3.解：
原式=2
d
=2
1（x）2
3
=2arcsin
c
4.解：
原式=
sin3xcos2xdx
=
2cosxsin2
xdx
cosxsin2
2sin2
xdsinx
sin2
5
x]02
[sin
2x]
[sin2
=4/5
5.解：
fx
3x2
8x2y0
fy
2x2y0
故
或
当
时fxx
（0,0）
8，fyy（0,0）
，fxy（0,0）
（8）
（2）22
0且A=80
（0，0）为极大值点
且f（0,0）
（2,2）
4，
fyy（2,2）
，fxy（2,2）
4
22
无法判断
6.解：
D=（x,y）0
1,y2
sinydxdy
dy
Dy
1siny
dx=
[x]
=（sinyysiny）dy
=[
cosy]10
ydcosy
=1
cos1
[ycosy]10
cosydy
=1sin1
7.解：
令u
xy，v
y；
则1u
2，1v
xu
xv
u
J
uv
2v
v
yu
yv
A
ln
du
dv
8.解：
令
u，知（u）
2u
4x
由微分公式知：
u
y2
2dx
2dx
dx
c）
e（
4xe
e2x（
4xe2xdx
e2x（2xe2x
e2x
四.证明题（每题10分，共20分）
设
f（x）
arctanx
1x2
1x
x2
=0
f（x）
令x0
即：
原式成立。
F（x）在[a,b]上连续
a
F（b）
F（a）
dt<
0,
f（t）
f（t）dt>
故方程F（x）
0在（a,b）上至少有一个实根.
又
f（x）0
F（x）f（x）
F（x）2
即
F（x）在区间[a,b]上单调递增
F（x）在区间（a,b）上有且仅有一个实根.
专业学号姓名
一、判断题（对的打√，错的打×
每题2分，共10分）
1.f（x）在点x0处有定义是f（x）在点x0处连续的必要条件.
若y
f（x）在点x0不可导，则曲线y
f（x）在（x0,f（x0））处一定没有切线.
若f（x）在[a,b]上可积，g（x）在[a,b]上不可积，则f（x）g（x）在[a,b]上必不可
积.
方程xyz0和x2
z2
0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
设y*
是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，
y是其所对应的齐次方程的通解，则
yyy*为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题（每题2分，共20分）
设f（3x）2x
1,f（a）5,则a
ln（1
2x）
时，f（x）在点x
0连续.
设f（x）
，当f（0）
arcsin3x
limx（11）2xt，则f
（x）
t
已知
在
a处可导，且f（a）
，则
limf（a
2h）
f（a
3h）
h0
h
2f（x）cosx
d[f（x）]2，并且f（0）
1，则f（x）
若f（x）,
g（x）在点b左连续，且f（b）
g（b）,f（x）g（x）（a
b），
则f（x）与g（x）大小比较为
g（x）.
若ysinx2，则
dy
d（x2）
（1）
2lntdt，则f
设zex2y，则dz（1,1）
R
R2
y2）dy化为极坐标下的累次积分为
累次积分
f（x2
三、计算题（前6题每题5分，后两题每题
6分，共42分）
sinx
（1t）tdt
;
设
0sint
x2dx;
yln
e2x
，求y;
cosxdx;
e2x1
sin2x
求
z,
2z.
xy
求由方程2yx
y）ln（x
y）所确定的函数
y（x）的微分dy.
x,y
x围成，计算
sinydxdy.
求方程ylnydx
lny）dy
0在初始条件yx
e下的特解.
四、（7分）
已知f（x）x3ax2bx在x1处有极值2，试确定系数a、b，并求出所有的极
大值与极小值.
7
五、应用题（每题7分，共14分）
一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比
.已知当速度为10（km/h）时，燃
料费为每小时
6元，而其它与速度无关的费用为每小时
96元.问轮船的速度为多少时
每航
行1km所消耗的费用最小？
过点
（1,0）
向曲线y
x2作切线，求：
（）切线与曲线所围成图形的面积；
图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积.
六、证明题（7分）
设函数f（x）在0
xa上的二阶导数存在，且f（0）
0,f（x）0.证明
g（x）
a上单调增加.
在0x
高等数学参考答案
一、判断题1.√；
2.×
3.√；
4.×
5.√.
二、填空题
36
2.
3.
4（1
x）e2x
4.
5A；
5.
sinx；
cosx2,
2xcosx2
ln2
2d
）rdr
f（rcos2
三、计算题
8
（1
sinx）sinxcosx
原式lim
e
2e2x（e2x
e2x2e2x
（e2x
1）2
e2x
2e2x
1e2x
3．原式=
cosx
（sinx
cosx）2
d（sinx
cosx）
C
4．设x2sint
则dx
2costdt
原式=24sin2t
2cost
2costdt
16
2sin2t
cos2tdt
2sin22tdt
2（1cos4t）dt
2（t
1sin4t）02
2y
5．
（x2
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